Integral de línea. Ejemplo 2 (parte 1)

vamos a hacer un ejemplo más complicado de integral de línea tomemos fx y dada por x más cuadrada esto de aquí nos determina una superficie en el espacio voy a intentar dibujarla aquí tenemos el eje con un poco de perspectiva este de aquí es el eje x si quieres lo prolongamos para los valores negativos hacia acá y entonces que nos queda si intentamos dibujar esto cuando ya es igual a cero entonces estamos en el plano x z y simplemente nos queda una recta porque nada más nos queda x y para cada x tenemos una parábola entonces nos va a ir quedando una cosa de este estilo ahí van unas cuantas parábolas listo si pusiéramos valores de negativos veríamos las otras mitades de las parábolas pero lo voy a dejar así porque nada más me interesa el primer cuadrante entonces vamos a tener esta superficie que se ve más o menos así este de aquí nada más es un intento a lo mejor luego luego haga otro más padre pero estoy aquí es el techo este aquí es el techo de qué cosa pues de una integral que ahorita vamos a hacer vamos a tomar la siguiente trayectoria vamos a empezar en el punto 20 va a estar un poco largo el recorrido ahí va primero vamos a recorrer un círculo similar a como lo hicimos en el vídeo pasado entonces vamos a recorrer el círculo sólo que ahora el círculo tiene radio 2 en el sentido antihorario es decir nos vamos para allá y caemos aquí sobre el eje y al punto 0 2 y luego lo que voy a hacer es bajar sobre el eje x a ver aquí lo voy a poner con color verde hasta llegar al punto 0 0 en esa dirección finalmente ya que llegue al 0 0 voy a regresar al 20 sobre el eje x algo de este estilo a esta trayectoria la vamos a llamar se sale y vale lo que quiero hacer es evaluar el área de cada una de las paredes de este pues como edificio cuyo techo es x más cuadrada y cuya base está dada por la trayectoria déjame dibujar las paredes aquí tenemos una pared verdad cuya base es el eje x luego tenemos una pared como curva entonces como por aquí así sobre la superficie déjame marcarla un poco mejor creo que aquí debería quedar un poco más arriba como por ahí listo esta es la segunda pared y finalmente tenemos una tercera pared en el plano y ez que baja hasta el 0 0 parabólica mente más o menos algo de ese estilo déjame pintarlo con otros colores lo voy a pintar con color rosa mexicano entonces esa es la pared de atrás verdad y además tenemos una pared frontal que voy a pintar con amarillo esa está sobre el plano x z finalmente tenemos una tercera pared que es como curva y la voy a pintar con pues creo que es como azul va entonces esta pared azul está sobre el círculo de radio 2 si es un poco difícil de visualizar si no tenemos un programa gráfico para hacer el dibujo pero bueno calculamos las áreas de las tres paredes lo bueno es que tenemos una anotación muy simple para expresar esto vamos a ponerle que el área de la superficie de esas paredes está esta y esta es igual a una integral de línea vamos a poner la integral de línea sobre la curva c vamos a ponerle aquí de f x es decir x + cuadrada todo eso de s donde de ese es ese pequeño cambio de la longitud sobre el contorno esto de aquí es una integral cerrada y a veces en la integral vas a ver un circulito esa notación se usa mucho en libros de física y en otros libros de aplicaciones pero de lo único que tenemos que acordarnos es que significa que la trayectoria empieza en un punto y regresa a ese mismo punto bar cómo le hacemos para resolver esta integral pues un buen punto para empezar es pues definir bien bien la trayectoria con una cierta parametrización tenemos tres piezas de trayectoria entonces vamos a hacer cada una de ellas por separado vamos a empezar con la más difícil la más difícil es este círculo de aquí este bueno este cuarto de círculo y entonces es un círculo de radio 2 se parece mucho a lo que hicimos en el vídeo pasado entonces va a quedar algo del estilo déjame poner con otro color para que nos quede un poco más claro aquí lo voy a poner con color naranja entonces nos queda x es igual a dos veces coseno d y luego ya es igual a dos veces seno de t tenemos que darle un intervalo a la t esto simplemente lo que hicimos en el vídeo pasado pero ahora el círculo es de radio 2 pero es la misma idea que se mueve desde cero hasta el año que lo está escribiendo mal a ver cero menor o igual que te menor o igual que y misma idea 90° espí medios listo este esencialmente es el ángulo que se va recorriendo conforme nos movemos en la trayectoria ok entonces como le hice para construir esto puede ser un poco confuso si no te acuerdas de cómo hacer ecuaciones paramétricas si es tu caso te recomiendo ver los otros vídeos para aprender a parametrizar bueno vamos a encontrar la superficie sobre esta trayectoria circular eventualmente vamos a tener que encontrar unas derivadas con respecto a t hagamos las de una vez de x dt es igual a la derivada de dos coseno dt con respecto a t es menos dos veces en lo de t y la otra de jett pues es igual a dos veces coseno dt porque la derivada de kosheh no es menos seno y la de seno es coseno va entonces si queremos encontrar la superficie de esta pared naranja entonces pues puedes ir dos vídeos atrás para ver de dónde sacamos la fórmula pero lo que hay que hacer es tomar la integral desde cero hasta pi entre dos de nuestra función de x + d cuadrada y luego hay que multiplicar por d s es decir el pequeño cambio la f ya nos dio la altura y el pequeño cambio nos va a dar el ancho entonces le vamos a llamar de ese pero ya sabemos que podemos reescribir eso como la raíz cuadrada déjame poner un poco de paréntesis para poner bien el orden