Calcular una integral de superficie. Ejemplo (parte 1)

hace ya unos varios vídeos que vimos que podemos parametrizar un toro o lo que es la forma de una de una dona de una dona de las que nos comemos verdad como una función vectorial de posición que depende de dos variables es decir de dos parámetros y bueno lo enseña hace unos vídeos era un poco difícil pero voy a reescribir esta función vectorial como la función r que depende de nuestros parámetros s&p y luego vamos a repasar un poco lo que significaban esto es verdad que tenía por ahí unas hadas de unas veces entonces la función erre estará dada por de más a coseno de s donde hay b son constantes verdad quizás quieras repasar los vídeos sobre la parametrización de superficies con dos parámetros para entender cómo es que llegamos aquí y luego esta expresión que les decía lo multiplicamos por seno de t ahora todo esto irán multiplicando al vector y que lo voy a dejar en los vectores en color color naranja ahora sumamos de más a coseno de s por y ahora vamos a multiplicar por el coseno coseno de t muy bien y todo esto va en la dirección j recordemos que es una superficie en la tercera en el espacio de tres dimensiones así que falta una última entrada que será a seno de ese por el vector en la dirección del eje z que es acá y esto es lo que nos genera la figura de la dona o el toro ahora para no envolvernos con pues no sé muchos detalles y demás este solo vamos a poner que ese es mayor o igual que 0 y menor que 2 pi y que la t está entre 0 y 2 pi perfecto ahora vamos a distribuir está este ejemplo en varios vídeos pero bueno vamos a repasar de dónde vino todo esto aquí está un intento de dibujar una una rosquilla una dona qué o un toro pues y bueno puedes imaginarlo verdad es esto es la forma de una dona ahora tenemos un círculo que es una sección transversal por ejemplo este que pintamos en azul todos estos todos estos y después tenemos un círculo que envuelve a todo es verdad así así cuando derivamos la fórmula de acá arriba la fórmula que tenemos arriba a era el radio de estas secciones transversales este es a esta que estamos subrayando y ve era la distancia del centro del toro del centro del toro centro de estas secciones transversales esta es nuestra distancia ve que estamos pintando en amarillo así que podemos imaginar que ves como el radio del toro verdad que es la distancia del centro al centro del centro del toro al centro de cada sección transversal y cuando lo parametrizados el parámetro s esencialmente nos está diciendo a qué grado a qué grado estamos envolviendo al círculo de este circulito azul así que el ángulo pues está entre 0 y 2 p verdad nos está diciendo que tanto hemos girado en este círculo transversal ahora la t funciona igual pero con este este círculo que es como digamos ecuatorial sí y estamos pensando en la t como el ángulo que recorremos a lo largo de la de lado nano en su sección transversal y bueno vimos en vídeos anteriores cómo cómo calcular ahora la integral de una superficie verdad la integral de superficie nos va a dar la super fila perdón el área de este toro así que si a este toro le llamamos sigma y lo representamos como la función vectorial r que depende de dos parámetros aceite si está sigma es la imagen de todos esos valores entonces ya vimos que la integral de superficie como lo vimos en el vídeo anterior pues está integrada al doble sobre sigma que es la superficie en realidad representa la suma de una superficie de un montón de de sigma es verdad donde décimas las podemos imaginar como pequeños parches hitos en nuestro toro una siesta está digamos podría ser de sigma es una doble integral porque queremos integrar sobre una superficie de dos dimensiones verdad podríamos pensar que integramos en una dirección transversal y en una longitudinal a lo largo de todo el toro por eso es que usamos una doble integral perfecto ahora el punto central del vídeo y posiblemente de otros dos es es calcular este integral así que en realidad calcular la integral pues podría haber en el integrando una función escalar verdad pero en este caso sólo estamos multiplicando por 1 y lo que vimos en el último vídeo es que realmente pues no se puede hacer mucho con esta expresión pero una forma de llevar esta integral es como lo vimos en el vídeo reciente es verdad esto es lo mismo que la integra al doble sobre la región sobre la que se definen los parámetros es decir existe ambos están entre 0 y 2 pi correcto cualquiera que sea la función que tengamos dentro aquí sólo tenemos un 1 así que podemos escribir por de sigma que en realidad es la magnitud de la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r la derivada parcial de r respecto de t estamos haciendo esta magnitud y ahora vamos a integrar por supuesto respecto de ese y respecto de t como lo vimos en el último vídeo lo que vamos a hacer ahora es realmente calcularlo ese es el punto central de este vídeo vamos a tomar el producto cruz de estos dos vectores y de hecho vamos a calcular los vectores y después veremos ya que es lo que prosigue en esta doble integral vamos a ver qué es un problema bastante difícil bueno es engorroso y quizás por eso algunas personas nunca han hecho una integral de superficie en su vida pero de todos modos nosotros si lo vamos a hacer así que primero la parcial de r respecto de s pues es es que es el término que subrayamos en realidad es derivar respecto de s cada uno cada una de las componentes de r y ponerlos como un vector verdad así que en realidad si derivamos la primera respecto de s pues tenemos b por el seno de t que es una constante si distribuimos ese producto y después a coseno de s por seno de t hacen o dt es constante por lo tanto solo derivamos coseno de s que es menos s perdón menos seno de s así que terminamos poniendo menos a por el seno de t seno de ese verdad eso es la derivada de la primera componente revísalo si no te quedó muy claro pero bueno concluimos que esto es menos a seno de tss y finalmente multiplicamos por el vector y ahora derivamos la segunda componente respecto de s otra vez y distribuimos tenemos b por coseno dt que es una constante ay coseno de t es una constante para el segundo sumando por lo tanto sólo hay que derivar coseno de s que nuevamente la derivada de eso es menos seno de s así que este el resultado de derivar respecto desde la segunda componente es menos a por el coseno de t y ahora por el seno de s seno de s y finalmente hay que multiplicar nuevamente por el vector unitario j y ahora derivamos respecto desde la última componente aquí es muy sencillo verdad a es una constante y la derivada del seno de s simplemente es coseno de s así que ponemos a coseno de s y multiplicamos por nuestro vector unitario acá muy bien espero que no haya sido muy confuso si no puedes hacerlo con mucho cuidado tú mismo en realidad solo derivamos lo que estaba entre los paréntesis de las primeras dos componentes y eso fue lo que nos dio los resultados y bueno en la última componente era inmediato verdad ahora hagamos lo mismo con respecto a te vamos a vamos a hacerlo de otro color para que sea más vistoso entonces vamos a tomar la derivada parcial de r respecto de t perfecto entonces todo esto es una constante en la primera en la primera entrada de más a coseno de s es una constante por lo tanto ahí se queda y ahora derivamos seno de t la derivada de seno dt es coseno dt y simplemente le ponemos ahora el vector y porque lo multiplicamos por s de nueva cuenta en la segunda componente de más a coseno de s es una constante que multiplica coseno de t esto para fines de derivar respecto dt verdad y ahora la derivada de coseno dt es menos seno de t por eso ponemos el signo menos a la izquierda y seno desde a la derecha y después lo multiplicamos por nuestra constante perfecto y finalmente la última componente no depende de ti por lo tanto es una constante si derivamos una constante respecto de t pues entonces simplemente tendremos cero así que lo vamos a escribir como 0 por nuestro vector perdón vamos a dejarlo en ese color verdad 0 por nuestro vector unitario que eso nos da nuestras dos derivadas parciales de r y ahora hay que hacer el producto cruz y tomar la magnitudes después tomaremos la integral doble pero ya lo haremos en otros vídeos