Contenido principal

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 12: Integrales de superficie (artículos)

Ejemplo de área de la superficie

Aquí tienes la oportunidad de practicar el cálculo del área de la superficie utilizando el ejemplo de un toro.

¿Para quién es esto?

Este artículo está dirigido a cualquier persona que haya leído el último artículo sobre cómo calcular el área de una superficie dada en forma paramétrica utilizando una integral doble, y a quien quiera practicar este concepto. Vamos a calcular el área de la superficie de un toro (un objeto en forma de dona) mediante este método, lo que requiere una buena cantidad de cálculos.

Si crees que no quieres o no necesitas practicar estos cálculos y te sientes cómodo con el concepto general de cómo usar las integrales para calcular el área de una superficie, no dudes en pasar al artículo siguiente.

Un rápido repaso de la integral para calcular el área de una superficie

Antes de zambullirnos en el ejemplo, recordemos el método para deterninar el área de la superficie que se discutió en el artículo anterior.

Parametriza la superficie. En otras palabras, encuentra una función vectorial $\vec{v} (t, s)$ ‍ que mapea una región $T$ ‍ de un plano bidimensional $t s$ ‍ a una superficie en tres dimensiones. Algunas veces te darán esta parametrización, si es así como se define tu superficie. Otras veces, la superficie está definida de distinta manera, y tendrás que encontrarla por ti mismo.

Imagina que cortas el espacio paramétrico con rectas horizontales y verticales que dividen tu región $T$ ‍ en pequeños rectángulos. Cada uno de estos rectángulos se mapea a una parte pequeña de tu superficie que se puede aproximar con un paralelogramo. Si colocas el pequeño rectángulo en el punto $(t, s)$ ‍, y tiene ancho $d t$ ‍ y altura $d s$ ‍, puedes aproximar su área con la siguiente expresión:

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

Entre má pequeño sea cada rectángulo inicial, el pedazo correspondiente en la superficie se parecerá más un paralelogramo plano, y esta expresión estará más cerca de dar el área verdadera de ese pedazo.

Suma las áreas de estos pedazos usando una integral doble:

\begin{array}{r} \iint_{T} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

Área de la superficie de un toro

El objetivo de este artículo es encontrar el área de la superficie de un toro:

Es difícil describir en palabras las dimensiones de este toro, pero lo intentaremos con terminología de donas. Imagina este toro como el glaseado de una dona.

Digamos que la distancia del origen a la parte mas interna del relleno de jalea es $3$ ‍. Llamémosla el "radio exterior".
Supongamos que la distancia que hay entre la parte más interna del relleno de jalea y el glaseado es $1$ ‍. Llamemos esta el "radio interior".

Con estas dimensiones, puedes parametrizar al toro (es decir, el glaseado) con la siguiente función:

\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (s) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (s) \sin (t) \\ \sin (s) \end{array}] \end{array}

Para que esta parametrización cubra al toro una vez y solo una, aplícala a la región del plano

t s

en el siguiente rango

\begin{aligned} 0 \leq & t \leq 2 π \\ 0 \leq & s \leq 2 π \end{aligned}

Para una explicación de dónde proviene esta parametrización, revisa el último ejemplo en este artículo.

Paso 1: calcula cada derivada parcial

\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) = \end{array}

\hat{i} +

\hat{j} +

\hat{k}

\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) = \end{array}

\hat{i} +

\hat{j} +

\hat{k}

Recuerda, debes pensar que estos vectores representan las aristas de pequeños paralelogramos, que se juntan para formar al toro en su conjunto. En específico, debes multiplicar el primer vector por

d t

y el segundo por

d s

para escalarlos al tamaño infinitesimal de uno de esos paralelogramos.

Sucede que estos vectores son perpendiculares entre sí (puedes comprobar este hecho tomando su producto punto). Esto implica que todos los pequeños paralelogramos que forman al toro resultan ser rectángulos, al menos cuando utilizamos esta parametrización particular. Puedes visualizarlo en la imagen del toro que se muestra arriba.

En los siguientes pasos, vas a calcular el área de uno de estos paralelogramos tomando el producto cruz de los dos vectores que acabas de encontrar, y luego calculando su magnitud. De hecho, esto es una buena práctica para calcular superficies más generales.

Con un poco de ingenio, puedes aprovechar el hecho de que estos vectores son perpendiculares entre sí. En específico, dado que el "paralelogramo" que forman siempre será un rectángulo, puedes calcular su área al multiplicar la magnitud de estos vectores que corresponden a cada derivada parcial.

Paso 2: calcula el producto cruz

Para calcular el área del paralelogramo que generan los dos vectores que acabas de encontrar, el primer paso es tomar su producto cruz. (Advertencia: este cálculo se pone peliagudo).

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) =

\hat{i} +

\hat{j} +

\hat{k}

Paso 3: determina la magnitud de este producto cruz

El producto cruz es un vector. Para obtener el área del paralelogramo que se forma por las derivadas parciales, debemos calcular su magnitud. (Advertencia: ¡ésto se pone aún más peliagudo!).

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) | = \end{array}

Una vez que escalas estos por

d t d s

, tendrás el área de cada uno de los pequeños paralelogramos que conforman el toro, como una función de

s

t

. Bueno, en este caso, solo tendrás una función de

s

, lo que significa que el área de estos paralelogramos no cambia cuando haces que

t

varíe.

Paso 4: establece la integral doble apropiada

¿Cuál de las siguientes opciones tiene los límites correctos para colocarlos en la integral doble que representa el área de la superficie de este toro?

Paso 5: calcula la integral doble

El área de la superficie de este toro es:

¡Felicidades!

Estas integrales requieren de mucho trabajo, ¡así que date unas palmadas en la espalda por haber hecho todo esto!

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Sol Rodriguez
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “La parametrizacion del to...” de Sol Rodriguez
La parametrizacion del toro como la sacan?
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(2 votos)
Respuesta
quintasheydi1
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “wau tu pue puedes entende...” de quintasheydi1
wau tu pue puedes entender algo es muy admírale😮👍👏
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(1 voto)
Respuesta

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.