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Integrales de línea de un campo vectorial dependiente de la dirección de la trayectoria

Transcripción del video

supongamos que tenemos una parametrización en forma vectorial rd te igual a x dt x el vector unitario y más 7 x el vector unitario j y déjame hacer una gráfica de cómo se va a ver esto esté aquí es un eje deja de poner un poco más derecho esté aquí es el eje llegue este por acá es el eje x y entonces vamos a ponerle que te se mueven un cierto intervalo digamos que a es menor o igual que te y eso es menor o igual que ve sale cuando te iguala a estamos en este punto es decir si metemos te iguala aquí arriba obtenemos un vector que va del 0 a este punto y luego conforme te va incrementando su valor se empieza a trazar una curva en el plano x llegue y se vería más o menos así notemos que para 'the wall' ave obtenemos un vector que apunta hacia el extremo final de este modo la parametrización definir una trayectoria recorrida en esta dirección hacia arriba ahora vamos a dar una segunda parametrización en forma vectorial déjame cambiar de color y lo voy a escribir acá a la derecha vamos a llamarla erre que erre reversa entonces va a ser eres su br br su br no no eres v resuena súper feo deja de borrar eso vamos a llamarle nada más rt pero es diferente porque está aquí es verde entonces rt y en vez de ser x7 por iba a ser xd a más ve - 'the x y más y lo mismo con ye yé de amas ve - 'the x hot esto ya lo habíamos encontrado en los videos pasados la trayectoria que se trata al considerar esta nueva parametrización es muy parecida de hecho se ve así dibujó el eje che ahora acá el eje x de hecho vamos a etiquetar los ejes ejeie eje x ejeie gx esta trayectoria se va a ver muy parecida a la primera sólo que ya no va a empezar aquí terminar acá ahora la vamos a recorrer revés antes dejar de escribir que también ahora a es menor o igual que te y es menor o igual que ve o sea te va de a a b como te comentaba ahora al sustituir te iguala obtenemos este vector de dirección y por tanto empezamos acá arriba después conforme te va aumentando su valor aquí moviéndose de aa a b se va trazando la misma trayectoria pero recorrida en sentido opuesto es la misma trayectoria pero en la dirección contraria observa que a sustituir te iguala ve aquí arriba tenemos xd a y desde otro lado llegué a las veces cancelan y el vector director apunta hacia acá de este modo la forma de las dos trayectorias es exactamente la misma pero están recurridas en sentido contrario lo que queremos hacer en este vídeo es ver cómo afecta este cambio de parametrización en una integral de línea sobre un campo vectorial tomemos un campo vectorial digamos efe dx coma ye igual a que the x change por el vector unitario y mas q dx llegue por el vector unitario hot estoy aquí simplemente es un campo vectorial en el plano x llegue ahora como la integral de línea de este campo vectorial sobre esta trayectoria es decir sobre ese se compara con la integral de la línea del mismo campo editorial pero sobre esa otra trayectoria es decir con la integral de menos e vamos a ponerle nombres esté acá es la curva se destaca es la curva - e y entonces la pregunta es cómo se comparan las integrales de la curva positiva con la de la negativa de ese punto de rr bajó entonces antes de que me meten las matemáticas vamos a pensar un poco la intuición detrás vamos a dibujar el campo vectorial vamos a poner algunos vectores acuérdate que un campo victoria le asigna a cada punto del plano x llegue a una cierta flecha o sea un vector entonces lo único que nos importa son los vectores que están sobre la curva sobre la curva se vería más o menos así verdad por decir algo vámonos para acá es el mismo campo vectorial entonces otra vez ponemos los mismos lectores por ahí salen lo que queremos hacer es agarrar un poco de la intuición de lo que está pasando esto de aquí es una suma estamos haciendo una suma de muchas cosas verdad estamos tomando un punto sobre la trayectoria es más déjame empezar aquí entonces vamos a tomar un punto sobre la trayectoria vamos a ponerlo en rosa mexicano y queremos hacer el producto punto df es decir este de aquí con de rr es decir la deriva de