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Transcripción del video

vamos a aplicar lo que hicimos en el video pasado haciendo un ejemplo concreto del trabajo que hace un campo vectorial sobre una partícula que se mueve por este campo siguiendo una cierta trayectoria entonces supongamos que tenemos un campo vectorial efe no voy a poner un poco más bonito efe que está definido en el plano xvii e entonces es una función de keys y jay que asocia a un vector a cada punto del plan supongamos que este campo victoria al estado por ye por y el vector unitario y menos x por el vector unitario j saleh vamos a hacer un dibujo para ver cómo se ve esto en el plano déjame dibujar planos que llegue por acá ese día y es el eje llegué acá perpendicularmente tenemos el eje x y entonces el campo vectorial asocia un vector a cada uno de los puntos en el plano ekije vamos a pensar a éstos como vectores de fuerza aquí va x aki bache entonces por ejemplo para el punto 1,0 cómo se vería el vector que le asocia el campo vectorial pues en 1,0 y es igual a cero entonces sería cero por y menos uno por j - j se vea si se ve como un vector hacia abajo de magnitud 1 de japón aquí la flechita x igualados es decir el punto 2,07 todavía sería cero pero ahora la fuerza sería menos dos veces j entonces tendríamos una flecha de este estilo - 2 j va de modo similar si nos vamos a este punto en donde jesse igual a 1 y x es igual a cero entonces tenemos ya iguala 1-1 por y -0 por j entonces el vector es de magnitud uno a la derecha y comienza en el 0,1 creo que más o menos está agarrando la onda de cómo se ve pero por ejemplo vamos a poner unos cuantos más si tenemos un punto aquí entonces el lector va a subir hacia allá luego si tenemos un punto digamos por aquí entonces ahora va a quedar inclinado hacia abajo hacia la derecha y creo que en general se ve como que va girando de quererlo podría llenar todo el plano convectores deja además lo dejó un poco más simétrico si estuviera en este punto de por acá entonces el vector subiría así en fin efe nos garantiza un vector en cada punto del plano ahora vamos a poner una partícula a moverse en este campo vectorial supongamos que su trayectoria está sobre la curva c y que la parametrización de se está dada por equis dt es igual a josé no de tg7 es igual hacen o dt y ahora tenemos que decir el intervalo supongamos que es que cero es menor o igual que te y es menor o igual que dos si va entonces a lo mejor sea reconocida como se va a ver esta curva está parametrización nos da un círculo recorrido en sentido antihorario entonces la trayectoria empieza aquí para cuando te es igual a cero que podemos pensarlo como un tiempo con un ángulo pero aquí vamos a pensarlo como un tiempo va entonces a tiempo cerró la trayectoria empieza aquí cuando el tiempo se va moviendo digamos api medios entonces empezamos a recorrer el círculo hasta su cuarta parte recuerda que estamos viendo en esta dirección o sea en sentido antihorario luego a los pits segundos vamos haber llegado hasta cada y finalmente cuando avancemos hasta 2 si vamos haberle dado una vuelta completa el círculo dicho de otra forma lo que está haciendo nuestra trayectoria es girar alrededor del origen una vez y recorriéndose en sentido antihorario ya tenemos dibujada la curva pero ahora sí cuál es el trabajo hecho por este campo vectorial sobre esta curva entonces el trabajo ya vimos en el video pasado que es igual a la integral la integral de línea sobre c esta curva se de nuestro campo vectorial o sea de f junto producto puntocom pues con el diferencial de nuestro movimiento es decir punto de ere todavía ni siquiera hemos dicho quiénes reina damas tenemos una parametrización estándar lo que hay que hacer es pasar esta parametrización a forma vectorial de modo que nos describa esta trayectoria esta es una parametrización estándar y para escribir en forma vectorial le voy a poner que erre con su vector dt es igual a x de teo se acogen o dt x el vector y más billete o se hacen o de p x el vector j y de modo similar esto es para hacer un menor o igual que te menor igual que dos y sale estas dos parametrizaciones recorren la misma trayectoria sólo que me tome la molestia de pasar la forma vectorial porque así ya puede encontrar el vector derivada de ere y hacerle producto punto con efe vamos a calcular todo eso para encontrar el trabajo hecho por el campo vectorial sobre la partícula pero antes de eso a lo mejor ya te diste cuenta de algo estamos viendo en sentido antihorario pero por cada punto por el que pasamos el campo vectorial parece ser que va en dirección contraria cómo nos movemos por ejemplo aquí vamos hacia arriba pero el campo hacia abajo acá vamos hacia arriba a la izquierda pero el campo hacia abajo a la derecha en este punto vamos a la izquierda y el campo hacia la derecha entonces parece que el campo siempre va en dirección contraria a la nuestra la intuición física que está detrás es que esto va a tener que ver con trabajo negativo