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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:16:22

Integral de línea de un campo escalar independiente de la dirección de la trayectoria

Transcripción del video

en el video pasado hicimos lo siguiente empezamos con una cierta curvas e después le dimos una parametrización x dt y 7 a partir de ésta parametrización encontramos una nueva que lo que hacía era recorrer exactamente la misma curva pero al revés empezaba aquí y terminaba en este punto conforme te se movía de ave en contraste con lo que pasaba antes que cuando te da igual la estábamos aquí y entregó a la bebé estábamos acá entonces lo que queremos responder en este vídeo es la siguiente pregunta cómo la integral de línea sobre c d e f dx jay df como ésa integral de línea se compara con la otra integral la integral sobre fx ley el mismo campo escalar pero ahora sobre esta nueva curva que va en la otra dirección - ese entonces importará que aquí estamos moviéndonos en un sentido y acá en otro para encontrarla integral de línea de este campo escalar en el siguiente vídeo vamos a hablar de campo sectoriales pero ahorita tenemos un campo escalar bueno vamos a agarrar un poco de intuición antes de probar las cosas déjame hacer un dibujo a ver ahí voy a poner mi diagrama no sabes qué me voy a ir aquí abajo para tener más espacio y entonces déjame dibujar lo siguiente voy a dibujar el eje e por aquí voy a dibujar el eje x y vamos a poner también el eje z el eje z va voy a dibujar un campo escalar es decir voy a dibujar una superficie algo así y entonces recuerda que este de aquí es fx ye y lo estamos pensando así porque a cualquier punto le podemos asociar una altura definida justo por el campo escalar ok entonces vamos a poner una curva que abajo digamos algo de ese estilo estaré aquí va a ser la curva se y para darle un sentido empezamos aquí y nos movemos en esta dirección va entonces ahorita es un buen momento para recordar que quiere decir la integral de línea geométricamente lo que queremos según videos anteriores es encontrar el área de una cortina cuyo techo está definido por la superficie y cuya base es la curva entonces literal estamos intentando encontrar el área de esta pared o cortina o papel o como quieran llamarle esto es lo que está detrás de esta expresión pero qué pasa si tomamos la misma integral pero ahora en la dirección contraria es decir en vez de ir en esa dirección ahora vamos al revés comenzamos arriba y empezamos a bajar pues fíjate que de cualquier forma la idea es la misma o sea no sabemos cuáles e iguales menos de una forma de pensar lo es que pude haber definido este camino o sea en esa dirección como se lee entonces menos sería pues el pse original entonces parece ser que en cualquier caso estamos determinando el área de esta cortina entonces qué nos dice la intuición vamos a las integrales pues ambas nos dan del área de esta cortina verdad y por tanto deberían de ser iguales pero fíjate que todavía no ha demostrado nada rigurosamente vamos a ver otro argumento intuitivo lo que tenemos en esta integral de aquí es un decir verdad déjame subrayarlo aquí tenemos un ds y eso en el dibujo es un diminuto segmento de curva verdad un diminuto segmento de curva que se multiplica por la altura por un eje de x eso de ahí nos da el área de un cierto rectángulo y la integral suma todos esos en la otra pasa lo mismo otra vez estamos tomando un pequeño ds y acuérdate que el ds siempre es una raíz cuadrada entonces que da positivo o sea tomamos un pequeño ds y otra vez estamos multiplicando por la misma altura y una vez más estamos sumando las áreas de todos estos rectángulos hay que tener cuidado pues este fenómeno no sucede con las integrales normales digamos la integral de aa a b d pues una f dx dx en estas integrales cuando intercambiamos los límites entonces qué pasa nos queda igual al negativo de la integral hasta desde b df de x dx dejan hacer un dibujo para entender esto a ver aquí está el eje el eje x aquí está aquí esta ave y la gráfica de la función entonces en esta primera integral los de x siempre son positivos decir aquí tenemos un pequeño cambio pero es positivo por qué pues porque estamos avanzando empezando en nada y terminó vuelve hacia la derecha pero en esta situación las de x son negativas porque ahora que sucede en las alturas son las mismas pero ahora la x se