Integral de línea. Ejemplo 1

el vídeo pasado fue muy abstracto y general use una fx una g de una hdt entonces lo que quiero hacer en este vídeo es fijar las ideas haciendo un ejemplo concreto vamos a tomar efe de x igual al producto de x a x borge ahora supongamos que también tenemos una trayectoria en el plano x que dada como sigue déjame llamarle a esta curva c y vamos a suponer que está dada por las siguientes coordenadas x igual a coseno de t y que igual a seno de t conforme se mueve te vamos a obteniendo puntos en el plano xy pero te tengo que decir en donde se mueve t el límite inferior va a ser cero lo voy a escribir aquí a la derecha cero es menor o igual a atte y esto es menor o igual que vamos a ponerlo en radiales y medios si fuera en grados serían 90 grados bajo esta de aquí es la curva a lo mejor reconozcas inmediatamente cómo se ve una curva de este estilo pero lo voy a dibujar rápidamente para poder visualizar esta cosa de aquí va entonces esta curva vamos a dibujarlo rápidamente si voy déjame hacerlo con otro color voy a poner aquí mi eje y entonces de aquí voy a poner el eje x cuando te vale 0 que obtenemos tenemos x igual a coseno de 0 cosenos de cero es 1 y es igual a seno de cero senos de cero es cero entonces para t igual a cero obtenemos este punto de aquí es decir x igual a coser no de cero igual a seno de cero o lo que es lo mismo el punto 10 t igual a cero ahí está para cuando usted es igual a pi medios que obtenemos coseno depp y medios a ver este es el ángulo jose no de pie entre 20 y seno de pie entre 2 es igual a 1 entonces obtenemos el punto 01 es este de aquí para t igual a ti medios a lo mejor ya te diste cuenta que lo que vamos a dibujar es el primer cuadrante del círculo unitario para cuando te es igual a cuartos vamos a obtener el punto x igual a igual a 1 entre raíz de dos puedes verificar lo por tu cuenta cuando tratemos todo que nos queda pues queda la parte superior derecha del círculo unitario y además va a estar recorrido en esta dirección conforme se mueve de 0 a 2 ay le pongo c ahora pues no estamos aquí simplemente para graficar una ecuación paramétrica lo que queremos hacer es levantar una cosa como una tipo reja sobre esta curva hasta la superficie aquí arriba ya preparé unos dibujos para visualizarlo mejor vamos para cada entonces aquí tenemos dos dibujos de la misma situación va son exactamente lo mismo solo que uno está rotado con respecto al otro entonces vamos al de la izquierda en este de la izquierda voy a marcar aquí el eje x ahí está el eje x aquí atrás está el eje y el eje vertical es el eje z va a estar el uno por aquí y por acá también está el uno y entonces vamos a dibujar esta curva sobre el plano xy de mi gráfica entonces quedaría algo de este estilo déjame dibujarlo ahí va listo acuérdate que eso está sobre el plano xy está de aquí es exactamente la misma gráfica fx y igual xy voy a ponerlo efe x es igual a xy que también es igual que esta de acá simplemente está rota da y en esta segunda aquí tenemos el eje x simplemente está rotado digamos como unos 30 grados más o menos este de acá es el eje y y fíjate aquí arriba sube el eje z va la curva se vamos a dibujarla en el segundo en el segundo diagrama y nos queda algo de este estilo cuando usted es igual a cero aquí tenemos este puntito que se empieza a mover y conforme se mueve llega hasta acá hasta el punto cero uno que corresponde a cuando te es igual a pi medios lo que queremos hacer es encontrar el área que queda en la cortina que está entre estas dos superficies es decir vamos a ir bajando algunos hilos por aquí para formar una cortina o si quieres pensarlo más bien como una pared déjame pintarla con otro color para que quede sombreada bonito aquí le voy a poner naranja ahora quiero poner más naranja ok voy a tomar otro color a ver vamos a sombrear lo con otras líneas verticales más o menos por aquí y lo que queremos hacer es encontrar el área de esta pared que está entre la base definida por la curva y el techo que está definido por esta superficie entonces ya tenemos dos gráficas ya tenemos más o menos unidades que tenemos que hacer acordémonos del vídeo pasado para ver cómo le hacíamos la idea es tomar un pequeño cambio en la longitud de arco y multiplicar ese pequeño cambio por la altura y la altura pues justamente está dada por el valor de la función este pequeño cambio lo vamos a llamar de ese y la altura es simplemente es fx y después vamos a tener que hacer una suma infinita desde t igual a 0 hasta que igual a pi medios o sea una integral y eso debería de darnos el área de esta pared va vámonos a las cuentas lo que acabamos de decir es que hay que tomar la integral desde t igual a 0 hasta que igual a pi entre 2 tiene mucho sentido verdad porque ya todo va a quedar en términos de té de fx y aunque bueno justo por lo que acabo de decir como ya vamos a tener todo en términos de té vamos avanzando hacia eso entonces vamos a poner fx explícitamente que es xy ahorita lo cambiamos por las cosas de té y hay que multiplicar por el pequeño cambio en la longitud de arco de ese vamos a acordarnos que hacíamos en el vídeo pasado en el vídeo pasado encontramos que este pequeño cambio en la longitud de arco es decir de ese estaba dado por la siguiente fórmula estaba dado por la raíz cuadrada de de x entre dt o sea la derivada de x con respecto a t al cuadrado más la derivada de ella con respecto a t al cuadrado y todo eso multiplicado por de t va entonces vamos a reescribir nuestra integral con esta nueva fórmula esta expresión nos