Introducción a la integral de superficie

en el último vídeo terminamos con estos dos resultados y comenzamos a pensar en lo que significa tomar la derivada parcial de una función vectorial y obtuve estas clases de digamos resultados bizarros ya sabes cuál fue el punto de esto el punto en general es que yo pueda darte las herramientas que tú necesitas para entender qué es una integral de superficie vamos sólo a pensar vamos a dibujar el plano st el plano de los parámetros y ver cómo se transforma en la superficie r vamos a hacer esto entonces vamos a digamos que este es el eje ok este es el eje y decimos que este es el eje lgs y luego vamos a ver que nuestra función vectorial nuestra función de posiciones que tiene valores vectoriales está definida entre ahí bnc digamos por dar límites límites arbitrarios y está t en 13 y de muy bien entonces el área acotada por estos límites esta área desde este rectángulo justo aquí será mapeado será mapeado a la superficie y si tú gráficas todos estos puntos eventualmente obtendrás la superficie déjenme dibujar la superficie en tres dimensiones una superficie tridimensional así que este es nuestro eje x nuestro eje i y luego este es el eje zeta perfecto y solo como pequeño recordatorio podríamos ver algo como esto si nosotros fuéramos digamos a pintar este punto de aquí que pongo con morado es decir cuando tc y ese es a ok y ese punto está indicado por la función rds de verdad así que este punto de aquí cuando ese es a ips lo matamos digamos a este punto justo aquí no sé cualquiera no entonces como se obtiene de sustituir a hice en esta función y obtenemos el vector que señala a este punto verdad justo allí muy bien ahora digamos que esta línea de aquí digamos si hiciéramos a ese a ese constante constante igualada y variamos t entre 6 de esta línea ok entonces esta línea se manda a la superficie en alguna otra curva digamos la estoy dibujando algunos contornos arbitrarios allí tal vez si cogemos otra constante digamos de igual a c y variamos s entre a y b tendremos esta otra curva que se vea algo así no lo sé sólo estoy intentando enseñarles un ejemplo entonces este punto de aquí que corresponde a ese igual a b y t igual a c ok corresponde a ese punto que pinte con naranja ok y evaluando r en esos puntos obtengo un vector que apunta hacia y ahora este modo digamos será otro vector que apunta a este otro punto y sólo para obtener una idea de qué se parece voy a terminar haciéndolo un poco más general digamos vamos a tomarnos un punto o una línea medio azulada esto es cuando te vale de iu variamos s entre a y b entonces tenemos que empezar en el punto morado y ahora variamos s tal vez obtenemos algo como esto no lo sé así que este punto de aquí correspondería a este vector el vector que señala justo a este punto y finalmente finalmente esta línea que tomamos s igual a b y variamos entre 6 d tendremos que ir de este punto morado no no perdón me equivoqué es lo siento en realidad vamos de este punto naranja al verde verdad cogemos s variamos t / 6 d y se parecerá algo como esto así que nuestra superficie fuimos de este rectángulo muy bonito en el plano ts y obtuvimos al transformarlo a una superficie medio local incluso podríamos dibujar algunas otras cosas por aquí digamos algún valor arbitrario de de bs digamos vamos a tomar un nuevo color vamos a hacerlo en blanco así que digamos que mantuviéramos ese constante y variamos t esto se vería de esta forma y en la superficie se vería bueno no sé a lo mejor quizás se vea como algo de este estilo no así que puedes tener una idea de cómo se vería la superficie ahora dado esto quiero que piense sobre cómo serían estas cantidades y cuando vi y quiero que cuando visualicemos esto seamos capaces de usar los resultados que hemos visto en los vídeos anteriores para hacer algo que yo creo que es bastante útil que vamos a tomar arbitrariamente alguna s y una t así que digamos este sería el punto este sería el punto déjenme elegirlo aquí digamos este que estoy pintando el punto ese combate muy bien así que si pusiéramos estos valores esto me lo mapea y bueno quiero pintarlo de tal suerte que sea consistente digamos que lo mapea de este lado no cerquita