Integral de superficie. Ejemplo 1 (parte 1)

lo que vamos a intentar hacer en este vídeo es tomar la integral de superficie a lo largo de ésta digamos superficie sigma de la función x cuadrada ok y vamos a tomar una superficie muy particular digamos que nuestra superficie sigma va a ser la esfera unitaria esto es aquellos puntos del espacio que cumplen que x cuadrada más ye cuadrada maceta cuadrada es igual a 1 estos son la ex feria la esfera unitaria y lo que vamos a enfocarnos en en este primer vídeo es en parametrizar esto porque nos llevará varios vídeos llegará a calcular y esta integral va a llevarnos varios vídeos por ahora sólo vamos a parametrizar esta superficie y que generalmente es la parte más difícil sobre todo para visualizar cómo es que estamos moviendo nuestros parámetros y demás el resto puede ser incluso mecánico y quizás hasta engorroso pero bueno ahorita vamos a concentrarnos solo entonces vamos a pensar primero que ocurre en o vamos a pensar que estamos viendo digamos el espacio me lo pintó mejor digamos que este es nuestro eje z y que estamos viéndolo desde una perspectiva que simplemente el plano lo vemos en una línea imagínense que que están viéndolo de esta forma sale es es una perspectiva un poco rara quizás pero bueno aquí lo que quiero ver es que si tenemos nuestra nuestra esfera unitaria digamos más o menos es de ladito ching se ve algo así pero espero cache muy bien lo que es mi dibujo de la esfera ok digamos que esta es la esfera sale entonces este de aquí va a ser el plano xy este de aquí y por supuesto este de acá arriba es nuestro eje z entonces para que se vea que realmente estoy pintando una esfera de gm le doy este un poco de borde de brillo esta es mi esfera entonces vamos a intentar parametrizar la estamos viéndolo de lado y podemos fijarnos que podemos tener aquí en cualquier en cualquier línea que tomemos del centro a un punto de la de la esfera pues vamos a tener radio uno correcto porque eso es parte de la definición de la esfera unitaria entonces donde intersecta pensemos en donde intersectan toda esta esfera en el plano xy y en realidad intersecta en esta parte que estoy pintando con con con magenta correcto entonces como veríamos esta parte de la intersección ya en el plano xy entonces ahora vámonos al plano xy este es nuestro eje y y este es nuestro eje x y este es el eje x y este es el eje y que es lo que estamos viendo la intersección de esta esfera con el plano xy esencialmente nos da un círculo verdad y es un círculo de radio 1 déjenme ver si alcanzo a pintarlo bien más o menos creo que me quedo mucho mejor que el de la esfera ahí está este es nuestro círculo unitario porque es unitario porque si nos tomamos cualquier radio cualquier radio sobre este círculo en realidad tenemos que esto tiene radio 1 verdad de hecho sabemos muy bien cuáles son las coordenadas de este punto porque eso nos va a recordar muchísimo lo que son las coordenadas polares tenemos que esto es coseno de un parámetro que voy a introducir aquí que se va a llamar ese entonces es coseno de ese seno de ese y como no tenemos altura pues en nuestra tercera coordenada va a tener cero ok aquí podemos estar pensando que el eje z pues está apuntando directamente hacia ti digamos como que se sale de la pantalla y apunta hacia ti ok entonces ya que tenemos esta intersección podemos empezar a pensar cómo parametrizar cualquier punto de la de la de la esfera verdad vamos a regresar nos ahora a ésta a esta digamos a este diagrama y voy a introducir aquí un parámetro t que esencialmente el parámetro t me está diciendo que tanto estamos rotando hacia arriba o hacia abajo respecto al plano xy correcto por ejemplo si yo tuviera un radio digamos por acá abajo pues estamos viendo que tanto se está elevando pero en sentido contrario ok eso es más o menos lo que me mide nuestro parámetro t entonces simplemente vamos a utilizar un poquito de trigonometría para pensar bueno qué tal que yo tuviera un punto aquí y entonces yo corto con un plano digamos paralelo al plano xy aquí está digamos un plano y estamos cortando a esta esfera con este nuevo plano entonces cuando cortamos esta esfera con el nuevo plano pues tenemos una nueva circunferencia de intersección es decir la parte donde se intersecta simplemente es esto entonces la pregunta es bueno aquí vamos a interceptar una esfera piensa en una esfera y que las rebanadas digamos con