por ejemplo cuando levantó un objeto del piso yo estoy aplicando una fuerza positiva hacia arriba pero la gravedad está aplicando una fuerza negativa ok ahora si pasamos a las cuentas para encontrar el trabajo digo esta explicación está padre verdad nos ayuda a entender más o menos que está pasando en el fondo voy a poner una fecha más en este punto mejor con rosa que es lo que hemos estado usando a ésta en este punto también vamos a la izquierda siempre nos movemos en dirección contraria a la del campo vectorial vale ahora si pasamos a las cuentas un buen lugar para empezar es la derivada de nuestro vector reposición es decir la derivada con respecto a te deja de ponerlo aquí de ere entre dt esto también se puede describir como r prima de ti y es igual a pues aquí tenemos que derivar con respecto a tec la deriva de cosas no es menos seno de 'the x y más la derivada de seno de té con respecto a t es una derivada de seno que es josé no detener x j ahora para obtener el diferencial multiplicamos todo por dt nos queda de rr de r es igual a lo que tenemos que hacer es escribir esta expresión de aquí arriba entonces nos queda menos seno de té por dt simplemente estoy multiplicando porte y distribuyéndolo x y más coseno dt por dt por j entonces ya tenemos esta parte de la integral pero ahora hay que hacer el producto punto con efe déjame reescribir el campo vectorial para que todo quede en términos de ti vamos a necesitar esto para poder evaluarla integral queremos saber la fuerza en cada punto de la trayectoria pero ojo hay algunos puntos del plan maquille que no nos importan por ejemplo aquí el campo editorial tiene esta dirección pero ese punto no está en nuestra trayectoria y por tanto esa fuerza no tiene impacto en la partícula por esta razón lo que necesitamos es una función que sustituya a x y allí por sus valores correspondientes en términos de té con esto vamos a poder obtener la fuerza aplicada en cada tiempo te y esto es justamente lo que necesitamos para poder calcular la integral de línea entonces nos queda que efe dt o sea como función de té es igual a jay pero tiene que ser siete entonces tenemos que ponerle seno dt es esa parte x y x y más realidades - x pero el ex dt es decir coseno dt josé no dt x el vector hot y ahora sí con estos dos elementos ya podemos encontrarla integral de línea si queremos encontrar esta integral de línea simplemente debemos hacer un producto punto lo voy a poner aquí abajo nos va a quedar lo voy a poner con otro color entonces va a ser la integral de dt igual a cero hasta te igualados pi df punto de rr aquí está el pp y aquí está de rr entonces cuando queremos hacer el producto puntos simplemente multiplicamos coordenada coordenada y luego sumamos entonces el producto punto de aquí nos queda vamos a ver estreno de 'the por seno de té y luego con signo negativo entonces nos queda menos seno grado de t de t y luego vamos al otro lado queremos sumarle dígame reescribir el dt quedó muy feo no a poner dt y ahora a esto queremos sumarle la multiplicación de estos dos entonces lo escribo nos queda menos a mejores temas lo cambió por menos entonces sería menos josé no cuadrado dt por de te sale ahora cif actualizamos el signo menos entonces nos va a quedar igual a la integral desde cero hasta 2 y de habernos quedasen o cuadrado de ana perdón pero no es seno cuadrado dt más coseno cuadrado de té y sabes que para arreglar esto del - mejor vamos a sacarlo de la integral entonces voy a poner un menos aquí esto se vuelven más y entonces aquí aparecen menos vale y luego hay que multiplicar por dt bueno hay algunos pasitos algebraicos no es nada raro verdad simplemente facturación menos lo distribuir y puse el dt también factor izado va entonces ahora si queremos resolver esta integral que obtuvimos aquí pero es súper súper sencilla verdad sino cuadrado más consenso cuadrado de cualquier cosa siempre es uno eso viene de las identidades trigonométricas entonces esta expresión vale 1 y entonces la integral se simplifica lo siguiente a - la integral de 0 a 2 pi dt esta es una integral facilísima podemos pensar que aquí hay un 1 para que no quede tan solito el dt y ya con esto estamos por terminar tenemos que la integran es igual a menos simplemente se signó menos que ya traíamos desde arriba - la anti derivada de uno que éste y eso de ahí hay que evaluarlo en 2 pi en cero y restar entonces eso de jesse wallace - efe - de ahí dos pi y luego - georgia - 0 eso de ahí simplemente es igual a menos dos pit listo ya terminamos encontramos el trabajo hecho por el campo vectorial sobre la particular que se está moviendo sobre la trayectoria hace en dirección anti horaria observa cómo el resultado coincide con nuestra intuición obtuvimos un número negativo esto fue porque en cada punto del campo vectorial va en dirección contraria al movimiento de la partícula sobre la trayectoria bueno espero que con este vídeo ya que de un poco más claro de qué se trata la integral de línea sobre un campo vectorial