Integral de superficie. Ejemplo 3 (parte 1)

vamos a intentar otra integral de superficie y la superficie que vamos a tomar en este caso es el exterior de esta figura que tenemos aquí que que podemos descomponer en tres distintas superficies la primera de ellas es la base que es esencialmente un círculo y de radio no es decir es el el círculo unitario rellenito la segunda que tenemos aquí en azul es digamos un cilindro es un cilindro que tiene como base de este mismo círculo unitario que ha sido cortado además de todo por un plano y el plano por el cual éste estamos realizando el corte es el plano z igual a 1 - x es este el plano esencialmente digo el plano puede ser mucho más grande pero solo nos estamos quedando con la tapa que es donde digamos el interior oeste este subconjunto que queda dentro del cilindro ok entonces este esta superficie así es como la descomponemos como superficies digamos ajenas y lo que queremos calcular es la integral de la función zeta sobre esta superficie entonces esencialmente lo que podemos hacer es vamos a seguir con el color que tenemos para la integral la integral de nuestra función zeta de s esta integral sobre esta superficie la podemos descomponer como la suma de tres integrales esto es la integral de zeta de s sobre la superficie s uno más la integral de zeta de s sobre la superficie 2 más la integral sobre la receta de s sobre la superficie 3 entonces esta integral original la de la descomponemos en tres integrales y que es lo que tendrían uno que hacer bueno pues tendría uno que parametrizar cada una de estas tres superficies y resolver cada una de forma independiente entonces vamos a empezar con esta primera que es la más sencilla y uno estaría tentado se antoja digamos parametrizar ese uno que es el círculo unitario pero hay que notar algo cuánto vale z en este conjunto ese uno en el círculo unitario el círculo unitario sólo está formado por puntos x sigue porque está en el plano xy quiere decir que la altura es cero entonces para todos estos puntos z vale cero por lo tanto si tenemos la integral de cero sobre cualquier conjunto esto simplemente nos da que todo esto vale cero entonces uno al inicio a lo mejor podría decir bueno pues vamos a parametrizar el círculo unitario está entre este cierto conjunto de parámetros en fin podría uno estar tentado a hacer eso pero siempre es mejor revisar si las cosas pueden simplificarse sin tener que hacer tantas operaciones entonces ahora lo que prosigue es parametrizar nuestra superficie s2 ok entonces parámetros hemos s 2 s 2 s 2 esencialmente es el cilindro que son los puntos digamos de la frontera de nuestro círculo unitario que esos los podemos parametrizar muy bien y hay que sumarle cierta altura variable verdad entonces si son puntos de la frontera de nuestro círculo unitario eso ya lo podemos ya lo podemos parametrizar es decir x es igual a con coordenadas polares sería el radio por el coseno de del ángulo pero el radio es 1 entonces sólo nos queda el coseno del ángulo que es y entonces si lo que está midiendo es el ángulo el ángulo que estamos midiendo para ir recorriendo está este círculo que va a ser el seno de ese ángulo seno de v donde ahora sólo hay que decir que se mueve entre 0 y 2 pi para que le dé toda la vuelta verdad entonces ahora sólo nos falta decir quién es z bueno se está digamos que es b es otro parámetro digamos z lo que me va midiendo es la altura y z se mueve pues sí sí la base es el círculo unitario que está en el plano x pues z se mueve o más bien b se mueve en 30 y el techo pero el techo ahora a diferencia de los casos que hemos hecho es variable verdad porque no es la misma altura de este lado que de este lado entonces también sabemos que es zeta z la altura se mueve entre la base que es 0 y este plano que es 1 x es decir 0 es menor o igual que z que es menor o igual que 1 - x entonces si ves z b se va a mover entre 0 y 1 - x pero x es coseno dv entonces este techo o digamos la la cota superior que decimos que ve se mueve entre 0 y 1 - x donde x es coseno coseno de eeuu entonces esto y es variable a diferencia de los de los otros ejemplos entonces ahora vamos a calcular de ese para esta superficie y sabemos que de ese es la norma o la magnitud del de eeuu la derivada de respecto perdón la derivada de r respecto de v cruz la derivada de r respecto de b y sacamos la norma o la magnitud de eso dv dv pero entonces aquí es donde está dada la parametrización sólo que no lo escrito en como una función vectorial que depende de dos parámetros de verdad esencialmente sí quién lo puedo hacer digamos de este lado o sea nuestro nuestro vector r2 digamos r2 porque estamos en la superficie 2 va a ser en la primera coordenada es coseno de eeuu que multiplica el vector y más el seno de v que multiplica el vector jota es éste más b que multiplica al vector k entonces quién va a ser hereu pues es derivar esto respecto de la derivada de coseno dvs menos dv por iu la derivada del seno es coseno de v por jota y la derivada de b es cero entonces podría no ponerlo pero déjenme ponerlo para que sea más claro cuando tomemos el producto cruz y ahora vamos a tomar la derivada de r respecto de b si nos damos cuenta en la primera y en la segunda coordenada 9 entonces va a ser cero y más 0 jota más la derivada de ver respecto debe pues simplemente es 1 que queda multiplicando al vector k entonces aquí ya tenemos nuestras y nuestros vectores derivada digamos y ya podemos calcular muy bien quién es el producto cruz de eeuu cruz rb porque eso simplemente déjenme de hacerlo bien esto es hereu cruz rd simplemente es un determinante es el determinante este determinante donde ponemos a los vectores canónicos y j y k ok y después ponemos las coordenadas en eso me salió bastante chueco ahí está después ponemos las coordenadas de nuestros vectores derivada entonces las coordenadas del primero simplemente es menos seno de un coseno de eeuu 0 y las del segundo simplemente son 0 0 1 entonces como ven el determinante va a ser algo muy sencillo de calcular muy sencillo tomamos primero y quitamos columna y y renglón y nos queda el determinante de este pedazo que simplemente es coseno de v por i ahora tenemos menos - j quitamos la el renglón y la columna y nos queda el determinante de estos cuatro que es menos seno de por uno menos cero por cero que es cero entonces nos queda menos con este menos se hace más seno de eeuu por jota y luego con acá quitamos el renglón y la columna y nos queda menos seno de eeuu por 00 -0 por coseno de buques cero entonces aquí va un cero acá muy bien entonces ahora si tomamos la magnitud de esto simplemente esto es bastante sencillo verdad porque la magnitud de eeuu cruz rb simplemente es la raíz cuadrada va a ser la raíz cuadrada de cada una de sus coordenadas al cuadrado y lo sumamos verdad entonces va a ser coseno cuadrado de u ahora este que es seno cuadrado de 10 al cuadrado que es 0 y esto es muy sencillo porque coseno cuadrado de un seno cuadrado de v es la la identidad trigonométricas más sencilla esto es 1 y si sacamos la raíz cuadrada de 1 esto es 1 entonces cómo ven la la de ese es muy sencilla ahora que ya estamos ahora ya estamos prácticamente listos para calcular la integral pero ya se me está terminando el tiempo así que lo haremos en el próximo vídeo