de las operaciones de de x entre de t al cuadrado verdad entonces nos queda menos dos veces seno de t elevado al cuadrado más la derivada de ye con respecto al t al cuadrado dos veces coseno de t elevado al cuadrado dt listo eso nos va a dar la sección naranja y después nos vamos a ocupar de las otras dos paredes pero vamos a acabar con esta cómo podemos simplificar esta expresión eso nos va a quedar igual a la integral de cero aquí entre 2 de x más cuadrada sabes que como ya estamos poniendo todo en términos de t pues de una vez vamos a cambiarla xy la aie por su parametrización x es igual a dos veces coseno de te lo escribo aquí dos veces dt y luego hay que sumar ya o sea dos veces seno de t2 seno de t y eso de ahí elevado al cuadrado para eso hay que multiplicarlo por bs es decir esta raíz ahí va vamos a copiarla aquí abajo se ve como que un poco difícil pero ahorita vamos a ver que en realidad no es tan complicada y entonces nos queda cuatro veces seno cuadrado de t más cuatro veces coseno cuadrado de t ahora pues va a pasar algo padre cuando factor izamos el 4 verdad déjame hacer esto aquí abajo aquí pongo el dt entonces vamos a hacer simplemente esta expresión para no reescribir toda la integral y entonces nos va a quedar la raíz cuadrada de 4 por seno cuadrado de t más coseno cuadrado de t esto es muy bueno seno cuadrado más coseno cuadrado siempre da 1 entonces se simplifica a la raíz de 4 que es un 2 entonces toda esta raíz es un 2 eso está muy bonito verdad vamos a seguir con la cuenta aquí abajo entonces a ver vamos a copiar la integral común como la integral de 0 a medios de haber déjame dejar algo claro antes pusimos está parametrización porque fue la más simple que se me ocurrió pero puede ser que otra parametrización también cubra esa trayectoria si te encuentras otra no importa si haces las cuentas con calma y todo sale bien entonces al final te debería de dar el mismo resultado pero bueno sigamos aquí abajo con la parametrización que ya tenemos que según yo es pues una de las más fáciles y entonces se va a simplificar a lo siguiente nos queda cuatro veces coseno de t y luego hay que multiplicar pues haber dos por esta cosa al cuadrado dos veces seno de al cuadrado es cuatro por seno cuadrado de t entonces es más cuatro seno cuadrado de t pero no hay que olvidar este dos va entonces este 2 lo ponemos aquí nos queda un 8 y pues toda esta expresión hay que ponerle a un dt ba seno cuadrado de t parece que va a ser difícil de integrar pero aquí nos salva una identidad trigonométricas seno cuadrado de lo que sea digamos de eeuu es igual a un medio de uno menos coseno de dos veces uno entonces podemos usar esta identidad para cuando hubo es igual a t entonces aquí podemos poner t es igual a un medio de uno menos coseno de 2 t y entonces vamos a reescribir la integral con esta identidad trigonométricas obtenemos la integral de 0 y medios de haber nos queda cuatro veces coseno de t y a eso tenemos que sumarle 8 por esta expresión otra vez esta expresión de aquí es lo mismo que seno cuadrado por lo de la identidad trigonométricas 8 por un medio es 4 y luego hay que multiplicar por 1 - coseno de dos veces este simplemente usamos una identidad trigonométricas de t sale esto de aquí ya parece más o menos fácil de integrar vamos a ver si es cierto entonces vamos a tomar la anti derivada nos queda a ver la anti derivada de cuatro veces coseno de t eso simplemente es cuatro veces en lo de te va cuatro veces seno de t el 4 era una constante verdad entonces era nada más la anti derivada de kossen vamos a distribuir este 4 aquí nos quedan 4 y lo hay que restar cuatro veces coseno de 2 t y entonces la anti derivada de 4 es 4 t y luego tenemos que anti derivar menos cuatro veces coseno de 2 t haber dejar de hacer un poquito de cuentas mentales por aquí va a tener que ver pues seguramente con senos de 2 t le pongo seno de 2 t y ahora como que me tienen que quedar las cuentas a ver cuando derivó seno me me quedan 12 afuera entonces para que nos queden las cuentas hay que poner un -2 a ver vamos a ver si es cierto la derivada de menos dos veces seno de 2 t la diva de adentro es 2 con lo de afuera es menos 4 y luego la derivada de se nos conoce nueva york en lo de adentro es coseno de 2 t listo entonces encontramos la anti derivada y ya nada más tenemos que evaluar desde cero hasta pi medios vamos a las cuentitas entonces vamos a escribir aquí abajo lo que obtenemos a ver nos queda cuatro veces seno de iu entre dos y luego hay que sumar cuatro veces y entre dos eso simplemente es dos veces pi y luego hay que restar dos veces de 2 y entre 2 es decir seno de pi y luego a eso tenemos que restarle la expresión evaluada en 0 va a quedar muy fácil verdad fíjate seno de cero es 0 luego 4 x 0 pues también da cero y aquí tenemos seno de dos veces cero que es cero entonces nos quedan puros ceros y vamos a simplificar un poco estos números seno de pi medios primeros es 90 grados seno de 90 grados es 1 pues aquí ponemos 1 y seno de pies 0 entonces este de aquí se cancela y que nos queda nos queda cuatro más dos pi listón con eso logramos encontrar el área de la pared curva que habíamos pintado de color azul la verdad eso de ahí va a ser la parte más difícil vamos a pasar a las otras dos curvas vamos a empezar con esta con la de atrás vas a ver que va a ser mucho mucho más fácil porque nuestra parametrización va a ser un poco más sencilla entonces vamos a tomar esta curva de aquí sabes que no voy a acabar de marcar pero mejor hacemos ya las cuentas en el siguiente vídeo porque creo que últimamente mis vídeos se están quedando más o menos largos hasta la próxima