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Contenido principal
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Transcripción del video

si estamos lidiando con dos dimensiones y queremos encontrar el área bajo la curva contamos con buenas herramientas para realizar esto y recordamos que estas herramientas digamos si este es el eje xy este es el eje y entonces déjenme dibujar les algunas funciones arbitrarias aquí digamos que esta es una función fx y que queremos encontrar el área entre x igual a a muy bien y x igual a b eso lo dijimos hace muchos muchos muchos muchos vídeos anteriores que es tomando secciones muy estrechas o pequeños cambios en x y que de hecho las llamamos delta x vamos a poner de equis en este caso súper infinitamente pequeños cambios en x y luego lo multiplica menos lo multiplicamos por fx así que realmente lo que estamos haciendo son rectángulos muy muy estrechos es decir estamos tomando f x por la de x y esto nos da el área infinitamente estrecha de este rectángulo justo aquí y puesto que estos elementos son infinitamente pequeños vamos a tener una infinidad de ellos para rellenar todo el espacio verdad y así la herramienta que usamos fue la integral definida la integral es una suma una suma infinita de estas áreas infinitamente pequeñas y la anotación que usamos iría de ave y hemos hecho muchos vídeos sobre cómo evaluar estas cosas yo solo quiero recordarlo conceptualmente lo que esto está diciendo tomemos un pequeño entonces cambio en x muy lo multiplicamos por la altura en este punto y vamos a tener una infinidad de estos x porque las x son super pequeñas así que tomamos la suma de todos ellos que es tomarnos la integral desde a hasta b y eso es justo nuestra integral definida estándar ahora lo que quiero hacer en este vídeo es extender un poco digamos podría resolver problemas más duros o una clase más amplia de problemas así que vamos a pensar ahora que estamos en tres dimensiones y yo acabo de dibujar aquí el plano xy solo voy a mantener eso solo para digamos hacer una comparación aunque tengamos un poco de perspectiva pero digamos que ahora este es el eje y digamos que se va por detrás de la pantalla y este va a ser nuestro eje x justo aquí muy bien este será el eje x digamos que tengo algún camino una trayectoria en el plano xy para definir realmente en el plano x lo tengo que parametrizar tanto la variable x como la vara y la variable y verdad así que digamos que x es igual a 2 mejor déjenme cambiar de colores para que sea divertido ya use mucho este digamos que x es igual a una función que te baja y digamos que ya es otra función hdt muy bien con el mismo parámetro y digamos que vamos a empezar desde que te es mayor o igual que a que sea menor o igual que ve ahora está definida un camino en el plano x y xi esto puede resultar confuso quizás quiera revisar los videos de las ecuaciones paramétricas pero básicamente cuando t es igual a vamos a tener un extremo de nuestra trayectoria correcto entonces vamos a tener que x es heather y h perdón que es igual a hd a así que tendremos un punto en el plano xy puede ser no sé voy a apuntar uno aleatorio aquí así que cuando te es igual a dibujamos gba en la coordenada x y además hd a en nuestra coordenada allí así que cuando evaluamos en cada t tanto la función g como h nos va dando puntos del recorrido de esta trayectoria así hasta que alcancemos cuando te vale ok que más o menos puede ser algo así es una curva una trayectoria en el plano xy muy bien es decir cómo se relaciona con lo anterior ahora bueno déjenme escribir aquí vamos digamos que tengo una función asociada a todo el plano es decir tengo una función f una función f que depende tanto de x como de g ahora lo que hace es asociar a cada punto del plano un valor real digamos déjenme dibujar la gráfica de este fin voy a usar un color diferente digamos llamémosle a este el eje z o el eje f pero algún eje vertical vamos a pintar y para cada punto del plano vamos a poner un valor en el eje vertical que está dado por la función f x y así que puedo dibujar esto justamente como una superficie esto lo voy a hacer en ejemplos concretos en vídeos anteriores perdón posteriores pero déjenme usar un color diferente vamos a pintar la superficie o una parte de ella de lo que me resulta de la gráfica de la función de fx y esto es fx y recordemos que todo esto es me das una x me das una y le aplicas efe y va a darme un número real que lo voy a pintar en el eje vertical ahora digamos que fx de ye podría ser no sé x más puede ser x porque son sólo ejemplos de cómo pueden ser estas funciones así que si x es 1 y que es 2 entonces tendría este x igual a 1 x 2 ok entonces como pintamos la gráfica pues simplemente es