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Transcripción del video

si estamos lidiando con dos dimensiones y queremos encontrar el área bajo la curva contamos con buenas herramientas para realizar esto y recordamos que estas herramientas digamos si éste es el eje x y este es el eje gem entonces déjenme dibujarles algunas funciones arbitrarias aquí digamos que ésta es una función fx y que queremos encontrar el área entre x iguala a muy bien y x igual ave eso lo dijimos hace muchos muchos muchos muchos videos anteriores que es tomando secciones muy estrechas o pequeños cambios en x y y que de hecho las llamamos delta x vamos a poner dx en este caso supera infinitamente pequeños cambios en x y luego lo multiplicamos lo multiplicamos por fx así que realmente es lo que estamos haciendo son rectángulos muy muy estrechos es decir estamos tomando fx por la de x y esto nos da el área infinitamente estrecha de este rectángulo justo aquí y puesto que estos elementos son infinitamente pequeños vamos a tener una infinidad de ellos para rellenar todo el espacio verdad y así la herramienta que usamos fue la integral definida la integral es una suma una suma infinita de estas áreas infinitamente pequeñas y e la anotación que usamos iría de a a b y hemos hecho muchos vídeos sobre cómo evaluar estas cosas yo sólo quiero recordarlo conceptualmente lo que está diciendo tomemos un pequeño entonces cambió en x lo multiplicamos por la altura en este punto y vamos a atener una infinidad de éstos por porque las x son súper pequeñas así que tomamos la suma de todos ellos que es tomarnos de integral desde a hasta bbb y es justo nuestra integral definida estándar ahora lo que quiero hacer en este vídeo es extender un poco digamos podría resolver problemas más duros o una clase más amplia de problemas así que vamos a pensar ahora que estamos en tres dimensiones leones y yo acabo de dibujar aquí el plano x llegue sólo voy a mantener esos o para digamos hacer una comparación aunque tengamos un poco de perspectiva pero digamos que ahora este es el eje ye digamos que se va por detrás de la pantalla a y este va a ser nuestro eje kiss justo aquí muy bien este será el eje x digamos que tengo algún camino una trayectoria en el plano x ley para definir realmente en el plano x10 lo tengo que parametrizar tanto la variable x como la vara y la variable ye verdad así que digamos que x es igual a ubs mejor déjeme cambiar de colores para que sea divertido ya usa mucho este digamos que x es igual a una función cdt aja y digamos que llegue es otra función hdp muy bien con el mismo parámetro y digamos que vamos a empezar desde que te es mayor o igual que a y que sea menor o igual que ve ahora está definida un camino en el plano ekije y si esto puede resultar confuso quizás quiera revisar los videos de las ecuaciones paramétricas pero básicamente cuando te es igual la vamos a tener un extremo de nuestra trayectoria correcto entonces vamos a tener que x es gd a y h perdón ye es igual a hd a así que tendremos un punto en el plano x10 puede ser no sé voy a apuntar no aleatorio aquí así que cuando te es igual a dibujamos cda en la coordenada x y además hd a en nuestra coordenada allí así que cuando evaluamos en cada te tanto la función g como h nos va dando puntos del recorrido de esta trayectoria así hasta que alcancemos cuando te vale be ok que más o menos puede ser algo así es una curva una trayectoria en el plano ekije muy bien es decir cómo se relaciona con con la anterior ahora bueno dejen de escribir aquí eh vamos digamos que tengo una función asociada a todo el plan es decir tengo una función efe una función efe que depende tanto de x como the yeah ahora lo que hace es asociar a cada punto de plano un valor real digamos déjenme dibujar la gráfica de este tipo voy a usar un color diferente digamos llamémosle a éste el eje z o lg efe pero algún eje vertical vamos a pintar y para cada punto del plano vamos a poner un valor en el eje vertical que está dado por la función fx y así que puedo dibujar esto justamente como una superficie esto lo voy a hacer en ejemplos concretos en videos anterior perdón posteriores pero dejen usar un color diferente vamos a pintar la superficie o una parte de ella de lo que me resulta de la gráfica de la función de fx le esto es fx y y recordemos que todo esto es la zona x me da son aie le aplicas efe iba a darme un número real que lo voy a pintar en el eje vertical ahora digamos que fx deie podría ser no se x nadie puede ser x porque son sólo ejemplos de cómo pueden ser estas funciones así que si x es uno y ye el 2 entonces tendría fx y igual a 1 x 2 ok entonces como pintamos la gráfica pues simplemente es una superficie ahora queremos descubrir no el área bajo