Integral de superficie. Ejemplo

Antecedentes

• Integral de superficie

La tarea: obtener la integral sobre una esfera.

Paso 1: aprovecha la simetría de la esfera

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Respuesta

$\begin{array}{rl}f(x,y,z)& =(x-1{)}^2+y^2+z^2\\ \\ & =x^2-2x+1+y^2+z^2\\ \\ & =-2x+1+\underset{\text{En la esfera, esto es igual a }4\text{.}}{\underbrace{x^2+y^2+z^2}}\\ \\ & =-2x+1+4\\ \\ & =-2x+5\\ \end{array}$‍

Paso 2: parametrizar la esfera

Escoge 1 respuesta:

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• (Elección A)  

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  en la región delimitada por $0\le t\le 2\pi$‍ y $0\le s\le \pi$‍.

  A

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  en la región delimitada por $0\le t\le 2\pi$‍ y $0\le s\le \pi$‍.
• (Elección B)  

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  en la región delimitada por $0\le t\le 2\pi$‍ y $0\le s\le 2\pi$‍.

  B

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  en la región delimitada por $0\le t\le 2\pi$‍ y $0\le s\le 2\pi$‍.

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Respuesta

La primera opción es correcta:

$\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Ahora obtenemos la región del plano $ts$‍ se dibuja cuando $0\le t\le 2\pi$‍ y $0\le s\le \pi$‍.

Por mucho que le tratemos de dar vuelta, parametrizar una superficie es difícil. El truco para un problema como este, donde tienes que reconocer qué superficie parametrizará una función dada, es analizar qué sucede cuando congelas una variable y dejas que la otra varíe.

Por ejemplo, si en la expresión anterior, $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍, imaginamos que fijamos a $s$‍ y dejamos que $t$‍ varíe, nos queda el siguiente vector:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Como $x$‍ es proporcional a $\cos (t)$‍, y $y$‍ a $\sin (t)$‍, al dejar que $t$‍ varíe de $0$‍ a $2\pi$‍, el vector va a dibujar un círculo alrededor del eje $z$‍:

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Análogamente, imaginemos que $t$‍ queda fija y dejamos que $s$‍ varíe:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Éste también dibuja un círculo, (¿puedes ver por qué?)

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Ahora imaginemos que $s$‍ varía de $0$‍ a$\pi$‍, lo que significa que solo dibujará la mitad del círculo rojo que se mostró en la última animación. En lugar de pensar en $t$‍ como una cantidad fija, imagina al círculo que $t$‍ forma para cada valor específico de $s$‍. Estos círculos recorrerán toda la esfera de arriba hacia abajo:

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Es por eso que $t$‍ tiene que variar de $0$‍ a $2\pi$‍, y $s$‍ de $0$‍ a $\pi$‍.

Paso 3: calcular ambas derivadas parciales

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s)=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Respuesta

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\cos (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\sin (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\cos (s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\sin (t)\sin (s)\\ \\ 2\cos (t)\sin (s)\\ \\ 0\end{array}\right]\end{array}$‍

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s)=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Respuesta

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t,s)=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\cos (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\sin (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\cos (s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ \\ 2\sin (t)\cos (s)\\ \\ -2\sin (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Paso 4: calcular el producto cruz.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

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Respuesta

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}-2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (t)\sin (s)\\ 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\\ -2\sin (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Ahora aplica el truco del determinante para obtener el producto cruz:

$\begin{array}{r}\text{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}\widehat{\mathbf{\text{i}}}& \widehat{\mathbf{\text{j}}}& \widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ -2\sin (t)\sin (s)& 2\cos (t)\sin (s)& 0\\ 2\cos (t)\cos (s)& 2\sin (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)\end{array}$‍

Desarrollamos cada componente por separado.

