Integral de superficie. Ejemplo 2 (parte 2)

ahora que ya montamos la parametrización vamos a intentar calcular la integral y lo siguiente que vamos a intentar hacer es expresar a este señor de ese en términos de nuestras de eeuu y debe ok y entonces de ese sólo hay que recordar que de ese de ese no es otra cosa más que la norma o la magnitud del producto cruz de hereu con r&b donde hereu y r&b son las derivadas parciales de nuestro vector de posición respecto de un y respecto de b ok ahora yo yo puse la doble barra porque no me quiero confundir con el valor absoluto hay gente que pone solo una barrita para denotar la magnitud o la norma aquí vamos a utilizar la doble barra y falta multiplicar por dv dv ok entonces vamos a calcular primero este producto cruz para ya ir continuando con el cálculo formal de la integral entonces este producto cruz como lo puedo calcular pues simplemente es como un determinante verdad digo que no es insisto un determinante si no es simplemente notación que nos ayuda a recordar verdad esto simplemente es el determinante poniendo en la primera fila los vectores canónicos y jk y en la segunda vamos a poner las coordenadas de hereu pero rv derivar esto de aquí arriba respecto de v entonces la primera respecto de eeuu es uno la segunda respecto de v es cero porque sólo tiene b y la tercera respecto de v es uno muy bien estuvo muy sencillo ahora eso fue hereu vamos a calcular ahora rb quien es r b pues ahora derivamos respecto de b y en la primera nos queda 0 en la segunda nos va a quedar 1 y en la tercera si derivamos respecto d b éste se anula y nos queda la derivada de b cuadrada que es simplemente muy bien entonces ya tenemos esta matriz y ahora simplemente hay que calcular su determinante quien sería el determinante de esta cosa de género poniendo ok entonces para calcular el determinante primero empezamos con el vector y quitamos su columna y su renglón y nos queda esta sub matriz a la cual le sacamos el determinante entonces sería 0 por 2 b 0 - 1 por 1 que nos queda menos 1 y eso corresponde al vector y entonces nos queda menos menos y vámonos ahora con el siguiente que es jota pero como vamos es el segundo la segunda columna que tomamos le corresponde un signo ok aquí déjenme poner j y ahorita vemos por cual hay que multiplicar entonces quitamos el renglón y la columna correspondiente a jota y nos queda 110 2 b a estos que nos quedaron hay que sacarles otra vez como una especie de determinante entonces es 1 por 2 b que es 2 b -0 por 1 que es 0 entonces nos queda simplemente 2 b que multiplica nuestro vector canónico j y ahora nos tomamos el vector k ahora sigue el vector k que hay que multiplicarlo por si quitamos el renglón y la columna correspondientes acá pues nos quedan simplemente estos 4 numeritos que si sacamos el determinante pues es 1 por 1 1 - 0 por 0 0 entonces así es como me queda expresado el producto cruz ahora este es apenas el producto cruz nosotros necesitamos calcular la norma por lo tanto déjenme y ponerlo así esta norma esta norma se calcula de la siguiente forma va a ser igual a la raíz cuadrada ok de la suma de los cuadrados de cada una de las entradas verdad entonces fíjense en la primera en la primera yo simplemente tengo menos 1 que elevado al cuadrado es 1 en la siguiente entrada tengo menos 2 que si yo lo elevó al cuadrado me queda 4 b cuadrada entonces vamos a sumar aquí 4 b cuadrada aquí quizás debo reescribir bien la vez que parece un poquito pero bueno ahí está y ahora la caja la que tiene sólo uno verdad aquí es un uno que si lo elevamos al cuadrado nuevamente me queda uno entonces esto es la magnitud de ese de ese vector es la magnitud entonces simplemente ya resumiendo aquí podemos agrupar estos unos y me queda la raíz cuadrada la raíz cuadrada de uno más uno que es 2 + 4 b cuadrada dv bebé muy bien ahí incluso esto lo podemos ir simplificando un poco más porque si aquí adentro factor izamos 12 nos queda 2 que multiplica a 1 + 2 b cuadrada bebé y este 2 lo podemos sacar de la raíz verdad es