del morado muy bien así que aquí está r de ese combate para algún aceite particulares digo podría ponerle otro otro nombre pero bueno en fin podría llamarles x com y entonces este punto sería rx y el punto es que se mataría a este punto de aquí así que este ere es la que estamos diciendo ahora vamos a ver qué pasa si tomamos digamos que pasa si nos movemos en la dirección de ese es decir digamos que aquí está ese y ahora vamos a movernos tantito por una diferencial una diferencial un pequeñísimo cambio de sí así que esto sería ese más un cambio muy pequeño en ese y entonces tendríamos el punto déjenme hacerlo con un mejor color digamos en amarillo tendríamos el punto s más del más una diferencial de ese coma ajá combate donde la diferencial es un cambio muy pequeño y que es como lo vamos a mapear aquí bueno si aplicamos este punto a través de la función vamos a obtener otro en la superficie que más o menos se ve así por aquí este justo de aquí es r de ese más delta de ese combate eso es lo que es y ahora esto es cuando nos movemos en ese en un cambio muy pequeño esta distancia aquí lo podemos entender como desde un cambio súper pequeño y cuando lo veamos entonces lo ponemos a través de nuestra función vectorial y aquí está déjenme la copio y la pegó para que tengamos siempre muy presentes de qué es lo que estamos hablando ok ahí está déjenme ponerla justo ahí así que aquí ya queda más claro de qué es lo que estamos pasando tomamos una pequeña un pequeñísimo cambio en el punto azul de aquí que es ese combate y obtuvimos un vector que apuntaba al r de ese combate en la superficie así que cuando agregamos un de ese a los valores en donde se encuentra la s obtuvimos este punto amarillo y bajo la función es un vector que apunta ahí así que regresemos a los resultados de la última presentación o del último vídeo esto que es es rds de ese combate ok bueno eso es esto de aquí es justo este punto es el vector que apunta a esa posición ok y el otro que subraya en azul es el punto azul justamente que pinte ahí esto es básicamente esto es básicamente la diferencia de dos vectores ok es decir estamos hablando del vector que apunta el vector que apunta al hacer la resta es este vector verdad el que apunta del azul al amarillo se ve justo así así que esto es justo el vector que pintamos y tiene sentido verdad este vector azul más el vector naranja ajá nos da el vector amarillo que es esta suma lo vemos como un triángulo ahora vamos a hacer lo mismo pero en la dirección de t digamos se me están acabando los colores pero vamos a tomar otro a ver volvamos al rosa o quizás al magenta así que si tengo aquí mi punto de ese combate ahora agregamos un poquito en la dirección dt es decir vamos a agregar un una d es una vete perdón muy pequeña un cambio muy pequeño enter y ese es el punto de ahí verdad esta distancia es un dt que lo puedes ver de esta forma ok y ahora si introducimos ese punto morado en nuestra función r lo que vamos a obtener es un punto por aquí verdad sobre la superficie quizás deba dibujarlo por aquí es un vector que apunta a ese punto ok se mata a ese vector muy bien ahora por el mismo argumento que hicimos del lado s este este punto o este vector ok este vector que es el r con rds perdón de coma temas de t es exactamente este de acá arriba ok que como ya vimos es una diferencia y entonces estamos hablando del vector que apunta del azul al morado perdón al magenta ok otra vez esto espero o sea un poquito de repaso para la cuestión de sumas y restas de vectores lo voy a pintar ahora en blanco esto va a ser justo lo que estamos escribiendo del lado derecho y que estoy en marcando en blanco ahora como ya puedes imaginar si tomas el vector azul más el vector blanco te da el vector morado verdad y tiene sentido todo esto tiene sentido geométricamente así que algunas veces es interesante ver qué es lo que está pasando así tengo estos dos este es un vector bajo el cual estamos parametrizado la superficie y al cambiar nuestros nuestra s por un cambio muy pequeño obtenemos un vector que también se mueve sobre la superficie e igualmente cuando cambiamos t por un pequeño número así que puede que no recuerdes muy bien esto lo he hecho