Integral de superficie. Ejemplo 1 (parte 2)

ahora que ya tenemos nuestra parametrización justo aquí que definimos como el vector r de posición vamos a atender el asunto de calcular la integral de superficies y es un poco complicado pero lo intentaremos y lo haremos paso a paso lo primero que haremos es entender quién es este señor de sigma en términos de aceite que son nuestros parámetros así transformaremos esta integral en una integral doble en la región de los parámetros st y recordemos que de sigma es esencialmente una pequeña porción de área de nuestra superficie esto sería de sigma y que es una pequeña porción una infinita infinitesimalmente pequeña porción de área y que lo podemos calcular de la siguiente forma de sigma de sigma es la magnitud o la norma del producto cruz de dos vectores y a mí me gusta ponerlo con dos barras para que para que no confundamos con el valor absoluto hay gente que solo pone una barrita para denotar la norma hablar magnitud pero podría prestarse a confusión quiénes son los dos vectores que hay que tomar para hacer el producto cruz pues será la derivada de r respecto de ese y la derivada de r respecto de t entonces ya con esto dicho vamos a calcular este producto cruz pero pues primero antes de calcular el producto cruz pues necesitamos saber quiénes son esos vectores y la derivada parcial de r respecto de ese simplemente será derivar cada una de estas entradas respecto de ese y si nos fijamos en la primera coseno de t es una constante no depende de ese y si derivamos coseno de s nos queda menos seno de s así que nos queda al final menos coseno de t por el seno de ese seno de s que multiplican nuestro vector unitario y ahora vamos con la segunda la derivada de coseno dt respecto de s pues no aplica verdad esto sólo depende de t sólo hay que derivar seno de ese que es coseno de s entonces sumamos coseno de t por el coseno ds que multiplica a nuestro vector unitario j y ahora fijan fíjense que en el último paso no tenemos nada que dependa de s por lo tanto al derivar respecto de s esto nos dará 0 voy a ponerlo así 0 que multiplica nuestro vector k ahora vámonos con la derivada de r respecto de t la derivada de r respecto de t pues vamos a derivar ahora cada una de las coordenadas respecto de t y la derivada de la primera pues coseno de s no depende de t por lo tanto es una constante y sólo nos queda derivar coseno de t que es menos seno de t por el coseno ds por el coseno ds ok y esto que multiplica nuestro vector y más la derivada de coseno bueno estamos derivando al respecto a este entonces la derivada de coseno es otra vez menos seno de t que multiplica seno de ese que s es constante verdad y esto por el vector unitario creía haber cambiado de color por el vector unitario j y finalmente hay que sumarle la derivada de seno dt respecto de t que es coseno de t que multiplica a nuestro vector unitario acá muy bien entonces ya con esto dicho ya podemos ir calculando el producto cruz de estos dos señores que va a ser un poquito largo y de hecho déjenme hacer un poquito más despacio entonces quién va a ser rs cruz rt bueno a mí la forma en que me gusta recordarlo es como un determinante de una matriz ok déjenme ponerlo más o menos un poco más derechito ok es el determinante de una matriz en donde la primera fila tiene a los vectores canónicos por supuesto esto es sólo es notación no se puede calcular un determinante con vectores pero bueno es una forma fácil de acordarnos en la segunda fila van a estar las coordenadas drs déjenme ponerlas va a ser menos coseno dt por el seno de s de ese en la segunda va a estar coseno dt coseno de s y finalmente como aquí tuvimos un 0 y esto es lo que nos va a ser mucho más fácil de calcular este determinante que tuvimos un 0 al final luego en el último renglón el perdón en la última fila vamos a tener las coordenadas de la derivada de r respecto de t que va a ser menos seno de t por el coseno de s coseno de s - seno de t por el seno de ese y en la última coordenada vamos a tener coseno de t coseno dt muy bien entonces ya una vez que tenemos esto pues vamos a proceder a calcularlo están de acuerdo vamos a hacerlo entonces vamos a tomarnos primero el el primer elemento de este esta de esta matriz y vamos a tomar y que multiplica si quitamos la columna y la fila correspondiente ahí nos queda esta pequeña su matriz calculamos su determinante y esto será coseno este coseno de sepor coseno de t nos damos cuenta que podemos dejar simplemente como coseno cuadrado de t por el coseno de s y hay que restarle digamos cuando multiplicamos estos dos pero como aquí hay un cero ya no hay nada que agregar ni restar entonces así se queda nuestra parte del vector y ahora nos tomamos el vector jota que hay que cambiarle de signo verdad con nuestro patrón que parece como de ajedrez cuando calculamos estos determinantes