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}$‍-componente: elimina el primer renglón y la primera columna, luego toma el determinante:

$\begin{array}{r}\text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}2\cos (t)\sin (s)& 0\\ 2\sin (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)=-4\cos (t){\sin }^2(s)\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}$‍-componente: elimina el primer renglón y la columna de en medio, luego toma el determinante:

$\begin{array}{r}-\text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}-2\sin (t)\sin (s)& 0\\ 2\cos (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)=-4\sin (t){\sin }^2(s)\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍-componente: este tiene un poco más de talacha que los dos anteriores. Elimina el primer renglón y la columna de la derecha, luego toma el determinante:

$\begin{array}{rl}& \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}-2\sin (t)\sin (s)& 2\cos (t)\sin (s)\\ 2\cos (t)\cos (s)& 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\right)\\ \\ & =\underset{\text{factor out }-4\sin (s)\cos (s)}{\underbrace{-4{\sin }^2(t)\sin (s)\cos (s)-4{\cos }^2(t)\sin (s)\cos (s)}}\\ \\ & =-4\sin (s)\cos (s)\left(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)}}\right)\\ \\ & =-4\sin (s)\cos (s)\end{array}$‍

Paso 5: encuentra la magnitud de este producto cruz.

${\displaystyle |{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}|=}$‍

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Respuesta

$\begin{array}{rl}& |{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}|\\ \\ & =\left|\left[\begin{array}{c}-4\cos (t){\sin }^2(s)\\ -4\sin (t){\sin }^2(s)\\ -4\sin (s)\cos (s)\end{array}\right]\right|\\ \\ & =\sqrt{(-4\cos (t){\sin }^2(s){)}^2+(-4\sin (t){\sin }^2(s){)}^2+(-4\sin (s)\cos (s){)}^2}\\ \\ & =\sqrt{\underset{\text{Factoriza }{4}^2\text{ del radical.}}{\underbrace{4^2{\cos }^2(t){\sin }^4(s)+4^2{\sin }^2(t){\sin }^4(s)+4^2{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}}}\\ \\ & =4\sqrt{\underset{\text{Factoriza }{\sin }^4(s).}{\underbrace{romthe{\cos }^2(t){\sin }^4(s)+{\sin }^2(t){\sin }^4(s)}}+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}\\ \\ & =4\sqrt{{\sin }^4(s)\left(\underset{\text{1}}{\underbrace{{\cos }^2(t)+{\sin }^2(t)}}\right)+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}\\ \\ & =4\sqrt{\underset{\text{Factoriza }{\sin }^2(s).}{\underbrace{{\sin }^4(s)+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}}}\\ \\ & =4\sqrt{{\sin }^2(s)\left(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2(s)+{\cos }^2(s)}}\right)}\\ \\ & =4\sin (s)\end{array}$‍

Paso 6: calcular la integral

$\begin{array}{r}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }(-16\cos (t){\sin }^2(s)+20\sin (s))dtds=\end{array}$‍

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Respuesta

Primero, vamos a descomponer esta integral en dos más sencillas:

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }(-16\cos (t){\sin }^2(s)+20\sin (s))dtds\\ \\ & =-16{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds+20{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin (s)dtds\\ \end{array}$‍

Ahora resolvemos cada una:

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }{[\sin (t){\sin }^2(s)]}_{t=0}^{t=2\pi }ds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }(\sin (2\pi ){\sin }^2(s)-\sin (0){\sin }^2(s))ds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }(0-0)ds\\ \\ & =0\end{array}$‍

Esto hace que las cosas sean más fáciles. ¿Y la otra integral?

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\underset{\text{Constante con respecto a }t\text{.}}{\underbrace{\sin (s)}}dtds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }\sin (s)(2\pi )ds\\ \\ & =2\pi [-\cos (s){]}_{s=0}^{s=\pi }\\ \\ & =2\pi (-\cos (\pi )-(-\cos (0)))\\ \\ & =2\pi \left(2\right)\\ \\ & =4\pi \end{array}$‍

Por lo tanto, la integral al final queda simplificada como se muestra a continuación

$\begin{array}{rl}& -16\underset{=0}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds}}+20\underset{=4\pi }{\underbrace{{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin (s)dtds}}\\ \\ & =80\pi \end{array}$‍