Usar integrales de línea para encontrar el trabajo

vamos a aplicar lo que hicimos en el vídeo pasado haciendo un ejemplo concreto del trabajo que hace un campo vectorial sobre una partícula que se mueve por este campo siguiendo una cierta trayectoria entonces supongamos que tenemos un campo vectorial efe lo voy a poner un poco más bonito efe que está definido en el plano xy entonces es una función de xy que asocia un vector a cada punto del plano supongamos que este campo vectorial está dado por ye por y el vector unitario y menos x por el vector unitario j saleh vamos a hacer un dibujo para ver cómo se ve esto en el plano déjame dibujar el plano y por acá ese de ahí es el eje y acá perpendicularmente tenemos el eje x y entonces el campo vectorial asocia un vector a cada uno de los puntos en el plano xy vamos a pensar a estos como vectores de fuerza aquí va x aquí vale entonces por ejemplo para el punto 10 como se vería el vector que le asocia el campo vectorial pues en 10 y es igual a cero entonces sería cero por y menos uno por jota menos jsb así se ve como un vector hacia abajo de magnitud 1 deja como aquí la flechita en x igual a 2 es decir el punto 20 que todavía sería 0 pero ahora la fuerza sería menos dos veces jota entonces tendríamos una flecha de este estilo menos dos j va de modo similar si nos vamos a este punto en donde es igual a 1 y x es igual a 0 entonces tenemos ya iguala 11 por y menos 0 por j entonces el vector es de magnitud 1 a la derecha y comienza en el 0.1 creo que más o menos le estás agarrando la onda de cómo se ve pero por ejemplo vamos a poner unos cuantos más si tenemos un punto aquí entonces el vector va a subir hacia allá luego si tenemos un punto digamos por aquí entonces ahora va a quedar inclinado hacia abajo hacia la derecha y creo que en general se ve como que va girando de quererlo podría llenar todo el plano con vectores deja nada más lo dejo un poco más simétrico si estuviera en este punto de por acá entonces el vector subiría así en fin efe nos garantiza un vector en cada punto del plano vamos a poner una partícula a moverse en este campo vectorial supongamos que su trayectoria está sobre la curva ce y que la parametrización de ce está dada por x de t es igual a coseno de t 7 es igual a seno de t y ahora tenemos que decir el intervalo supongamos que pues que 0 es menor o igual que t y es menor o igual que 2 y va entonces a lo mejor ya reconociste cómo se va a ver esta curva esta parametrización nos da un círculo recorrido en sentido antihorario entonces la trayectoria empieza aquí para cuando te es igual a cero te podemos pensarlo como un tiempo o como un ángulo pero aquí vamos a pensarlo como un tiempo va entonces al tiempo cero la trayectoria empieza aquí cuando el tiempo se va moviendo digamos a pi medios entonces empezamos a recorrer el círculo hasta su cuarta parte recuerda que estamos yendo en esta dirección o sea en sentido antihorario luego a los segundos vamos a haber llegado hasta acá y finalmente cuando avancemos hasta dos pi vamos a haberle dado una vuelta completa al círculo dicho de otra forma lo que está haciendo nuestra trayectoria es girar alrededor del origen una vez y recorriendo se en sentido antihorario ya tenemos dibujada la curva pero ahora sí cuál es el trabajo hecho por este campo vectorial sobre esta curva entonces el trabajo ya vimos en el vídeo pasado que es igual a la integral la integral de línea sobre c esta curva se de nuestro campo vectorial o sea de f punto producto puntocom pues con el diferencial de nuestro movimiento es decir punto de r todavía ni siquiera hemos dicho quién es ese rey nada más tenemos una parametrización estándar lo que hay que hacer es pasar esta parametrización a forma vectorial de modo que nos describa esta trayectoria esta es una parametrización estándar y para escribirla en forma vectorial le voy a poner que r ya con su vector de t es igual a equis dt o sea coseno de t x el vector y más 7 o sea seno de x el vector jota y de modo similar esto es para 0 menor o igual que t menor o igual que 2 pi saleh estas dos parametrización es recorren la misma trayectoria solo que me tomé la molestia de pasar la forma vectorial porque así ya puedo encontrar el vector derivada de r y hacerle el producto punto con efe vamos a calcular todo eso para encontrar el trabajo hecho por el campo vectorial sobre la partícula pero antes de eso a lo mejor ya triste cuenta de algo estamos yendo en sentido antihorario pero por cada punto por el que pasamos el campo vectorial parece ser que va en dirección contraria como nos movemos por ejemplo aquí vamos hacia arriba pero el campo va hacia abajo acá vamos hacia arriba a la izquierda pero el campo hacia abajo a la derecha en este punto vamos a la izquierda y el campo va hacia la derecha entonces parece que el campo siempre va en dirección contraria a la nuestra la intuición física que está detrás es que esto va a tener que ver con trabajo negativo por ejemplo cuando levanto un objeto