nuestra parametrización vectorial y recordamos que sólo podemos pensar como un muy pequeño cambio así infinitesimal en la dirección de nuestra trayectoria entonces cuando hacemos el producto punto de esto de aquí esencialmente lo que estamos haciendo es obtener un valor escalar que nos dice que tanto de la fuerza está en dirección del movimiento y luego multiplicarlo por la magnitud de la fuerza y del movimiento en el dibujo nos quedaría una proyección como por aquí pero sabes qué mejor déjame hacer un zoom entonces lo que voy a hacer es copiar esta parte y lo voy a agrandar entonces supongamos que esté aquí es la trayectoria y que aquí tenemos efe en ese punto efe el campo vectorial ahora adr se vería como un pequeño cambio lo voy a hacer con otro color con naranja esté aquí es de rr esté aquí es efe y entonces el producto punto de estos dos vectores es que tanto df va en la misma dirección que the air entonces lo podemos pensar como la proyección sobre de rr y entonces la magnitud que obtenemos multiplicada por la magnitud de rr es el producto punto df con de r aquí vamos a obtener un valor positivo porque tenemos puras longitudes positivas va pero qué sucede si el df va en la dirección contraria como en el segundo caso déjame dibujar otra vez el zoom eso de ahí es la misma parte de la curva una vez más tenemos nuestra efe entonces la f nos da un vector estoy dibujando exactamente lo mismo pero ahora la de rba en la otra dirección por qué pues porque - s recorre en dirección contraria entonces de r nos queda algo de pues un vector de este estilo sale entonces nos queda en esa dirección desde aquí es de rr y entonces cuando hacemos el producto punto ahora otra vez vamos a proyectar fnr pero esta vez tenemos que proyectar lo por acá observa que está lleno en la dirección contraria ddr entonces al multiplicar las magnitudes deberíamos obtener una magnitud negativa otra vez en este caso la proyección df queda en dirección contraria que de rr pero en el primer caso la proyección iba en la misma dirección entonces la intuición nos debe decir que estás integrales sólo varían en un signo menos vamos a las matemáticas para intentar demostrar esto vale entonces vamos a movernos acá abajo para tener un poco más de espacio y lo primero que vamos a hacer es encontrar una expresión para cada the air déjame escribirlo por aquí abajo en la primera integral de ere entre dt está definido como x prima de té por y más y más ye prima de 'the x j va entonces vayamos a la segunda integral en la curva que va al revés tenemos que de rr entre dt es igual a y aquí tenemos que usar la regla de la cadena vamos aquí arriba queremos la derivada de x con respecto a t eso es la derivada de lo de adentro es decir menos 1 x la derivada de los de afuera evaluado en lo de adentro entonces es menos uno la deriva de lo de adentro por la deriva de los de afuera evaluada en a + bms - te lo de adentro i y luego hay que hacer lo mismo con de verdad es la derivada de este término la deriva de lo de adentro es menos 1 x la derivada de los de afuera evaluado en lo de adentro es decir que prima de a más de menos te lo escribimos aquí abajo - ye prima de a más ve - t por j entonces queda esto y esto respectivamente pasemos ahora a escribir de rr entonces lo que vamos a hacer es multiplicar por dt de renos que da igual la x prima de té por y más allá de prima dt por j y todo esto multiplicado por bt podemos pensar dt como una escala 'aquí estamos haciendo algunos crímenes matemáticos pero es más sencillo así vamos acá de rr es igual a menos x haya cambiado de verde pero no importa x prima de amas ve - t y menos lleve prima de amas ve - t por hot vale vamos a multiplicar todo esto por dt ok entonces ya estamos listos para expresarla integral con una función dt entonces ésta está acá qué nos queda nos queda la integral de a a b que se mueve de aa a b d efe xd xd te coma yes dt punto punto de rr entonces de rs el sdr que calculamos acá lo cual es haberes punto equis prima de té y más lleve prima dt j y todo esto de aquí tenemos que multiplicarlo por dt entonces vamos a ponerle de té listo entonces pasamos a la segunda integral ahora cuando hacemos la integral en el lado contrario nos queda la integral