Determinando una función de posición de valores vectoriales para una parametrización de dos parámetros

en el último vídeo empezamos a hablar de cómo parametrizar un toro o la figura de lo que es una dona y los parámetros que estábamos usando gastamos mucho tiempo tratando de visualizarlo porque todo se trata de la visualización así que yo creo que la parte difícil ya la hemos pasado y ahora podemos parametrizar el toro que es la superficie de esta zona como lo había dicho y lo que vamos a hacer es tomar puntos en este círculo y vamos a rotar los vamos a rotar los alrededor del eje z muy bien vamos a utilizar este parámetro s que puede ir entre 0 y 2 pi para decir que tanto se separe el ángulo del plano xy ok y eso nos determina este círculo y luego rotamos alrededor del eje z así que siempre vamos a estar guardando una distancia ve al centro de los círculos y después definimos el parámetro de verdad que era lo que nos decía que tanto rota vamos alrededor de él gz y esos eran nuestras dos definiciones de parámetros y luego intentamos visualizar qué pasaba con este tipo de dominio en nuestro en nuestra parametrización nombre es decir qué pasa con ese entre 0 y 2 para que también entre 0 y 2 pi y como iba rotando todas estas estas figuras por ejemplo poniendo esa igual a 0 teníamos un círculo después de igual a cero pues nos daba todo un un círculo que es una sección transversal poniéndote perdón ese igual y medios teníamos en la circunferencia superior en fin todo esto estaba en nuestro espacio x y z es decir en el espacio de tres dimensiones y ahora espero que podamos visualizarlo muy bien porque vamos a definir la posición de obama definir una función de valores vectoriales que nos da la posición en la superficie y esto a partir de la parametrización así que vamos a irnos derechitos a eso vamos a ver esto de aquí cuál es nuestra zeta como una función de s bueno realmente todas nuestras variables x jay-z van a ser funciones de aceite pero la más fácil de obtener es la z miren vamos a ver lo que estamos viendo aquí es que en este punto déjenme poner este par de puntos ok estamos representando estos puntos azules respectivamente entonces el punto azulito corresponde el punto azulito el amarillo al amarillo y puedo hacer más digamos déjenme elegir este punto aquí es igual a 0 y él te iguala y medios corresponde a este morado que estoy pintando vamos a definir uno más para ver el cuadro entonces este verde es ese igual aquí medios de igual a cero corresponde a este verde así que para ese y te estamos mapeando puntos en el espacio x y z así que z x y deben ser funciones de ese y t la primera que vamos a pensar es la zeta como les dije ésta es bastante bastante fácil así que z como función de aceite a que va a ser igual bueno vamos a ver si tomamos un círculo recordemos que ese es el ángulo en el que se separan digamos el plano xy entonces puedo dibujarlo déjenme hacerlo con otro color se me están acabando los colores así que digamos que este radio tiene un ángulo s muy bien entonces si lo pintamos de esta forma digamos aquí por la parte entonces sólo necesitamos hacer un poco de trigonometría verdad tenemos este ángulo ese y lo que queremos calcular bueno sabemos el radio el radio está así lo habíamos definido y se está va a ser simplemente la distancia de la altura de este triángulo verdad que es la distancia del punto al plano x y eso es trigonometría básica ese es directa porque podemos utilizar las propiedades de las funciones trigonométricas y si no te la das no si no te acordás de ellas quizás debas repasar esos vídeos así que z que es la altura digamos podemos utilizar la relación del seno verdad seno de ese seno de ese es igual al cateto opuesto que z entre hipotenusa que es y ahora multiplicamos ambos lados por a y obtenemos que a por seno de ese es zeta y eso nos dice que y altos estamos con respecto del plano xy pura trigonometría así que z que depende de aceite va a ser a seno de ese ok no dependió de t pero podemos pensar que que si depende que si depende aunque no está explícitamente ahí ahora lo que