en muchos vídeos pero lo que yo quiero ahora es calcular la magnitud del producto cruz de estos dos vectores y y cuando tengo la magnitud del vector resultante de tomar el producto cruz obtiene uno primero obtiene un vector que es ortogonal a los otros dos verdad pero si tomamos la magnitud esto es igual al área del paralelogramo el área del paralelogramo d el área del paralelogramo definido por a ive ok que es lo que lo que estoy diciendo aquí bueno aquí tenemos este vector a tenemos este vector b estos son los vectores a ive entonces cuando tomamos el producto cruz de este par vamos a obtener un tercer vector y éste es perpendicular a ambos es digamos como que se sale de la pantalla un poco este sería a cruz b pero la magnitud de este de este que tomamos el producto cruz lo que vamos a obtener de la magnitud de este vector es digamos la magnitud es qué tan grande es pero eso va a ser igual al área del paralelogramo definido por ahí ve y ya hemos probado en otros vídeos de álgebra lineal quizás lo pruebe aquí de nuevo bueno bueno no no quiero entrar en mucho detalle pero ya lo he hecho antes no quiero hacer este vídeo más largo así que el paralelogramo definido por ahí ve digamos si aquí ponen se imaginan que ponen aquí una copia de a una copia idea y aquí una copia debe digamos así sobrepuestos este paralelogramo definido por ahí ve baja si si regresamos al ejemplo de la superficie y fuéramos a tomar el producto cruz de este vector naranja y el blanco entonces tendremos el área de un de un cachito de un paralelogramo es digamos cercano a la superficie verdad entonces este paralelogramo al al naranja y al blanco se vería algo así verdad si tomo el producto cruz de ambos eso es vamos a obtener el área de este paralelogramo ahora ustedes pueden decir que que esta superficie lo estamos construyendo con paralelo gramos de cambios muy pequeñitos verdad estamos haciendo paralelo gramos infinitamente pequeños o tenemos una infinidad de paralelo gramos muy pequeños infinitamente pequeños así que esto a lo mejor es medio raro pero hemos aproximado ya el área debajo de las curvas verdad con un buen de rectángulos y de hecho con rectángulos infinitamente pequeños así que este va a ser un pequeño cambio en la superficie de la misma forma que lo hicimos con curvas y lo vamos a llamar de sigma por un pequeño cambio en la superficie y ahora vamos a tomar una infinita suma de infinitas de sig más pequeñas verdad así que la superficie la superficie digamos el área de la superficie va a ser igual a la integral sobre toda la superficie d así es como denotamos la superficie con una sigma verdad entonces una superficie es como una estructura bidimensional verdad y vamos a tomar todos los pequeños de sigma todas las pequeñas áreas de los paralelo gramos ahora que es una décima bueno ya hemos visto que la de sigma puede ser representada elba como el valor del área de esta pequeña parte verdad de la superficie de este paralelogramo representado por el producto cruz de estos dos vectores y digo aunque esto no es una matemática rigurosa el punto central aquí es es poder llegar a la integral de superficie así que vamos a escribir de sigma igual al producto cruz vamos a hacer el producto cruz del vector naranja y tienen el vector naranja en realidad como vimos en el último vídeo lo que escribí en naranja era la parcial de r con respecto a se me está acabando se me están acabando los el espacio déjenme déjenme ponerlo así la parcial de r respecto de ese de ese y en realidad no es sólo tomar el producto cruz porque el producto cruz es un vector y eso nos servirá para cuando queramos sacar integral de superficie para funciones de valores vectoriales sino que también hay que sacar la magnitud pero es la magnitud de quien de este de este vector cruz el vector blanco verdad que ya habíamos dicho que era este la parcial de r respecto de tdt así que es la parcial de r respecto de t dt y luego obtenemos la magnitud de eso y eso es lo que va a hacer a nuestro pequeño cambio en el área o el área del pequeño paralelogramo de aquí arriba verdad ahora pueden puede que a lo mejor no recuerden esto pero debe ser claro que cuando uno deriva de respecto de ese