queda igual a la integral desde t igual a 0 hasta te iguala y medios de xy ahora sí vamos a poner cuánto vale x y cuánto vale ya vámonos a la parametrización entonces en vez de poner una equis tenemos que poner coseno de t por qué pues porque justo sobre la curva x vale coseno de t aquí le pongo coseno de t va este de aquí es x no estoy haciendo nada raro simplemente viene de la parametrización va ahora pasemos al valor de g hay que multiplicar por cheques seno de t seno de t misma idea esto de aquí vale ye porque lo único que hice fue cambiar cada uno de ellos por sus valores que nos da la parametrización vamos a multiplicar por d&s de esa es la raíz cuadrada de la derivada de x con respecto a t todo eso elevado al cuadrado más la derivada de y con respecto a t elevado al cuadrado y multiplicamos por un dt va entonces tenemos que encontrar estas dos derivadas podría parecer algo complicado pero en realidad no lo es porque aquí está xy aquí está y entonces simplemente tenemos que encontrar las derivadas no voy a escribir aquí abajo a la derecha entonces sabemos que la derivada de x con respecto a t es la derivada de coseno con respecto a t y eso de ahí es menos seno de t y por otro lado la derivada de ella con respecto a la derivada de ye con respecto a t es igual a la derivada de seno con respecto a t es decir es coseno dt en ba vamos a sustituir en la raíz para ver que nos queda entonces a ver acuérdate que hacemos todo esto para encontrar el área de esta cortina que abajo tiene la base como la curva y la función es el techo ok entonces reescribamos la integral nos queda la integral desde cero hasta te iguala pi medios ba cambiamos al amarillo de coseno de t por seno dt coseno porsche no simplemente es x por d&s que es esta expresión de aquí entonces vamos a reescribir esto como la raíz de la derivada de x con respecto a que es menos seno de t - seno de t elevado al cuadrado y luego sumamos la derivada de ya con respecto a t que está aquí es coseno de t elevado al cuadrado verdad voy a aumentar un poco la raíz y todo esto hay que multiplicarlo por bt déjame copiar esta expresión aquí a la derecha entonces vamos a ver qué es algo realmente simple va entonces vamos a hacer el menos 0 dt al cuadrado y quitarle el signo lo voy a hacer por aquí nos queda menos seno de t elevado al cuadrado más coseno de t elevado al cuadrado y eso de ahí es igual a seno de t elevado al cuadrado más coseno de t elevado al cuadrado estas dos expresiones son exactamente lo mismo porque simplemente este menos lo elevamos al cuadrado y lo cancelamos va fíjate que esto de aquí es la identidad trigonométricas más fácil del mundo este de aquí simplemente es uno va entonces toda esta expresión que está dentro de dentro de la raíz es igual a 1 entonces tomar la raíz de 1 nos queda igual a 1 y entonces toda esta expresión se convierte en un 1 entonces esta expresión esta integral que se veía muy difícil se simplifican a la integral desde t igual a cero hasta t igual a pi medios y déjame hacer un pequeño cambio para que se vea más claro el siguiente paso voy a intercambiar coseno y seno y aquí voy a poner seno de t multiplican seno de 'the x coseno de t de t lo único que hice fue que esta cosa la puse igual a uno e intercambiar el orden de estos dos para que el siguiente paso sea más fácil de explicar ahora esta integral pues fíjate hay un seno y un coseno y el coste no es la derivada de seno entonces tenemos una función y su derivada a lo mejor te animes a hacer esta esta integral de aquí por un cambio de variable mentalmente pero yo lo voy a hacer más más explícitamente para que nos quede muy claro cómo quedan entonces voy a proponer un valor de u voy a poner igual a seno de t y ahora tenemos que derivar con respecto a te deum de t es igual a coseno de t y si multiplicamos ambos lados por de t siendo prácticos pero no precisamente rigurosos nos queda que de eeuu es igual a coseno de t de t excelente fíjate que aquí tenemos una u y que coseno de este x dt es igual a de uno entonces aquí queda de un y vamos a poner que nos queda en los límites de integración cuando te es igual a cero nos estamos haciendo esto porque tenemos que cambiarlo a la integral de de algo con pura verdad entonces cuando te es igual a cero es seno de cero entonces nos queda también igual a cero y arriba nos queda pues a ver seno de pime dioses en nueve y medios que es uno y entonces en el límite superior debemos poner uno es igual a uno va muy bien pasemos lo demás en términos de eeuu aquí tenemos una y entonces ponemos aquí y en vez de con seno de tdt tenemos simplemente de un esta de aquí es la integral más fácil del mundo verdad bueno quizás es un poco más difícil que las de las constantes pero igual está fácil nos queda un medio de 1 al cuadrado simplemente elevamos el exponente en 1 y dividimos entre el exponente nuevo entonces un medio de o al cuadrado evaluado desde 0 hasta 1 ya nada más hay que pasar esto a las cuentas numéricas verdad es un medio de 1 al cuadrado menos un medio de 0 al cuadrado va esto que nos queda es un medio por 1 menos un medio por 0 que 0 es un medio listo hicimos todo este trabajo y obtuvimos una respuesta bonita y sencilla entonces el área de esta cortina el área de la de la pared que marcamos aquí ya está hecha por una integral de línea entonces nos queda una aplicación muy bonita y que nos quedó pues nos quedó igual a un medio listo espero que te haya gustado este ejemplo la verdad estuvo un poco fácil en el siguiente vídeo vamos a hacer uno un poco más complicado