vamos a intentar es descubrir quién es x y quién es y ok entonces realmente la zeta no dependió de en qué posición andamos de xy de y realmente sólo depende del ángulo que hacemos con ese plano verdad con el plano de xy entonces realmente por ejemplo al variar xy ya sólo le estamos dando la vuelta al al al toro sin mover nuestro valor 7 entonces espero que esto tenga mucho sentido para ustedes ahora vamos a ver qué pasa cuando vamos girando es decir vamos a ver qué pasa con x y vamos a ver esta imagen de la dona así que el centro el centro de cada uno de los círculos está a una distancia ve del eje z y cuando lo vamos rotando esta distancia siempre es be así que nuestra coordenada x y van a depender y van a estar relacionadas con la distancia al eje z entonces vamos a ver como como podemos ver esta distancia digamos realmente el punto en el toro que queremos ver es imaginemos que proyectamos este punto este punto sobre el plano xy cómo se vería bueno vamos a regresar nos a un dibujo esto debería ser más visible este es un ejemplo particular del círculo verdad entonces dibujamos el eje z y el eje z y ahora pintamos este es este radio ve que sabemos que existe entonces cuál cuál va a ser esa distancia bueno va a ser toda esta toda esta es la que queremos encontrar ok y sabemos que al centro de este círculo es b dependiendo del ángulo ese es como vamos a tener la distancia así que si estás en el plano xy vamos a encontrar que depende la distancia de ese ya que vamos a sumar la distancia en que es digamos de proyectar el radio sobre el plano x 10 y sumarle b pero entonces vamos a tener que usar una relación trigonométricas es decir a por el coseno de s es lo que nos da esta distancia en morado está que estoy pintando ahora en amarillo esa distancia y ahora hay que sumarle tenemos que sumarle está otra vez verdad esa es nuestra distancia del eje al punto proyectado en xy entonces tenemos que la distancia es b más a coseno de s si por ejemplo tenemos ese de este lado entonces el coste no lo que va a estar haciendo es reducir reducir la distancia verdad porque coseno para un ángulo mayor que pi medios es negativo entonces todo esto tiene sentido ahora si nos encontramos aquí esta es la distancia que estamos encontrando hace unos momentos no esto es el b más a coseno de s esto es b coseno de masako seno de s esa es la distancia que tenemos en el plano xy realmente lo que queremos ver es ahora descomponerlo tanto en x como en 10 ok esto es lo que ya hemos dicho estos temas a coseno de ese es para que lo puedan ver en distintos en distintas figuras vamos a encontrar ahora quien es x y entonces ahora sí estamos viendo justo desde desde una perspectiva desde arriba digamos como si estuviéramos volando podemos determinar bien quién es xy porque vamos a dibujar otro triángulo rectángulo verdad aquí el ángulo este la altura va a ser equis y la base va a serie así que ya lo tenemos porque podemos seguir utilizando propiedades trigonométricas para encontrar nuestra coordenada x como función de aceite digamos x en este caso es la altura y cómo se calcula la altura bueno esto simplemente es por trigonometría seno de t que este es el ángulo t por el radio por el radio o la hipotenusa que es b más a coseno de s muy bien ahora recordemos que todo esto depende de en qué punto andemos del círculo verdad es decir si depende de qué tanto estamos girando nos ente y bueno ahora lo que falta es calcular nuestra variable y porque ya encontramos x como función de aceite ya encontramos hace está y ahora lo que hay que hacer es encontrar nuestra y así que bueno de hecho déjenme ver que en el dibujo lo que hice fue definir la parte positiva de x hacia arriba que es en el lado contrario de donde pinte el eje verdad así que espero esto no les no les confunda mucho y haga mucho sentido pero bueno depende también de cómo usen su orientación que la regla de la mano y demás bueno éste lo que importa es que ya encontramos la fórmula para x ahora vamos a tener vamos a echar un vistazo a esto esto es un corte del toro un corte del toro y esto lo que nos