una superficie ahora queremos descubrir no el área bajo esta curva eso era muy fácil en el caso anterior ahora sí imaginamos que esta curva nos define una cortina o una valla que recorre esa curva puedes pensar esto como como un largo camino yendo justo desde el eje perdón desde el punto a cuando te vale hasta ve y se imagina un muro que va recorriendo toda esa línea pero sobre la superficie lo mejor voy a tratar de dibujarlo digamos este es el valor que va tomando la función f a lo largo de la curva y que sobre la superficie se puede pintar de forma parecida así así que este punto se digamos corresponde desde que pintó acá arriba así si te imaginas tienes una cortina y fx y es como el techo lo que he dibujado aquí es la parte en la parte de abajo es como un muro en esta especie de curva medio loca así que déjenme dejen de dibujarlo un poco diferente para que sea un poquito más claro este punto digamos corresponder a algún punto de acá arriba depende de dónde se intersecta no sé cómo sea pero bueno más o menos este es el dibujo y para ayudarte a visualizar déjenme sombrear para hacer esto un poco más sólido eso es ahora tienes este muro de forma curvada aquí y el objetivo principal de este vídeo es cómo podemos averiguar el área de este muro que está curvo es en esencia el el muro o la valla que se forma en esta curva si saltamos por arriba y tocas el techo de fx 10 así que pensemos un poco si usamos únicamente la analogía que hice anteriormente podríamos decir bueno vamos a tomar un pequeño cambio en la distancia de nuestra curva en la longitud de la curva y que vamos a llamarla digamos en bs ese es un pequeño desplazamiento en la curva en la curva justo ahí y si multiplico este por el valor fx y en este punto voy a obtener el área de de ese rectángulo verdad de ese pequeño rectángulo justo allí es cierto así que si tomamos de ese el cambio en en la longitud de arco de la curva déjenme déjenme escribir de ese es un super super pequeño cambio en el en la longitud de arco de la curva de nuestro camino ese va a ser nuestro t es de ese perdón así puedes imaginar que a lo largo de mi muro de s lo voy a convertir déjenme ponerlo como una mayúscula de s veces la altura es decir de s por fx y ahora si sumo todos los rectángulos estrechos de anchura infinitamente pequeña entonces tenemos una suma infinita de todos estos elementos y desde donde desde que te empieza en nada y termina en b justamente desde que estamos en el primer punto hasta el último dónde termina la curva y eso me define mi área estoy solo usando la misma lógica que usé en los vídeos anteriores no estoy siendo matemáticamente muy riguroso pero estamos agarrando esto de base para construir el muro que está curvado y ver cómo se construye el área pero a lo mejor estás diciendo oye ni siquiera sé cómo calcular esto mírate en una de ese una xy y una t qué puedo hacer con esto si son variables muy distintas vamos a ver algún progreso y te prometo que cuando lo hagamos en un ejemplo el producto final de este vídeo va a ser menos difícil de entender eso será cuando lo hagamos en un problema más concreto y verás que realmente no es demasiado difícil de utilizar pero veamos si podemos obtener todo esto en términos de t antes que nada bueno vamos a centrarnos en ds así que déjenme déjeme pintar nuevamente la curva así que vamos a usar otro color para que no sea monótono digamos que vamos a tomar este lg y ahora este va a ser mi eje x y así este camino de aquí se parecería algo más o menos como esto no si lo pintara de forma correcta este es mi camino mi mi arco y cuando te es igual a entonces tenemos el primer punto y cuando te des igual tenemos el otro extremo del mismo modo sólo volvía a colocar la curva que tenía anteriormente pero de forma digamos este derechita así que este de ese es lo moradito que estoy pintando digamos es un pequeño cambio en la longitud de arco y ahora como relacionamos de ese y a cambios pequeños o infinitamente pequeños de xy de ella bueno si pensamos en eso no estoy siendo muy riguroso pero pero quiero que mostrarte el concepto correcto digamos que podemos poner este cambio pequeño en equis y este cambio pequeño en y aquí son los cambios pequeñísimos que me definen este cambio de s así que estamos pintando de xy de cambios pequeñísimos en x y de y entonces a partir del teorema de pitágoras podemos descubrir descubrir quién es de s pues simplemente va a ser la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado que en este caso es de x cuadrada más de iu al cuadrado perfecto así que parece que un poco a poco podemos de ese de repente ponerlo en términos de equis y así que déjenme si déjenme reescribir esta expresión poniendo esta raíz recuerden no estoy