mueve hacia la izquierda desde b hasta y entonces cada dx es negativo en la integral de línea no pasa esto en ambos casos como ds es una raíz nos queda positiva además como la superficie la dibujé sobre el plano x ley entonces efe también es positiva y entonces esto nos debería de sugerir que no hay ningún cambio de signo pero ahora sí para quedar contentos hagamos una demostración voy a bajar aquí al gran gran espacio y comencemos escribiendo la parametrización pongamos que se está dada por equis iguala x dt g es igual aiete y que además la testa en un cierto intervalo digamos a menor o igual a 'the menor o igual a b sabemos que vamos a necesitar las derivadas entonces déjame hacer las de una vez entonces lo voy a poner con este otro color dx dt es igual a x prima dt i d ye dt haber un poquito más bonito de ye dt es igual a ye prima de te va hasta ahorita nada nuevo simplemente una parametrización y unas derivadas pasemos a la integral sabemos que la integral sobre c d e f de xc efe es un campo escalar verdad la integral de fx gds está definida por la integral desde 'the wall' a hasta b d efe dx dt coma goethe y todo eso multiplicado por la raíz cuadrada de dx dt cuadrada o sea x primate cuadrada x prima dt al cuadrado más de 7 al cuadrado entonces nos queda más que prima dt al cuadrado y claro verdad todo eso por dt nada nuevo todavía sólo pusimos está integral en términos de la parametrización que tenemos vale entonces ahora pasamos a la otra a menos e voy a cambiar a otro color digamos a naranja entonces menos se está dada por bueno sabes qué mejor deja de hacerlo aquí a bajit o menos se está dada por equis iguala y eso ya lo hicimos en el video pasado verdad vamos a ver qué nos quedaba nos quedaba x iguala xd a + bms - t ok x es igual a amas ve - de y luego llegué estada a no esperar a que me equivoqué verdad o sea me falta una x x es igual a x de a más ve - t y luego ye está dado por llegue a más ve - t y finalmente estamos en el mismo intervalo a menor o igual a b perdón a menor llegó a la t menor o igual a b va entonces estoy aquí es simplemente lo que hicimos en el video pasado x es igual a xd a + bms - t y jesse iguala llegue a más de menos te es la misma curva pero recorrido en sentido contrario sale pues ahora vamos a encontrar las derivadas regresando al color blanco ahora lo que queremos es de x dt para esta nueva trayectoria menos se suena que ahora vamos a tener que usar la regla de la cadena entonces nos queda a la deriva de lo de adentro con respecto a te estás son constantes aquellos menos tela derivado de menos 3 - 1 entonces es menos uno por la deriva de lo de afuera evaluado en lo de adentro entonces nos queda x prima en amas ve - te sale vamos a escribir esto simplemente como - x prima de amas ve - te vamos ahora la deie de ye dt de modo similar es igual a la deriva de lo de adentro o sea menos uno verdad derivado de menos 3 - 1 x la derivada de los de afuera evaluado en lo de adentro o sea ayer prima de amas ve - te vamos a reescribir lo como menos ya prima de a más ve - te sale ahora sí ya tenemos toda la información escrita vamos a pasar a la integral entonces ahora queremos encontrar la integral sobre menos se dé efe the x com aie de s ok entonces esto va a ser igual a la integral desde te iguala hasta te iguala b d f de equis pero ahora x ya no es x de verdad ahora xe está en esta nueva trayectoria xd a más ve - t no te dejes intimidar por esto va a saber qué va a quedar más bonito al rato entonces vamos allí ahora nos queda algo parecido verdad hay es llegue a más bien menos de entonces llegué de amas ve - t cerramos el paréntesis y luego hay que multiplicar por la raíz cuadrada déjame ponerlo en azul la raíz cuadrada de que juez de x dt al cuadrado de x dt al cuadrado y cuánto vale esto pues esta expresión al cuadrado aquellos menos verdad pero cuando elevamos al cuadrados pues se cancela el menos porque elevará cuadrados siempre cancela - entonces nos queda menos x prima de amas ve - t todo eso elevado al cuadrado que es lo mismo que simplemente x prima de amas ve - t al cuadrado simplemente al menos lo cancelamos porque estamos elevando al cuadrado entonces x prima de a más ve - t al cuadrado ahora toca poner lo que corresponde para allí pongámosle más de 7 y por la misma lógica perdemos el menos verdad entonces nos queda simplemente ye prima de amas ve - t elevado al cuadrado va