un cuchillo pero no por la mitad sino más arriba entonces lo que uno ve es como una tapa circular estarás de acuerdo la pregunta es bueno y ese círculo que radio tiene ok aquí por ejemplo cuando interpretamos con el plano xy tenía un radio uno pero aquí no va a tener un radio no es un radio más pequeño entonces cómo podemos ver esto bueno simplemente fijémonos que de aquí del eje z alto a este primer punto de intersección es exactamente la misma distancia que está que tenemos aquí pero está que tenemos aquí por simple trigonometría es coseno de t entonces pensemos que si interpretamos con un plano digamos de esta a esta altura de la esfera en realidad vamos a tener una circunferencia mucho más pequeña de gm más arriba digamos vamos a tener una circunferencia más pequeña más o menos de esta forma ahí está un poquito pasado de este lado pero ya está corregido entonces este que radio va a tener bueno va a tener el mismo la misma distancia que de aquí del centro de digamos dónde intersecta el eje z y el plano xy a este punto donde es el pie de la altura de este triángulo formado por el ángulo t ok entonces este por simple trigonometría pues tiene radio coseno de t es decir si yo tengo aquí mi radio éste tiene radio coseno de t ok entonces recordemos otra vez quiénes son las coordenadas polares entonces este punto de aquí este punto de aquí simplemente va a tener tres coordenadas correcto este punto de aquí lo estoy pensando como que es este mismo aquí por ejemplo nuestro ángulo s pues estará variando mucho más verdad entonces pensemos ahora si qué coordenadas tiene esto bueno recordemos que cuando tenemos coordenadas polares es justamente esta expresión multiplicada por el radio entonces el radio es coseno de t por lo tanto entonces irlo escribiendo que este punto tiene radio coseno de t por el coseno de s si simplemente es esta expresión y multiplicarla por el radio y éste tiene radio coseno de t ahora la segunda coordenada pues va a ser el radio coseno de t por seno de s muy bien y ahora la altura la altura simplemente consideremos ahora en este diagrama que si aquí tenemos t entonces nuestra altura va a estar determinada de esta forma por esta digamos por esta línea pero si esto es coseno de t la altura quien es pues será simplemente seno de t ok entonces la altura en este caso va a ser seno dt muy bien y este es nuestro punto sobre la esfera donde s pues pensemos en entre qué valores se pueden mover el parámetro s y entre qué valores se puede mover el parámetro t entonces ese como vimos pues puedes es el ángulo sobre el plano xy entonces puede estar entre 0 y 2 ok es decir podemos movernos digamos desde aquí e ir dando toda la vuelta toda la vuelta hasta dar una sola para no repetir más correcto ahora pensemos en el ángulo t porque en el ángulo t aquí podemos estamos digamos tomemos como como base el plano xy y podemos movernos hacia abajo o hacia arriba entonces si nos movemos hacia abajo a lo más que nos podemos mover es un cuarto de vuelta estarán de acuerdo y un cuarto de vuelta no es otra cosa más que pi medios pero como nos movemos hacia abajo en realidad es negativo entonces este a lomé al menos puede ser menos y medios y ahora si nos empezamos a elevar pues a lo más podemos elevarnos un cuarto de vuelta es decir elevarnos y medios un ángulo de pi medios entonces aquí ya están determinados los dos valores o más bien el rango de valores posibles para los dos parámetros y simplemente podemos escribir ya esto de forma los vectorial o con una función porque el punto de la esfera de que depende de ese y de t simplemente será en su primera coordenada coseno de té por coseno de s que multiplica al vector y es decir esto es la primera la primera entrada a la primera coordenada más con seno de t seno de s seno de s y esto en la dirección j es decir en la segunda entrada y finalmente vamos a tener que agregar el seno de t seno de t que multiplica al vector unitario acá y esta es nuestra parametrización nuestra función vectorial que depende de dos parámetros y ya hemos acabado estas son estos son los rangos estos de aquí en los que se están en los que están definidos los parámetros así que este es el primer paso para matizarlas superficie y ahora vamos a calcular la integral de superficie que incluye calcular por ahí un producto cruz que se puede volver un poquito engorroso o medio peludo y después evaluaremos la integral por sí misma