del piso yo estoy aplicando una fuerza positiva hacia arriba pero la gravedad está aplicando una fuerza negativa ok ahora sí pasemos a las cuentas para encontrar el trabajo digo esta explicación está padre verdad nos ayuda a entender más o menos qué está pasando en el fondo voy a poner una fecha más en este punto mejor con rosa qué es lo que hemos estado usando ahí está en este punto también vamos a la izquierda siempre nos movemos en dirección contraria a la del campo vectorial vale ahora sí pasemos a las cuentitas un buen lugar para empezar es la derivada de nuestro vector de posición es decir la derivada con respecto a t déjame ponerlo aquí de r entre de t esto también se puede escribir como r prima de t y es igual a pues aquí tenemos que derivar con respecto a tec la derivada de coche no es menos seno de t x y más la derivada de seno de t con respecto a t es la derivada de seno que es coseno de t x j ahora para obtener el diferencial multiplicamos todo por de t nos queda de r de r es igual a y lo que tenemos que hacer es escribir esta expresión de aquí arriba entonces nos queda menos seno de t por de t simplemente estoy multiplicando por t y distribuyéndolo x y más coseno de t por de t por jota entonces ya tenemos esta parte de la integral pero ahora hay que hacer el producto punto con efe déjame reescribir el campo vectorial para que todo quede en términos de t vamos a necesitar esto para poder evaluar la integral queremos saber la fuerza en cada punto de la trayectoria pero ojo hay algunos puntos del plano xy que no nos importan por ejemplo aquí el campo vectorial tiene esta dirección pero ese punto no está en nuestra trayectoria y por tanto esa fuerza no tiene impacto en la partícula por esta razón lo que necesitamos es una función que sustituya a equis y aie por sus valores correspondientes en términos de t con esto vamos a poder obtener la fuerza aplicada en cada tiempo t y esto es justamente lo que necesitamos para poder calcular la integral de línea entonces nos queda que efe dt o sea como función de t es igual a g pero tiene que ser 7 entonces tenemos que ponerle seno de esa parte x y x y más bueno en realidad es menos x pero es x dt es decir coseno de t jose no de t x el vector j y ahora si con estos dos elementos ya podemos encontrar la integral de línea si queremos encontrar esta integral de línea simplemente debemos hacer un producto punto lo voy a poner aquí abajo nos va a quedar lo voy a poner con otro color entonces va a ser la integral desde t igual a cero hasta t igualados df punto de r aquí está f y aquí está de r entonces cuando queremos hacer el producto puntos simplemente multiplicamos coordenada coordenada y luego sumamos entonces el producto punto de aquí nos queda vamos a ver es seno de t por seno de t y luego con signo negativo entonces nos queda menos seno cuadrado de t dt y luego vamos al otro lado queremos sumarle déjame reescribir el dt que quedó muy feo lo voy a poner de té y ahora a esto queremos sumarle la multiplicación de estos dos entonces lo escribo nos queda menos a mejores temas lo cambio por menos sería menos coseno cuadrado de t por de t sale ahora si factor izamos el signo menos entonces nos va a quedar igual a la integral desde cero hasta dos pi de haber nos queda seno cuadrado de a no perdón pero es seno cuadrado de t más coseno cuadrado de t y sabes que para arreglar esto del menos mejor vamos a sacarlo de la integral entonces voy a poner un menos aquí esto se vuelven más y entonces aquí aparece un menos vale y luego hay que multiplicar por bt bueno ahí hay algunos pasitos algebraicos no hacen nada raro verdad simplemente factorización menos lo distribuir y puse el dt también factor izado va entonces ahora si queremos resolver esta integral que obtuvimos aquí pero es súper súper sencilla verdad seno cuadrado más coseno cuadrado de cualquier cosa siempre es 1 eso viene de las identidades trigonométricas entonces esta expresión vale 1 y entonces la integral se simplifica lo siguiente a menos la integral de 0 a 2 pi dt esta es una integral facilísima podemos pensar que aquí hay un 1 para que no quede tan sólido el dt y ya con esto estamos por terminar tenemos que la integral es igual a menos simplemente es el signo menos que ya traíamos desde arriba menos la anti derivada de uno que éste y eso de ahí hay que evaluarlo en dos pi en cero y restar entonces eso de ahí es igual a menos s menos de ahí dos pi y luego menos de hoja -0 eso de ahí simplemente es igual a menos 2 pi listo ya terminamos encontramos el trabajo hecho por el campo vectorial sobre la partícula que se está moviendo sobre la trayectoria ce en dirección antihorario observa como el resultado coincide con nuestra intuición obtuvimos un número negativo esto fue porque en cada punto del campo vectorial va en dirección contraria al movimiento de la partícula sobre la trayectoria bueno espero que con este vídeo ya quede un poco más claro de qué se trata la integral de línea sobre un campo vectorial