Calcular una integral de superficie. Ejemplo (parte 3)

en los vídeos anteriores hemos estado moviéndonos lentamente para nuestro objetivo de averiguar el área de la superficie de un toro verdad y lo hemos hecho por la evaluación de un integral de superficie es decir teníamos que tomar la parametrización del toro tomar su derivada parcial respecto de aceite y eso fue lo que hicimos en el primer vídeo después tomamos el producto cruz de estos vectores y fue el segundo vídeo ahora vamos a tomar la magnitud de este producto cruz y entonces evaluar el interior de esta integral integral doble y que vamos a hacer algo que muy pocas veces se hace en la carrera así que esto es bastante emocionante este fue el producto cruz que encontramos en el vídeo anterior y vamos a sacar la magnitud de esta cosa así que recordarán que la magnitud de cualquier vector es como un teorema de pitágoras verdad es como la fórmula de la distancia pero pero ahora en tres dimensiones así que la magnitud esto esto es un recordatorio n está esta magnitud es bueno déjenme copiarlo la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r respecto de t lo copió y lo pegó esto es este vector muy bien estas estos dos vectores son iguales ahora queremos averiguar la magnitud de éste chango así que lo copiamos y lo pegamos queremos averiguar la magnitud o la norma de este vector así que como ven hay un escalar por ahí así que este sale en realidad debería llevar un valor absoluto pero bueno en realidad uno puede ver que éste este valor es positivo ya que b es más grande que a y luego la magnitud del vector restante pues es la raíz cuadrada de del de los cuadrados de cada componente verdad de los cuadrados de cada uno de los términos asociados a jk así que déjenme escribir esta suma el primero al cuadrado en realidad es a cuadrada coseno cuadrado de ese consejo cuadrado de s por el seno por el seno cuadrado de t ese es el primer término al cuadrado este que estamos subrayando ahora le sumamos el segundo que estamos subrayando en magenta al cuadrado que es cuadrada coseno cuadrado de s y por coseno cuadrado de t fue el segundo ahora para el tercero voy a usar otro color digamos este otro color y esto elevado al cuadrado es cuadrada seno cuadrado de s muy bien y todo esto último vamos a obtener la raíz cuadrada ok así que todo esto que estoy subrayando es la magnitud de este vector que subraya arriba muy bien y él ve masako seno de ese es un escalar que sale con valor absoluto pero como ya dije esto en realidad es positivo así que vamos a ir factor izando para poder simplificar esta expresión este que estoy subrayando lo podemos factorizar de ambos y vamos a ver qué pasa voy a escribir esta segunda parte como a cuadrada coseno cuadrado de ese y esto multiplicará por un lado a seno cuadrado de t más bueno pongo el paréntesis me faltó más el code no no no no lo quiero dejar en magenta ok más el coseno cuadrado de t muy bien seno cuadrado más coseno cuadrado y entonces pues esto simplemente le sumamos después a cuadrada seno cuadrado de s verdad y a todo esto le sacamos la raíz cuadrada o la potencia un medio verdad entonces aquí podemos observar tenemos seno cuadrado de temas coseno cuadrado de t que es 1 es nuestra identidad trigonométricas más básica verdad así que esto lo podemos simplificar como cuadrada coseno cuadrado de s más a cuadrado más más más más es cuadrada seno cuadrado de s y otra vez todo esto hay que elevarlo a la un medio podemos reconocer inmediatamente que podemos factorizar una cuadrada verdad y nos queda a cuadrada por coseno cuadrado de s más no perdón me equivoqué más seno cuadrado de s que otra vez todo lo elevamos a la un medio y nos estamos enfocando ahora escribir esto último de forma más fácil y otra vez identificamos la identidad trigonométricas que nos dice que esto es igual a 1 así que esto simplemente nos queda a cuadrada a la un medio que va a ser igualada porque a es positivo en realidad sería valor absoluto de a pero a es positivo así que todo esto se simplifica aa por lo que este producto cruz simplemente se simplificó a multiplicar a por vez más a coseno de ese que es una expresión muy sencillísimo así que déjenme copiar esta norma se simplifica así déjenme ponerlo así se va a simplificar por ve muy bien utilizando la propiedad distributiva verdad esto es a por ve más a cuadrada a cuadrada por el coseno de s así que ya hemos llegado bastante lejos y es agradable cuando teníamos algo realmente espantoso y resulta en algo bastante sencillo verdad es muy emocionante y para repasar lo que hemos hecho nuestra visión en los vídeos anteriores era evaluar esa integral verdad sobre la región de s sobre la región que define al ala al toro es decir que ese va de 0 a 2 p y te va también de 0 a 2 pi así que queremos integrar esta expresión en esta región así que vamos a calcular la integral de 0 a 2 pi respecto de ese que es el intervalo en donde está definida es y la integral de 0 a 2 pi respecto de t que también es en donde está evaluando t y sólo hay que poner la expresión de esta norma verdad que es en realidad lo que acabamos de obtener hace unos momentos que es ave más cuadrada coseno de s muy bien ahora esto va a ser igual a bueno sólo tomamos la integral interior verdad esto es respecto de ese y como veremos déjenme ver así que copiamos esto que es la integral de 0 a 2 pi respecto de t y tenemos que poner una primitiva respecto de s de lo que está adentro que esto va a ser ave por s del primer sumando más a cuadrada y cuál es la integral de cocina de ese pues claro es seno de ese muy bien y esto hay que evaluarlo de 0 a 2 pi ahora si hacemos esta evaluación que es lo que vamos a tener volvemos a poner nuestra frontera de la integral que tenemos la integral de 0 a 2 pi muy bien y esto es respecto dt de en el primer sumando cuando ponemos dos pi pues nos queda dos por ave y cuando ponemos cero pues simplemente se cancela verdad ahora en el segundo sumando si tenemos a cuadrada seno de dos pi en realidad seno de dos pies cero verdad y luego le restamos a cuadrada seno de cero que también es cero muy bien entonces realmente los demás términos son cero así que ya estamos terminando esta integral y estamos terminando la integral y sólo hay que encontrar encontrar una primitiva de dos pi ave respecto de t y bueno 2p ave es una constante para integrar respecto de t así que esto será 2 pi a deporte y esto habrá que evaluarlo de 0 a 2 pi cuando vale 2 pi que ponemos 2 x 2 p por ave es decir 2 pi al cuadrado por ave y cuando vale 0 pues 0 por cualquier cosa es 0 así que podemos omitir escribirlo y ya hemos terminado este es el área de la superficie del toro esto es muy emocionante es una sorpresa porque esto es igual a 4 y cuadrada por ave que en realidad es una fórmula bastante conveniente y muy sencilla ya saben por ejemplo el área el área del primer círculo el de radio a pues es 2 y por a y el área del círculo de radio b es 2 por b así que resultó ser el producto de estas áreas en términos generales se siente bien estamos tomando sólo el producto de las áreas de los dos círculos que definen al al toro así que voy a copiar esta expresión déjenme copiarlo por qué porque fue muy gratificante así que vamos a regresarlo al inicio de donde empezamos el problema así que el área se simplificó a esta expresión es muy emocionante y ahora sabemos que si tenemos un toro donde el radio de la sección transversal es ah y el radio desde el centro hasta hasta la mitad de las secciones transversales es b entonces el área de la superficie de ese toro va a ser 4 pi cuadrada por a por b y pienso que es un resultado muy satisfactorio estoy muy contento