se va a multiplicar a quién quitamos su fila y su columna y nos queda una matriz definida por estos dos y estos dos entonces calculamos su determinante y nos queda menos coseno hete por ccoo cgt por seno de s nos queda menos coseno cuadrado de t por el seno de ese seno de ese que esencialmente si lo vemos este menos con este menos se cancelan y simplemente lo dejamos como un más y esto es sólo la parte correspondiente a correspondiente a jota vámonos ahora con la parte correspondiente acá acá entonces quitamos su columna y su fila y si nos damos cuenta aquí ya no está el 0 entonces ya puede ser un poquito más complicado pero bueno no puede ser tan complicado vamos a hacerlo aquí multiplicamos menos coseno etc no de ese por menos seno de ts no de ese entonces los menos se cancelan y nos queda coseno de t seno de t por seno cuadrado de ese seno cuadrado de s y hay que restar el producto de estos dos pero como aquí tenemos un menos se cancelan digamos los signos y nos queda más coseno de t seno de t por coseno cuadrado de s muy bien entonces vamos a esto ya queda bastante complicado se ve muy espeluznante pero no lo es tanto fíjense en lo siguiente esto de aquí lo podemos simplificar porque lo morado lo podemos factorizar verdad entonces tendríamos que esto de aquí es coseno de t seno de t que multiplica a quien multiplica al seno cuadrado de s más el coseno cuadrado de s y esto es muy grato porque por la definición del círculo unitario esto es igual a 1 entonces la parte en que simplemente se queda con esto con este producto que es coseno este seno de t entonces vamos a escribirlo ya con todo él con toda la formalidad vamos a presentar a rs cruz rt ante la sociedad y esto simplemente es coseno cuadrado de t coseno cuadrado de t por el coseno ds por el coseno de s que multiplica nuestro vector y esa es nuestra primera parte más coseno cuadrado de t por el seno de ese por el seno de ese que multiplica al vector jota y hay que sumarle la parte enka que simplemente va a ser coseno dt seno de t que multiplica a nuestro vector unitario acá muy bien este ya es rs cruz rt ok esto al final es si retomamos aquí de que es lo que queríamos hacer con de sigma este es este producto cruz ahora lo que nos falta es multiplicar por cierto éste es sacar la norma y multiplicar por las diferenciales de cada uno de los nuevos parámetros hay que tener cuidado con estas diferenciales para que podamos llegar a la integral doble ok entonces vamos a calcular la norma o la magnitud la norma o magnitud de rss cruz rt ok y esto simplemente es la raíz cuadrada esto es la raíz cuadrada bastante amplio para que no haya problema de cada una de estas entradas al cuadrado verdad entonces vamos a hacerlo primero con el primero el primero con el primero entonces quién es esto al cuadrado va a ser coseno a la cuarta dt por el coseno cuadrado de ese coseno cuadrado de ese y ahora hay que sumar este al cuadrado que es el segundo vamos a hacerlo y nos queda coseno a la cuarta de t por el seno cuadrado de t que si eres muy abusado ya notarás algunos patrones que emergen aquí más este último al cuadrado que es coseno cuadrado de t seno cuadrado de t muy bien entonces esta es la magnitud y se ve bastante espeluznante pero vamos a simplificarlo porque de aquí de estos dos primeros podemos factorizar de estos dos podemos factorizar el coseno cuarto el coseno a la cuarta dt y esto simplemente nos quedaría como coseno a la cuarta de t por el coseno cuadrado de s más el seno cuadrado de s pero nuevamente por el círculo unitario esto se hace simplemente 1 ok entonces de esto ya sólo nos queda coseno a la cuarta dt y este otro término entonces realmente lo que podemos hacer es factorizar un coseno cuadrado de t entonces si factor izamos un coseno cuadrado de t déjenme ponerlo con ese color coseno cuadrado de t podemos multiplicar por lo que nos quedó de estos dos términos que sería coseno cuadrado de t se nos cuadrado de este verdad y mejor aún porque esto nuevamente se vuelve a ser uno entonces realmente lo que nos queda es la raíz cuadrada de esto último que es la raíz cuadrada de coseno cuadrado de t esto va a ser igual coseno dt bueno esencialmente debería yo decir que es el valor absoluto pero fijémonos que te que los valores de t se están moviendo entre menos pi medios y pi medios entonces si se mueve entre menos pi medios y medios el coste no siempre es positivo así que no hay necesidad de ponerle este valor absoluto y recuerden que el coseno entre menos pi medios y medios está entre 0 y 1 y es positivo entonces esta magnitud nos queda simplemente como coseno de t de gm entonces ya concluir quién es de sigma de sigma era la magnitud era esta magnitud del producto cruz que resultó ser coseno dt pero hay que multiplicarlo finalmente por la diferencial de ese diferencial de t los veo en la siguiente parte