de aa a b d f de ahora no es x de tesino xd a + bms - te coma hiede a + bms - te estoy escribiendo un pequeño para que quepa punto y entonces hay que hacer un producto punto con éste de rr es punto menos x prima de amas ve - t por y menos - ye prima de ahí creo que no va a caber déjame borrar un poco para hacer algunos ajustes y que todo quede mejor de hecho como aquí tengo un menos y tengo otro menos en el segundo sumando entonces voy a cambiar esos menos hasta afuera luego ese menos va a salir porque es un valor escalar y vamos a ponerlo afuera de digamos vamos a ponerlo afuera de la integral entonces lo ponemos hasta acá simplemente salió del producto punto y de la integral y luego tenemos x prima de amas ve - t por y más ye prima de amas ve - te voy a mover un poquito por j y todo eso de té listo esta primera es la integral de cuando recorremos la curva en sentido normal y está otra vez cuando recorremos la curva en dirección contraria ahora como en el vídeo pasado vamos a hacer un cambio de variable pero antes de eso déjame recapitular a 15 el producto punto y luego simplemente es aquél sino menos que teníamos ese signo menos lo pensé como un -1 tanto en de ere como en la integral pasamos a la sustitución queremos llegar a que ésta integral es la negativa de ésta otra eso es lo que nos dijo nuestra intuición entonces me voy a enfocar en la integral de la derecha déjame proponer la siguiente sustitución vamos a ponerles sea un iguala a + bms - t el mismo truco del video pasado entonces de eu es igual a menos dt simplemente derivamos ambos lados o bien podemos escribir que dt es igual a menos de un mes entonces vamos a ver qué obtenemos cuando hacemos este cambio primero tenemos que ponerle sites iguala a entonces es igual a amas ve - ah entonces es igual a b esto es para cambiar los límites de integración para cuando te sigo a la b entonces hubo es igual a ambas ve - b entonces nos queda o iguala a iguala a saleh entonces haciendo este cambio de variable obtenemos la siguiente integral a ver esa integral se hace igual a menos la integral de huguá la b verdad ahora empezamos en b y terminamos en a uala de guasave a o igual a a d efe the x de eeuu y coma ye de eeuu aquí tenemos un y aquí también tenemos un punto y ahora esta expresión de acá entonces a ver voy a poner el paréntesis y luego x prima de eeuu y esta expresión más ye prima de eeuu por j y todo eso en vez de ponerle un dt tenemos que ponerle un déu pero dt es menos de u entonces escribo menos de un mes a poner al menos aquí va a poner de eeuu y s - sale sale sale aquí se cancela con este menos y se vuelve aún más vamos a ponerle aquí un más y ahora tú puedes estar pensando en esas integrales parecen ser iguales no parecen tener signo contrario y bueno casi tiene razón excepto que aquí tenemos los límites de integración de una forma y acaba de otra entonces esta nueva integral que encontramos tenemos todavía que voltearle los límites de integración y entonces nos queda igual a menos la integral de a a b d f de efe de que así dx de u hommage de eeuu punto equis prima de eeuu por y más se prima de eeuu j de eeuu ahora sí esto es idéntico a esto está integral está integral indefinida es idéntica a la de acá las variables distintas acá es tt jackass de eeuu pero como son la variable de integración entonces vamos a obtener exactamente los mismos valores y ponemos la misma la misma ve el mismo campo vectorial efe si recorremos la misma trayectoria da por r vamos al resumen cuando tenemos una integral de línea que está definida en un campo vectorial eso es importante verdad que efe sea un campo vectorial entonces la dirección sí importa si recorremos en el sentido contrario obtenemos la versión negativa esto es porque cuando cambiamos el sentido la dirección de the air se invierte y por tanto los productos punto tienen signos contrarios off que traba lenguas recordemos que si tenemos un campo escalar esto no pasa eso lo vimos en el bid anterior con un campo escalar no nos importa la dirección del recorrido daba lo mismo si recordamos ese momento se y eso era porque estábamos intentando encontrar un área sale espero que esto te haya parecido al menos un poquito impresionante hasta la próxima