todo esto hay que multiplicarlo por un dt sale entonces está de arriba es la integral de superficie sobre la curva se y estadía acá abajo es la no haber ni siquiera hemos hablado de integrales de superficie más bien ésta es la integral de línea sobre ese y está en la integral de línea sobre menos sé todavía no parecen iguales de hecho la segunda se ve más complicada veamos si podemos simplificar la movámonos para acá abajo y vamos a meter un truco caso vamos a hacer un cambio de variable para esto vamos a tomar pues vamos a ponerle u entonces vamos a tomar iguala mas ve - te necesitamos encontrar la derivada y cambiar los límites de integración empezamos con la derivada a ver de un entre dt pues está fácil verdad simplemente es igual a menos uno escrito de otra forma multiplicando ambos lados por dt nos queda que de eeuu es igual a menos dt ahora pasemos a los límites de integración a ver entonces cuando te es igual a a qué le pasa a un puesto u es igual a más ve - a que es igual a b y cuando te sigo a la b entonces hubo es igual a amas ve - b verdad y estoy aquí si iguala a saleh entonces cuando hacemos la sustitución en esta integral de aquí vamos a ver qué nos queda seguro se va a simplificar entonces nos queda la integral de ahora empezamos en a ver cuando tess a usb y entonces cuando te des be huesa ahora nos queda efe de xd aquí tenemos a más de menos de que simplemente es u va coma ye de lo mismo verdad de su otra vez jeou ok y luego hay que multiplicar por la raíz cuadrada de dejarme hacerlo con color azul por la raíz cuadrada de x prima de amas vez menos que otras veces un elevado al cuadrado más ye prima de eeuu entonces llegué prima de eeuu al cuadrado todo eso x pues ahora no es de verdad ahora va de eu o más bien nos quedaría dt es igual a menos de u y entonces por aquí en vez de poner un dt tenemos que poner un menos de un por menos de u pero para no pensar que es una resta deja de poner el menos aquí afuera vale entonces nos quedó la integral debe a de está integrando ok ahora para que los límites de integración tengan un poquito más de sentido déjame intercambiarlos o sea el más chiquito que el b entonces lo que dije hace rato es que si tenemos una integral normal y está como está es verdad que va de a mejor dejar de ponerle que va debe a de fx de x o de un dejá de ponerle de un jefe de eeuu de eu entonces eso es igual a menos la integral de ave df de eeuu de un eso lo hicimos aquí arriba lo que dijimos fue que cuando intercambiamos los límites de integración entonces los deus también cambian de signo sale entonces hagamos eso aquí abajo a ver entonces nos queda vamos a intercambiar estos dos entonces que nos quedan aquí hay un menos verdad entonces no va a quedar menos por menos nos va a quedar simplemente la integral de ave de él menos se va porque intercambiar los límites que nos queda la integral de ave df dx de eeuu coma llegué un x la raíz por la raíz de x prima de un perdón a que apareció algo x prima de un elevado al cuadrado más ye prima de un al cuadrado de un listo terminamos con la sustitución pero esto de dónde venía vamos a copiar la integral original vamos a acordarnos que era igual a la integral sobre menos e df dx llegue de ese entonces fíjate que tenemos cómo se relaciona esto con la integral de ese haber dejado copiar y pegar la nuestra no es copiar y pegar a ver voy a copiar y pegar esto de aquí piar bajo pegar a ésta entonces cómo se comparan estas dos integrales pues si los vemos con cuidado la verdad se ven súper parecidas aquí en la integral correspondiente a menos e tenemos un montón de bush y acá abajo tenemos un montón de test pero exactamente los mismos lugares estados integrales van a tomar exactamente el mismo valor cuando acabas hacemos el cambio digamos o igual a t entonces ésta integral que da la integral de aa a b d pues lo mismo de acá verdad o sea de fd xd ue-15 eu con mayhew por la raíz cuadrada de x prima de eeuu elevado al cuadrado más he prima de eeuu elevado al cuadrado de eu y entonces estas dos ya quedan idénticas va entonces hicimos toda la sustitución y así y obtuvimos las mismas integrales el resultado es que no importa en qué dirección toma más la curva siempre y cuando tomemos la misma curva y eso está muy bien pues coincide con el argumento intuitivo que teníamos lo que habíamos dicho es que en ambos casos estamos encontrando el área de esta cortina