siendo totalmente riguroso con lo de las derivadas pero creo que esto le da muchísimo sentido así que podemos decir que esta integral para la cortina curveada va a ser la integral desde a hasta b de fx y siempre en lugar de poner de s voy a poner esta raíz la raíz cuadrada de de x al cuadrado más de y al cuadrado ahora por lo menos nos deshicimos de esta gran s pero no hemos resuelto el problema de cómo resolver una integral definida en xy pero con los valores de dt desde hasta b así que necesitamos ponerlo todo en términos de t pero sabemos que xy son funciones de t así que podemos escribir lo como calculamos la integral desde que este es a hasta d df de x que depende de t y que también es una función de t así que ponemos que también depende de esta 7 si tú me das una t seré capaz de decirte cuánto vale x cuánto vale ye y después cuánto vale la f y luego colocamos esta raíz cuadrada que voy a pintar en naranja que es de x cuadrada más d cuadrada y eso le sacábamos la raíz aún no hemos terminado necesitamos un dt en la raíz para poder terminar y veremos cómo aplicar esto en un problema concreto en el próximo vídeo así que yo quiero darte la idea de cómo es que se obtiene la fórmula una cosa que podemos hacer si nos permitimos manipular algebraica mente las derivadas lo que podemos es multiplicar y dividir por dt así que de un modo vamos a pensar sobre eso déjenme poner esta parte naranja de este lado con otro color digamos esto es lo que teníamos en la raíz de x cuadrada más d cuadrada y digamos que lo multiplicamos por dt sobre de t que digamos realmente es multiplicar por 1 verdad o el dt es un cambio muy pequeño en t así que esta parte de abajo que circule la vamos a meter en la raíz así que esto nos queda uno sobre de t por la raíz de de x cuadrada más d cuadrada y luego multiplica al adt que estaba arriba muy bien sólo para mostrar como como lo voy a separar aquí ahora yo lo que quiero es esta de té meterla dentro de la raíz así que esto será lo mismo solo sólo permite de permite creer que no estoy haciendo nada oscuro con la con el álgebra esto es meterlo pero al cuadrado verdad y esto va a multiplicar a de x cuadrada más de ye cuadrada y todo esto va a multiplicarse por de t correcto no hice nada solo solo metí el dt al cuadrado dentro de la raíz para que realmente significa que no esté haciendo yo nada y bueno manipulando algebraica mente está utilizando la propiedad distributiva tenemos que es de x / dt todo eso al cuadrado más de iu sobre de t al cuadrado ahora de x sobre dt es justo la derivada de x al cuadrado lo mismo pasa con ye lo cual es bastante interesante ahora sustituyamos esta expresión y voy a cambiar los colores solo para que haya claridad esto será la integral desde que t es igual a déjenme mostrarles de nuevo el dibujo hasta que te sigo al ave de fx te coma 7 es decir que f depende de ambas variables y ahora en lugar de estas de xy de yes que teníamos voy a reescribir la raíz cuadrada como la derivada de x respecto dt al cuadrado más la derivada de ye respecto al t al cuadrado o lo que es lo mismo las derivadas de d g y de h verdad es lo mismo que la derivada de gt la derivada de x es lo mismo que la derivada de g aquí está del lado izquierdo es la función que describe o que parametrizar a perdón a x y la derivada de ye respecto de t es la derivada de h así que esto lo deja mucho más claro conocemos esas dos funciones y por lo tanto también su derivada al respecto de lo que queda dentro de la raíz cuadrada sería la derivada de x respecto de t al cuadrado más la derivada de y respecto de t al cuadrado y todo esto por dt y ésta podría aparecer una fórmula algo extraña y compleja pero es realmente algo que sabemos calcular con muchísimo cuidado así que el problema de la longitud de arco o de la integral de línea porque realmente lo que estamos haciendo es una integral sobre una curva en lugar de hacerlo sobre un intervalo sobre el eje x hemos tomado esta extraña integral de línea y la hemos puesto en términos de la lo de arco y de xy de iu y luego todos lo pasamos a la variable t todo fue todo pudo ser expresado en función de t de modo que se convierte en una simple integral definida yo creo que va a saber perfectamente bien qué pasa cuando lo hagamos en un ejemplo y solo para recordarte de dónde viene todo esto esta parte de la derecha solo fue un cambio en la longitud de arco y este es solo la altura de la función en ese punto correcto y estamos solo resumiéndolo y haciendo una suma de longitud es infinita infinitamente pequeñas y bueno esto tiene por supuesto una anchura infinitamente pequeña después lo multiplicamos por la la altura nos da el área de rectángulos y esta integral definida nos dará lo que es el área