esta curva eso era muy fácil en el caso anterior ahora si imaginamos que esta curva nos define una cortina o una valla que recorre esa curva puedes pensar esto como como un largo camino siendo justo desde el eje perdón desde el punto a cuando te vale a hasta b y e imagina un muro que va recorriendo toda esa línea pero sobre la superficie lo mejor voy a tratar de dibujar lo digamos este es el valor que va tomando la función efe a lo largo de la curva y que sobre la superficie se puede pintar de forma parecida si así que este punto se digamos corresponde a éste que pintó acá arriba así si te imaginas tienes una cortina jeff beck y ye es como el techo lo que dibujado aquí es la parte en la parte de abajo es como un muro en esta especie de de curva medio loca así que déjenme deja de dibujar un poco diferente para que sea un poquito más claro este punto digamos corresponder a algún punto de acabar y va depende de dónde se intercepte no se como sea pero bueno más o menos ese es el dibujo y para ayudarte a visualizar déjenme sombrear para hacer esto un poco más sólido eso es ahora tienes este muro de forma curvada aquí y el objetivo principal de este vídeo es cómo podemos averiguar el área de este muro que está curvo es en esencia el el moro la valla que se forma en esta curva si saltamos por arriba y tocas el techo de fx sigue así que pensemos un poco si usamos únicamente la analogía que hice anteriormente podríamos decir bueno vamos a ir a tomar un pequeño cambio en la distancia de nuestra curva en la longitud de la curva y que vamos a llamarla digamos en bs este es un pequeño y desplazamiento en la jrv en la curva justo ahí y si multiplicó éste por el valor efe de quilla en este punto voy a obtener el área de de ese rectángulo lito verdad de ese pequeño rectángulo justo allí es cierto así que si tomamos de s el cambio en en la longitud de arco del lado de la curva que me dejen de escribir de ese es un súper súper pequeño cambio en el en la longitud de arco de la curva o de nuestro camino ese va a ser nuestro t ese de ese perdón así puedes imaginar que a lo largo de mi muro de ese lo voy a convertir déjame ponerlo como una mayúscula de ese veces la altura es decir de ese por fx 10 horas y sumó todos los rectángulos estrechos de anchura infinitamente pequeña entonces tenemos una suma infinita de todos estos elementos y desde donde desde que te empiecen a y termina en b justamente desde que estamos en el primer punto hasta el último donde termina la curva y eso me define mi área estoy sólo usando la misma lógica que usen los videos anteriores no estoy siendo matemáticamente muy riguroso pero estamos agarrando esto de base para construir el muro que está curado y ver cómo se construye el área pero a lo mejor estás diciendo oye ni siquiera sé cómo calcular esto mira tengo una ds una x ley una t que pueda hacer con esto si son variables muy distintas vamos a ver algún progreso y te prometo que cuando lo hagamos en un ejemplo el producto final de este vídeo para hacer menos difícil de entender eso será cuando lo hagamos en un problema más concreto y verás que realmente no es demasiado difícil de utilizar pero veamos si podemos obtener todo esto en términos de t antes que nada bueno vamos a centrarnos en ts así que déjenme déjeme pintar nuevamente la curva así que vamos a usar otro color para que no sea monótono digamos que vamos a tomar este ley e y ahora este va a ser mi eje x y así este camino de aquí se parecería algo más o menos como esto no si lo pintara de forma correcta este es mi camino me mi arco y cuando te es igual a entonces tenemos el primer punto y cuando te sigo a la vez tenemos el otro extremo del mismo modo sólo volvía a colocar la curva que tenía anteriormente pero de forma digamos este derechita así que es de bs slo moradito que estoy pintando digamos es un pequeño cambio en la longitud de arco y ahora como relacionamos ds ya cambios pequeños o infinitamente pequeño dx ideye bueno si pensamos en eso no estoy siendo muy riguroso pero pero quiero que mostrar del concepto correcto e digamos que podemos poner este cambio pequeño en x y este cambio pequeño yeyé que son los cambios pequeñísimos que me definen este cambio de ese así que estamos pintando dx ideye cambios pequeñísimos en x y de y entonces a partir del teorema de pitágoras podemos descubrir descubrir quién es de s pues simplemente va a ser la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado que en este caso es de x cuadrada más de ye al cuadrado perfecto así que parece que un poco a poco podemos de ese de repente te ponerlo en términos de x ideye así que déjenme red de sí de que me re escribir esta expresión poniendo esta raíz recuerden no estoy siendo totalmente riguroso con los de