Calcular una integral de superficie. Ejemplo (parte 2)

donde lo dejamos en el último vídeo nos fuimos encontrando la superficie de un toro la forma de una dona verdad y hacíamos esto al tomar un integral de superficie y teníamos que encontrar la derivada parcial de nuestra parametrización respecto de ese y también respecto de t ahora ya estamos listos para tomar el producto cruz de estos dos y a continuación resolveremos la integral doble y averiguaremos cuál es la superficie del toro así que vamos a hacerlo paso a paso podríamos tomar aquí primero el producto cruz que es una operación bastante peluda es muy complicada y por eso es que no ve uno muchos ejemplos resueltos de este tipo de cosas pero bueno vamos a tomar el producto cruz de estos dos compadres en la parcial de r respecto de ese cruz la parcial de r respecto de t muy bien es un producto cruz o producto vectorial esto recordemos que es el determinante y vamos a escribir los vectores unidad en el primer renglón verdad j y acá los pongo así de separados porque puede puede ocupar mucho espacio después vamos a poner en el siguiente renglón en el siguiente renglón va la entrada o más bien las componentes de parcial de respecto de s así que déjenme copiar este que es la primera entrada de la parcial de r respecto a ese y lo colocamos este chico por aquí ahora copiamos este otro y pegamos en esta segunda columna y ahora copiamos este compadre esto nos está ahorrando mucho tiempo verdad y lo pegamos aquí entonces en esta fila en este renglón ya colocamos los componentes de la parcial de rd respecto de ese y ahora estoy copiando y pegando los de la parcial de rd respecto de t entonces copiamos y pegamos y esto por último bueno no tenemos que copiar y pegar pero bueno ya lo hicimos con los otros vamos a hacerlo con este así que también para este cero ahora el producto cruz de esto es literalmente el determinante de esta matriz verdad abusando un poco de la notación ya lo sabemos ahora bien vamos a vamos a ver qué es esto entonces primero tomamos el el vector y multiplicamos por el sub determinante que nos queda de quitar el renglón y la columna verdad así que pondremos que esto es igual a y por la el determinante de la sub matriz que resulta de quitar su columna y su renglón que es menos sacos en nuestro seno de s por 0 menos menos b más a cociendo sct por ako seno de esa verdad así que simplemente nos queda multiplicar los términos menos de masako seno de ese seno dt y acosen ode es de verdad perfecto entonces copiamos a coseno de s vamos a poner recuerden que lleva un signo menos verdad y con el signo menos que teníamos originalmente se hace más así que simplemente ponemos de más a coseno de s por el seno de t por el seno de t así que tenemos el término para el vector y ahora va a ser menos j verdad porque vamos intercambiando el signo según la columna que nos vayamos tomando así que esto será menos j - j y tachamos su columna y su d y su renglón y nos queda el determinante de la sub matriz que es menos hacen o dt seno de ese por cero menos de masako seno de ese coseno dt por ako seno de s pero con el menos que ya teníamos originalmente entonces realmente se hace signo más verdad en realidad quienes tenemos que multiplicar al final son a coseno ds por demás a coseno de seco seno de t correcto déjenme ponerlo con todos sus signos menos que le corresponde así que es menos ve más a kossen lo desee con seno de t por por por nos falta a coseno de s ya después haremos la limpieza de esto verdad digo porque podríamos de una vez poner los signos más es es simplemente el algoritmo verdad ahora por último vamos a ver a quién le corresponde el término para acá así que ponemos más acá por el determinante de la sub matriz que resulta de quitar la columna de acá y el renglón de acá así que sería menos hacen los dts no de ese por menos ve más a coseno de ese seno de t verdad y ahora menos bueno en realidad es éste moradito que es hacerlo de tse no de s y lo multiplicamos por este otro moradito que es b más a coseno de ese seno de t y fíjense que ya quiten los menos porque menos por menos da más verdad así que ya no es necesario ponerlo y ahora ahora lo que tenemos que hacer es sumar el inverso aditivo de los números que nos restan verdad en este caso si tomamos el inverso aditivo con el menos que por ahí encontramos en la entrada que estamos poniendo con morado a coseno dts no sé si bien tiene un menos así que con el menos que le corresponde del determinante se hace más y luego multiplicamos por ver más a coseno ds con seno de t muy bien ya ves ahora porque no encontramos muchos ejemplos resueltos es un poco complicado así que vamos a hacer un poco de limpieza vamos a ver cómo simplificar esto así que primero vamos a multiplicar déjenme encontrar el paso más fácil sólo sería sacar un factor b más a coseno de s del término cada verdad de hecho de todos los términos tenemos ese factor en todos los términos así que sólo vamos a factorizar lo y dejarlo fuera así que toda esta cosa loca se puede escribir como b más a coseno de s ya que los factores amos y esto multiplicará va a multiplicar vamos a poner las componentes que sería a coseno de s déjenme escribirlo en verde primero así que este verde y este es lo que resulta de factorizar de masako seno de ese así que sería algo seno de ese seno de t y ahora multiplicamos por nuestro vector y verdad es lo único que nos falta vamos a dejar dejar los vectores en color rojo ahora para la componente en jotas y factor izamos el b masako seno de s lo único que nos resta es poner a coseno de s coseno de t simplemente ahí cambiando el orden de estos productos que subraya en verde y finalmente multiplicamos por el vector unidad j muy bien ya que dejamos el b más a coseno desde fuera ahora vamos a ver qué pasa con acá estamos realmente tachando el b masako seno de ese de sus de su componente correcto así que lo que nos resta es poner en verde y multiplicar seno de t por acs no de s que es esta primera parte que subrayamos y luego sumarle que bueno de una vez si simplificamos es hace no seno de ese x seno cuadrado de t verdad estamos multiplicando dos veces seno de t así es que eso nos queda y ahora sumamos a coseno de ts no desee por coseno dt que si nos damos cuenta multiplicamos dos veces coseno de t por lo tanto nos queda a seno de ese coseno cuadrado de t y todo esto todo esto último por el vector unidad k muy bien así que las cosas ya se ven un poquito más simplificadas pero algo podría saltar a la vista verdad tenemos seno cuadrado y coseno cuadrado en la componente de acá que multiplica seno de ese y claro esa es la identidad trigonométricas más fácil que conocemos así que ese primer término lo podemos simplificar al al factorizar a seno de ese verdad así que esto realmente lo podemos poner como acs por seno cuadrado de t más coseno cuadrado de t muy bien y bueno multiplicando a nuestro vector unitario acá pero ya sabemos que se lo cuadrado más coseno cuadrado de cualquier cosa es en realidad uno esto es igual a 1 por lo que este último término se simplifica a seno de s porque muy bien ahora ya hemos llegado bastante lejos ya ya averiguamos cuál es el producto cruz de estos dos dos vectores que son las derivadas parciales de nuestra parametrización y hemos podido averiguar que que está este este producto cruz tiene esta expresión ahora lo que nos falta es realmente escribir la norma de este vector verdad así que si reescribimos nada más este producto cruz nos queda además a coseno de ese x a ccoo seno de ese seno de t por el vector y vamos a seguirlo dejando en rojito más a coseno de ese coseno de t y todo esto por el vector j y finalmente nos queda más a seno de ese seno de ese por el vector k en el siguiente vídeo lo que vamos a tratar de hacer es calcular la norma de esto que va a ser relativamente fácil muy bien entonces esta expresión es lo que tenemos enmarcado acá arriba y bueno ya vamos más de diez minutos tomaremos la magnitud de este vector y ya después si tenemos tiempo tomaremos la doble integral para calcular la superficie del toro