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Contenido principal

Integrales de superficie

¿Cómo encuentras el área de una superficie paramétrica? Esto dará lugar a la idea más general de una integral de superficie.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Configuración:
  • S es alguna superficie en el espacio tridimensional.
  • v(t,s) es una función vectorial que parametriza S.
  • T es la región del plano ts (también conocido como espacio paramétrico) que corresponde con S.
El área de la superficie S se puede calcular con la siguiente integral doble:
T|vt×vs|dtds
Estas integrales pueden ser muy laboriosas de calcular.

Área de la superficie

De los temas de geometría, podrías estar familiarizado con las áreas de las superficies de algunas formas específicas. Por ejemplo, el área de la superficie de una esfera con radio r es 4πr2.
Pero ¿qué pasa si alguien te da una superficie arbitraria, definida mediante alguna función paramétrica que asigna una región del espacio paramétrico bidimensional en un espacio tridimensional? ¿Cómo encontrar su superficie?
La respuesta es utilizar una cierta integral, o más bien cierta integral doble, que estás a punto de aprender. Esto es análogo a la forma en la que encontraste la longitud de arco de una curva arbitraria utilizando cierta integral, o el volumen de un sólido extraño usando la integral triple apropiada.

Ejemplo: cortar el área de la superficie

Define una superficie paramétrica con la siguiente función:
v(t,s)=[t2sts]
Vamos a nombrar S a esta superficie .
Contenedor video de Khan Academy
Por supuesto, con las superficies paramétricas, no basta solo especificar la función que la parametriza. También necesitamos saber la región del espacio paramétrico que se mapea en esa superficie. "Espacio paramétrico" es un nombre elegante para el punto donde vive (t,s), también conocido como "dominio". En este caso, digamos que es el rectángulo definido por
1t10s3
Llamemos a este rectángulo T. Así es cómo se ve que v transforme el rectángulo T en el espacio paramétrico, a la superficie S en el espacio tridimensional.
Contenedor video de Khan Academy
Nuestra estrategia para calcular esta superficie consiste en tres pasos generales:
  • Paso 1: corta la superficie en pequeños pedazos.
  • Paso 2: calcula el área de cada pedazo.
  • Paso 3 : suma esas áreas.
Después de estudiar integrales de línea, integrales dobles e integrales triples, puede que reconozcas la idea de cortar y sumar todos los pedazos como un patrón más general de cómo se puede usar la integración para resolver problemas. Al igual que con esos ejemplos, el cómputo final realmente no involucra cortar la superficie en un número determinado de pedazos y sumarlos; dejamos que la integral se encargue de eso por nosotros.

Paso 1: cortar la superficie

Para empezar, piensa en cortar el rectángulo T en el espacio paramétrico en muchos rectángulos pequeños. En el dibujo, lo voy a cortar solamente en unos cuantos rectángulos para que tengamos una idea, y para hacer referencia a cada uno, pero en principio se debe pensar en muchos rectángulos realmente pequeños.
Para uno de estos rectángulos pequeños, puedes pensar en su anchura como dt, un pequeño cambio en el parámetro t. Del mismo modo, piensa en su altura como ds, un pequeño cambio en el parámetro s.
Ahora considera cómo la función v(t,s) mapea uno de estos rectángulos pequeños a la superficie S. En la siguiente animación, voy a pintar de gris claro la mayor parte de la superficie y a dejar solo uno de los pequeños rectángulos coloreado mientras vemos cómo T se transforma en S.
Contenedor video de Khan Academy
Estrictamente hablando, el rectángulo se volverá ligeramente curvo al pegarse en S. Sin embargo, cuando consideres rectángulos más y más pequeños, la curvatura será cada vez más insignificante, y básicamente podemos tratar a este pequeño pedazo como si fuera plano.
De hecho, al considerar rectángulos cada vez más pequeños en el espacio paramétrico, las porciones de la superficie S sobre las que estos rectángulos se mapean, se parecerán cada vez más a paralelogramos.
Nuestra primera tarea, entonces, será encontrar una fórmula dada el área de estos paralelogramos.

Paso 2: buscar el área de un pedazo de paralelogramo

Hagamos que (tA,sA) represente la esquina inferior izquierda de uno de estos pequeños rectángulos en los que hemos cortado a T, y que (tB,sB) represente su esquina inferior derecha.
Ahora consideremos el vector en la superficie que apunta de v(tA,sA) a v(tB,sB). Vamos a llamar a a este vector.
Verificación de conceptos: si describimos la distancia entre (tA,sA) y (tB,sB) como dt, ¿cuál de las siguientes expresiones representa una buena aproximación de a?
Escoge 1 respuesta:

Verificación de conceptos: considera la misma configuración del problema anterior, pero hagamos que (tC,sC) sea la esquina superior izquierda del rectángulo pequeño. Vamos a darle el nombre de b al vector que apunta de v(tA,sA) a v(tC,sC).
Si describimos la distancia entre (tA,sA) y (tC,sC) como ds, ¿cuál de las siguientes opciones se aproxima mejor a b?
Escoge 1 respuesta:

Bueno, aquí hemos llegados hasta ahora: estamos pensando en un pequeño rectángulo en el espacio paramétrico con las siguientes propiedades
  • Esquina inferior izquierda: (tA,sA)
  • Ancho: dt
  • Altura: ds
Al aplicar la función v a este rectángulo, obtienes básicamente un paralelogramo sobre la superficie S. Con base en las dos preguntas anteriores, los lados de este paralelogramo están determinados por los vectores
vt(tA,sA)dt
y
vs(tA,sA)ds
Verificación de conceptos: si las longitudes de los lados de un paralelogramo en un espacio tridimensional se describen con los vectores a y b, como en la imagen a la derecha, ¿cuál de las siguientes opciones representa el área de ese paralelogramo?
Escoge 1 respuesta:

Verificación de conceptos: al poner todo esto junto, cuando v(t,s) mapea al pequeño rectángulo con dimensiones de dt-por-ds y con esquina inferior izquierda (tA,sA) en algún paralelogramos en la superficie S, ¿cuál es el área de ese paralelogramo?
Escoge 1 respuesta:

Donde esto se vuelve un trabajo intenso

Bueno, esta es una expresión complicada. Involucra dos derivadas parciales de una función con valores vectoriales, sacar su producto cruz, luego tomar la magnitud. Es como si alguien estuviera tratando de crear la expresión más complicada que pudiera imaginar.
Ahora tenemos una expresión puramente teórica para el área de uno de estos paralelogramos pequeños:
|(vt(tA,sA)dt)×(vs(tA,sA)ds)|
Sin embargo, si quieres tener una idea de lo que esto realmente implica, te animo a intentar resolverla.
Resuélvela: dada la definición de v(t,s) con la que empezamos,
v(t,s)=[t2sts]
evalúa la expresión que encontraste en la pregunta anterior para obtener una función en términos de t, s, dt y ds.
Área del paralelogramo:
dtds

Paso 3: integrar todo junto

Aquí hemos llegamos hasta ahora. Después de cortar el rectángulo T del espacio paramétrico en muchos rectángulos muy pequeños, te dije que esos rectángulos se convertían en paralelogramos en la superficie S. Bueno, más exactamente, cada uno de ellos se convierte en algún pedazo ligeramente curveado de S, que puede aproximarse por un paralelogramo. Mientras más pequeño sea tu rectángulo inicial, más precisa será la aproximación.
Luego, a través de muchos cálculos, encontraste una expresión para el área de uno de estos paralelogramos:
(s2+4t2+4t4)dtds
Donde
  • (t,s) describe la posición del pequeño rectángulo inicial.
  • dt es su ancho.
  • ds es su altura.
Para sumar las áreas de todos estos paralelogramos pequeños tomamos la integral doble de esta cantidad sobre la región T. A manera de recordatorio, T se define como la región donde
1t10s3
Con esos límites, esta es la integral doble que representa el área de la superficie de S:
0311(s2+4t2+4t4)dtds
Intentar resolver esto a mano parece complicado, ya que encontrar la antiderivada de s2+4t2+4t4 va a ser difícil. Pero usando una calculadora (o Wolfram Alpha), podemos encontrar la respuesta:
0311(s2+4t2+4t4)dtds12.6153
Lo importante que hay que recordar aquí es cómo construir la integral doble apropiada y pensar en sumar muchos pedazos pequeños de área en la superficie.

Resumen: esto no es fácil

Generalizando todo lo que hicimos en el ejemplo anterior, el área de nuestra superficie paramétrica S se expresa mediante la integral
T|vt×vs|dtds
donde S se describe por una función paramétrica v(t,s) aplicada a la región T del plano ts.
Ya has tenido una idea de esto, pero vale la pena señalar que puede ser realmente complicado de calcular.
  • Primero tienes que tomar dos derivadas parciales de funciones con valores vectoriales, que contando cada componente incluye 6 derivadas parciales en total.
  • Luego tienes que tomar el producto cruz de estos dos vectores de derivada parcial, lo que requiere sacar un determinante cuyos componentes son vectores y funciones.
  • Luego tienes que calcular la norma de ese producto cruz.
  • Después de todo, aún tienes una integral doble delante de ti. Y recuerda que configurar una integral doble no siempre es fácil, especialmente si la región sobre la que estás integrando no es rectangular.
  • Y todo esto es suponiendo que ya sabes la función v(t,s) y la región T. A veces solo te dan una superficie que se define implícitamente como una esfera dada por x2+y2+z2=1. En ese caso necesitas encontrar una función que parametrice esta superficie, así como la región específica del espacio paramétrico que corresponde a la superficie.
La clave cuando haces todo esto es mantenerte organizado y ser paciente. Una manera de pensarlo es que configurar y calcular una de estas integrales de superficie es similar a hacer 10 problemas del cálculo de una sola variable.
En general, el proceso de razonamiento necesario en todo esto es realmente útil para pensar en superficies y geometría tridimensional más allá del caso específico de calcular el área de la superficie. Por ejemplo, ¿cómo crees que funcionan los gráficos de computadora? Muy a menudo, mostrar una figura tridimensional consiste en dividir una superficie en polígonos, y conseguir que la computadora muestre esos polígonos. Aunque esto nunca involucre calcular una integral de superficie en sí, el razonamiento asociado con la forma de hacerlo es notablemente similar, usar el producto cruz de derivadas parciales, etc..
Si quieres practicar más, en el siguiente artículo se aborda otro ejemplo completo. Si decides revisarlo, prepárate para marcar muchas hojas.

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