las derivadas pero creo que esto le da muchísimo sentido así que podemos decir que esté integrada para la cortina curveada va a ser ley integral desde a hasta bbb de fx gem en lugar de poner de ese voy a poner esta raíz la raíz cuadrada de dx al cuadrado más de ye al cuadrado ahora por lo menos nos deshicimos de esta gran s pero no hemos resuelto el problema de cómo resolver una integral definida en xl pero con los valores e de dt desde a hasta bbb así que necesitamos ponerlo todo en términos de té pero sabemos que x y ye son funciones dt así que podemos reescribirlo como que calculamos la integral desde que te es a hasta b df de x que depende de té y ye que también es una función de té así que ponemos que también depende de ésta llegue t si tú me das una te seré capaz de decirte cuánto vale x cuánto vale ye y después cuánto vale la f y luego colocamos esta raíz cuadrada que va a pintar en naranja que es de x cuadrada más de ye cuadrada y eso le sacábamos la raíz aún no hemos terminado de necesitamos un dt en la raíz para poder terminar y veremos cómo aplicar esto en un problema concreto en el próximo video así que yo quiero darte la idea de cómo es que se obtienen la fórmula una cosa que podemos hacer si si nos permitimos manipular algebraica mente las derivadas lo que podemos es multiplicar y dividir por dt así que de un modo vamos a pensar sobre eso déjenme poner esta parte naranja de este lado con otro color digamos esto es lo que teníamos en la raíz de x cuadrada más de 10 cuadras da y digamos que lo multiplicamos por dt sobre dt que digamos realmente es multiplicar por 1 verdad o o el dt es un cambio muy pequeño ente así que esta parte de abajo que se circule la vamos a meter en la raíz así que esto nos queda uno sobre dt por la raíz de dx cuadrada más deie cuadrada y luego multiplica al adt que estaba arriba muy bien sólo para mostrar cómo el loco cómo lo voy a separar aquí y ahora yo lo que quiero es ésta dt meterla dentro de la raíz así que esto será lo mismo sólo no lo permite de permite creer que no estoy haciendo nada oscuro con la con el álgebra esto es meterlo pero al cuadrado verdad y esto va a multiplicar a de x cuadrada más de gec cuadrada y todo esto va a multiplicarse por dt correcto no hice nada solo solo metí el dt al cuadro todo dentro de la raíz para que realmente significa que no esté haciendo yo nada y bueno manipulando algebraica mente está utilizando la propia distributiva tenemos que es de equis entre dt todo eso al cuadrado más de ye sobre vete al cuadrado ahora dx sobre dt es justo la deriva de x eva al cuadrado lo mismo pasa con hielo cual es bastante interesante ahora sustituyamos esta expresión y voy a cambiar los colores sólo para que haya claridad esto será la integral desde que te es igual a la de gm mostrarles de nuevo el dibujo hasta que te sigo a la vez de fx de goma 7 es decir que efe depende de ambas variables y ahora en lugar de estas dx y leyes que teníamos voy a reescribir la raíz cuadrada como la deriva de x respecto dt al cuadrado más la deriva de ye respecto al cuadrado o lo que es lo mismo las derivadas de dg y dh verdad es lo mismo que la deriva dgt la deriva de x es lo mismo que la deriva de que aquí está del lado izquierdo es la función que describe o que parametrizar allí a perdona x y la deriva de ye respecto dt es la derivada de h así que esto lo deja mucho más claro conocemos esas dos funciones y por lo tanto también sucede derivada al respecto del pp lo que queda dentro de la raíz cuadrada sería la deriva de x respecto dt al cuadrado más la deriva de ye respecto dt al cuadrado y todo esto por dt y ésta podría parecer una fórmula algo extraña y compleja pero es realmente algo que sabemos calcular con muchísimo cuidado así que el problema de la longitud de arco o del plan integral de línea porque realmente lo que estamos haciendo es un integral sobre una curva en lugar de hacerlo sobre un intervalo luego sobre el eje x hemos tomado esta extraña integral de línea y la hemos puesto en términos de la longitud de arco y de x ideye y luego todo lo pasamos a la variable t todo fue todo pudo ser expresado en función de té de modo que se convierte en una simple integral definida yo creo que va a saber perfectamente bien qué pasa cuando lo hagamos en un ejemplo y sólo para recordar de dónde viene todo esto esta parte de la derecha sólo fue un cambio en la longitud de arco y éste sólo la altura de la función en ese punto correcto y estamos sólo resumiéndolo haciendo una suma de longitud es infinita infinitamente pequeñas y y bueno esto tiene por supuesto una anchura infinitamente pequeña después lo multiplicamos polar la altura nos da el área de rectángulo hitos y éste integral definida nos dará lo que es el área