ode te siguen siendo vectores y cuando tenemos la derivada de ese y dt son numeritos y quizás no ya no lo recuerdes pero vimos en álgebra lineal que cuando tenemos el producto cruz y lo estamos multiplicando por escalares entonces podemos sacar los escalares fuera del producto verdad así que esto será esto va a ser igual a la magnitud del producto cruz del producto cruz de la parcial de r respecto de ese cruz cruz la parcial de r respecto de t eso sacamos la magnitud y después multiplicamos por de ese y de t que son estos dos chicos no de ese i dt pero quienes dsi dt bueno aquí escribimos el área que es tomar la suma de todos estos pequeños de sigma si por supuesto no hay forma de evaluar de evaluarlos pero si sabemos que son esta misma cosa y tomamos todos los de ese si de test de ese porte pues es un área en esta en esta región de los parámetros verdad en el plano etc así que si multiplicamos este producto por de este producto cruz de las parciales luego sacamos la magnitud y luego tomamos estas pequeñas áreas de ese y dt pues entonces sumamos todos ok sumamos todos y cuando sumemos todo sobre toda la región entonces obtendremos todos los paralelo gramos de la superficie y obtendremos el área de la superficie así que podemos escribir ya ya un poquito más más centrado en este asunto espero que tenga mucho sentido y que puedan visualizarlo podemos decir que la integral de la superficie de los décimas de nuestros pequeños paralelogramo sobre la superficie va a ser igual en vez de tomar la suma sobre toda la superficie va a ser va a ser la suma sobre todos los peces y dt es verdad en esta región en el plan oeste de este producto cruz que ya sabemos cómo hacer verdad eso realmente es una integral doble así que va a ser una integral doble sobre toda la región digamos del área a que eres la que tenemos acá arriba en la región de los parámetros está toda esa de esta cosa verdad que es la magnitud y que voy a escribir aquí en amarillo y luego escribir que es la magnitud de la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r respecto de t ajá de s dt que ya lo sabemos calcular verdad simplemente tenemos que ver cómo se comportan este producto cruz como evaluarlo y después esto realmente nos va a representar una integral de superficie muy fácil y que de hecho sabemos cómo calcular y en los próximos vídeos vamos a hacer algunos ejemplos ahora vamos a dar en estos vídeos el área de algunas superficies no así que estas dos expresiones figuran lo que es el área de la superficie al sumar todos los pequeños paralelogramo que son como parches asociados con cada con cada pequeño paralelogramo ok tendremos algún valor definido para para para ello verdad ahora qué pasaría si yo tengo una función f x 10 e está definida en todas las superficies ok y queremos ver cómo cómo se comporta una integral respecto a esta función en este espacio tridimensional y bueno en realidad lo que vamos a obtener lo que queremos hacer es figurar nos qué pasa si si para cada uno de estos paralelo gramos fuéramos a multiplicarlo por el valor de la función en cada punto es decir lo podríamos escribir de esta forma verdad esto simplemente sería la integral déjenme poner otro color la integral bajan sobre toda la superficie de f de x y z de sigma ok y esto sería simplemente igual a esto que tenemos es escrito acá arriba pero multiplicado por una f de este lado entonces vamos a integrar sobre todo el área a muy bien de la región de fx iceta y esto multiplicado por la magnitud de la parcial de r respecto de s cruz la parcial de r respecto de t tomamos la magnitud de eso y multiplicamos por de s dt muy bien y por supuesto estamos integrando con respecto a de aceite y esperamos que podamos expresar esta función en términos de aceite debido a la parametrización verdad cada una x 6 z son funciones de s&p así que evaluado en la función pues simplemente nos da una función de aceite es pérez las visualizaciones de esto no son muy claras de hecho tiene aplicaciones en física es más fácil ver el área de la superficie así que lo que vamos a hacer en los próximos vídeos es un poquito medio peludo para calcular pero no es tan difícil vamos a ver unos ejemplos y lidiar con ello