decir lo podemos sacar así la raíz de 2 que multiplica multiplica a la raíz de uno más 2 de cuadrada dv desde muy bien entonces ya tenemos hecho esto y ahora si ya estamos listos para calcular con todo la integral la integral original que teníamos acá arriba que es la integral de leyes sobre la superficie entonces cómo hacemos esto bueno esencialmente déjenme poner primero lo que ya tenemos de firme hacerlo con morado voy a poner esto que es la raíz de 2 por la raíz de uno más 2 b cuadrada dv bebé y ahora hay que multiplicar porque verdad aquí está y que multiplica de ese entonces ya le dijimos que era b entonces aquí simplemente va una b entonces éste corresponde allí y déjenme poner que todo esto todo esto corresponde a de ese muy bien entonces lo que hay que hacer ahora es integrar integramos esto respecto del primero entonces déjenme poner esto más bien con con verde dv y esto lo integramos con de 0 a 1 y luego integramos integramos la vez de 0 a 2 que es en donde están definidos estos parámetros verdad entonces fíjense muy bien que esto morado que puse lo puse morado porque sólo depende de b en realidad se puede salir de nuestra integral entonces simplemente nos va a quedar la integral de 0 a 2 de d y déjenme poner primero la constante la raíz de 2 por b por la raíz de 12 b cuadrada ok y luego sigue la integral la integral de 0 a 1 dv y eso respecto de be ok esta ya queda dentro de esta integral y todavía podría sacar esta integral verde porque es una constante de esta integral morada pero no hay necesidad porque si nos damos cuenta esta integral simplemente vale 1 ok entonces realmente esto se simplifica muchísimo se simplifica muchísimo a este raíz de los lo puedo sacar esto sería la raíz de 2 por la integral de 0 a 2 de b lo más acá db por la raíz de 112 de cuadrada de b perfecto entonces esta integral ya es bastante sencilla fíjense que en realidad sólo es un ejercicio de sustitución porque si nos damos cuenta lo que está dentro de la raíz lo que está dentro de la raíz es 1/2 de cuadrada y su derivada es 4 b aquí ya casi tenemos 4 b excepto que me hace falta el 4 entonces lo que puedo hacer es multiplicar aquí por 4 pero para que no se altere la igualdad tengo que dividir nuevamente entre 4 entonces ahora sí ya tenemos muy bien que esto es la integral de de esta raíz de esta función que afuera está su derivada entonces esto lo podemos tratar como si fuera una equis verdad es decir esto podríamos pensar que estamos integrando la raíz cuadrada de x verdad y que esto como es x ala un medio y al a integrar simplemente tenemos que hacer x a la un medio más uno que es tres medios entre el exponente que queda aquí o que es lo mismo que multiplicar por dos tercios entonces lo que vamos a hacer aquí la equis vale 12 b cuadrado verdad es desde el principio de la sustitución entonces esto simplemente es 1 1 2 b cuadrada todo esto a la 3 medios a la 3 medios y hay que multiplicar por dos tercios por dos tercios ok todo esto vamos a evaluarlo de 0 a 2 esto de 0 a 2 y hay que multiplicar por esto de aquí afuera que es raíz de 2 raíz de 2 sobre 4 2 sobre 4 de hecho déjenme déjenme sacar esta constante de dos tercios esta constante déjenme la sacó y la pongo de este lado multiplicando y aquí podemos darnos cuenta cómo simplificar porque aquí este 2 se puede ir con uno de estos dos del 4 y nos queda simplemente 2 entonces aquí es algo que ya hemos llegado esto será igual a la raíz cuadrada de dos sobre dos por tres que son 6 sobre 6 que multiplica a quien a esto primero evaluado en 2 entonces y evaluamos en 2 aquí es 2 al cuadrado es 4 por 2 819 y luego si le sacamos raíz cuadrada eso será 3 y elevado al cubo eso es 27 27 y ahora si evaluamos en 0 todo esto se cancela y me queda 1 a la 3 medios que es 1 entonces restamos 1 y es hora de empezar a escuchar el redoble de los tambores porque esto simplemente es 26 por la raíz de 2 sobre 6 y que todavía podemos simplificar más sacando mitad tanto arriba como abajo y esto sería 13 la raíz de 2 sobre 3 y hemos terminado