Integral de superficie. Ejemplo 3 (parte 2)

lo que estábamos haciendo en el vídeo anterior era concentrarnos en esta especie de superficie exterior o más bien vivía lateral de esta especie de como de cilindro cortado y descubrimos que con esta parametrización que vimos aquí pudimos calcular a de ese de ese era el la norma del producto cruz de las derivadas parciales de la parametrización verdad así que de hecho de ese se simplifica simplemente 1 entonces ahora ya estamos listos para calcular la integral de superficie y déjenme volverla a anotar la integral la más abajito era la integral sobre la superficie s 2 de zeta de s muy bien entonces esto será igual si recordamos y se mueve entre 0 y 2 pi y b se mueve entre 0 y 1 - coseno de eeuu entonces el hecho de que b tenga un límite superior que depende de la otra variable y eso se debe a que pues por ejemplo b que era la altura pues no es la misma si estamos por ejemplo en esta región que si estamos por acá atrás verdad entonces lo que nos conviene es integrar primero respecto debe para que uno de los límites superiores nos quede respecto de eeuu y luego el segundo el límite que o más bien la segunda variable que vamos a integrar eso que está entre 0 y 2 pi déjenme déjenme ponerlo para que sea mucho más claro esto será igual a la integral de 0 a 2 la integral de la integral de 0 a 1 coseno de un 1 menos coseno de v de quien pues era de zeta que esencialmente es ve en nuestra parametrización y primero integramos respecto de de y luego respecto dv entonces como ven esta parte de aquí depende de eeuu y que eso nos permite que integremos después respecto de eeuu entonces esto simplemente va a ser igual esto va a ser igual a la integral de 0 a 2 para la integral de 0 a 2 p del line de la anti derivada o de la primitiva debe pero quien es una primitiva debe eso es muy sencillo porque eso es de cuadrada entre 2 esto es de cuadrada sobre 2 y esto hay que evaluarlo desde cero a uno menos coseno de eeuu y esto es de uno ok esto ya fue simplemente haber resuelto este integral morada pero bueno esto simplemente será igual esto será igual a la integral de 0 a 2 pi de si evaluamos en uno menos coseno de unos queda ya desarrollado es uno menos coseno de walt cuadrado que es uno menos dos veces coseno de eeuu más coseno de seno de al cuadrado ok todo esto dv y nos falta de evaluar bueno multiplicar por un medio verdad esto es por un medio un medio hay que integrarlo respecto dv de hecho déjenme sacar en un medio en un medio mejor que se quede de este lado lo quitamos de aquí lo ponemos mejor acá ok entonces esto resultó simplemente devaluar uno menos coseno de walt cuadrado verdad el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo que está más el segundo al cuadrado y luego restamos esto evaluado en cero pero eso es cero por eso ya no puse nada más entonces si seguimos esto esto va a ser igual esto es igual a un medio en medio de quién es bueno hay que multiplicar esto está íntegra la podemos distribuir verdad es la suma de las integrales entonces va a ser la integral de 0 a 2 pi de 1 que es por dv entonces simplemente nos queda esto más el 2 de aquí lo podemos sacar y nos queda dos veces la integral de 0 a 2 pi de él y de hecho aquí no es más verdad aquí es un menos aquí son menos será menos 2 la integral de 0 a 2 pitt del coseno de v dv y ahora sí más la integral de 0 a 2 pi del coseno cuadrado de v que antes de hacerlo déjenme hacer algo porque calcular la anti derivada del coseno cuadrado de v es es bastante difícil digamos bueno no es que no es inmediato de cómo hacerlo entonces lo que podemos hacer es que el coche no de eeuu no podemos expresar todo esto lo podemos expresar de otra forma lo podemos expresar como un medio más un medio coseno de 2 le sugiero que si no se acuerdan de esto vean los videos de identidades trigonométricas entonces ésta es lo que nos va a permitir calcular una anti derivada más sencilla porque la anti derivada de un medio es fácil y la anti derivada de coseno de 2 también es relativamente fácil entonces esto será la integral de un medio más un medio coseno de 2 aunque todo esto respecto de v y todo esto lo está multiplicando en un medio de acá afuera entonces vamos a resolver cada uno de ellos por ejemplo aquí la anti derivada de dv pues eso es muy sencillo esto simplemente va a ser y esto será evaluado de 0 a 2 p entonces sabemos que en 0 pues esto vale 0 entonces sólo me va a quedar 2 pi aquí sólo me queda 2 pi ahora cuál es una anti derivada del coseno de pues es seno de verdad entonces esto me queda menos 2 seno de esto evaluado de 0 a 2 pi pero también fíjense en algo cuánto vale el seno de 2 pi pues eso es cero y el seno de cero también es cero entonces todo esto va a ser menos cero verdad es menos dos por cero es menos cero ahora vámonos con las anti derivadas de esto esto una anti derivada de un medio pues es un medio por uno y ahora necesitamos calcular una anti derivada esto va a ser necesitamos una anti derivada de un medio la anti derivada de coseno de dos como calculamos la anti derivada de coseno de dos bueno si nos damos cuenta aquí podríamos hacer un cambio de variable digamos w igualados y ok y entonces la derivada de w es 2 verdad entonces aquí no tenemos el 2 pero podríamos multiplicar por 2 y dividir entre 2 que es lo que estoy diciendo esencialmente déjenme ver donde lo puedo escribir por ejemplo acá arriba un medio un medio por el coseno de 2 y es igual a si multiplicamos por 2 y dividimos entre 2 tenemos un cuarto o sea es decir aquí multiplicamos por 2 para que nos quede dos veces el coseno de dos y luego dividimos entre dos que con este medio se hace un cuarto entonces la ventaja es que aquí este 2 es la derivada de esto que está dentro del coseno entonces podremos pensar que estamos simplemente integrando el coseno de 21 verdad esto es por el el cambio de variable en integrales entonces una anti derivada de ccoo seno de w pues es seno de w pero seno de w es el seno de 2 verdad entonces aquí sería seno de 2 y aquí ya no era un 2 dijimos que era un 4 este ya no era 2 este simplemente son 4 muy bien y ahora todo esto hay que evaluarlo entre 0 y 2 pi entonces cuánto vale esto en 2 p esto en 2 pues aquí si ponemos dos pibes dv si sacamos una mitad pues nos queda pi verdad más un cuarto del seno de dos veces dos pies seno de cuatro pero el seno de cuatro pi es cero y ahora si evaluamos en cero pues éste se hace cero y el seno de cero también es cero por lo tanto aquí ya hemos terminado y esto que obtuvimos hay que multiplicarlo por este un medio de aquí y entonces que es lo que nos queda al final al final lo que nos quedó es que tenemos un medio por dos para más y es decir 3 pi entonces este integral de aquí fue 3 pi entre 2 y esto merece al menos un primer redoble de tambores porque ya tenemos una parte de la respuesta que estábamos buscando acá arriba verdad ya tenemos que la integral sobre ese 1 es 0 y la integral sobre ese 2 va a ser 3 sobre 2 entonces ya en el próximo vídeo lo único que nos resta es atacar a esta la superficie 3