dice es qué tan lejos estamos del eje en el plano xy estamos retomando un poco luego hicimos la proyección y a partir de la proyección hicimos este último triángulo que nos permitió calcular x en términos de aceite ahora vamos a ver qué pasa con ye que es esta base entonces ya que depende de aceite en esta ocasión va a tener que relacionarse con el coseno dt que multiplica también al radio es decir que multiplica a b más a coseno de s b más a coseno de s y así nuestra parametrización ya está hecha y espero haga sentido todo esto digo si tienes aquí tu coordenada y en realidad lo que estamos haciendo es la propiedad de la trigonometría del perdón de la función trigonométricas coseno de verdad que es cateto adyacente interés entre hipotenusa que es de entre de masako seno de s simplemente estamos multiplicando a ambos lados por b masako seno de s y es lo que nos da esta relación que obtuvimos aquí del lado derecho entonces déjenme copiar y pegar esto copiamos y vamos a pegarlo acá y ya tenemos lista nuestra parametrización verdad tenemos a x ayer ya z como función de aceite pudimos dejarlo así pero bueno queremos una representación vectorial de la posición así que podemos definirlo de esta forma con un color bonito como rosa r que es nuestra posición en el toro va a depender también de ese y de t entonces esto va a ser igual a en la primera coordenada va a ser déjenme hacerlo con el mismo color va a ser ve más a coseno de ese coseno ds por seno de t simplemente invertir el orden y esta es nuestra primera entrada entonces multiplica al vector vector al vector y que es el vector unitario en la dirección x entonces este es nuestro vector y ok vamos en esa dirección y así es como hemos definido estas cosas ahora le sumamos la componente y que va a ser de más a coseno de s demás a coseno de s y multiplicada coseno dt en la dirección del vector unitario j muy bien y finalmente bueno recordemos que el vector unitario jota va en dirección del eje y es verdad es ese último que pinte finalmente la componente en zeta que es la más fácil de obtener verdad que es a seno de ese que multiplica el vector que es el que va en el vector unitario en la dirección zeta este de arriba muy bien así que ahora que tú me des aceite en el dominio que hemos definido acá arriba en este cuadrado entonces una vez que tú me das aceite yo te puedo decir en qué posición se encuentra el punto sobre el toro esto asocia correctamente un punto en el toro cada uno de los puntos de este cuadro corresponderá bajo la función a un punto del toro así que ya sea que le pongas primeros cero y cuartos lo que tú quieras tú lo sustituyen y ahí te arroja un valor en el toro entonces en este caso por ejemplo en la posición en medios como medios esto es además a coseno de pi medios pero coseno y medios es cero verdad y luego esto nos quedaba más 0 por el seno de pi medios pero seno de medios es 1 por lo tanto sólo nos queda b que multiplica el vector y ahora en la siguiente ve más a coseno depp y medios bueno conocer 9 medios también se hace 0 así que nos quedaba por el coseno de medios pero con senodep y medio se anula así que toda esta componente en jota va a ser cero cero j y finalmente en la componente zeta tenemos a por el seno de pi medios pero seno de medios es 1 así que simplemente tendremos más a por acá así que no hay una componente en la dirección j así que simplemente será b y más a k así que el punto que especifica es nos movemos una cantidad de ve en la dirección y entonces nos movemos a esta dirección y digamos de unidades y luego le sumamos a la altura verdad que está justo aquí este es el vector que corresponde a cuando evaluamos en ese ítem y medios por supuesto puedo seguir agarrando puntos fáciles de calcular pero lo que quiero que vean es que todo este dominio de la izquierda va a cubrir bajo la transformación a toda la superficie y esta es la regla de correspondencia y por supuesto cuando damos esta función vectorial tenemos que especificar entre qué valores se mueven los parámetros por ejemplo ese está entre 0 y 2 pi y por supuesto que también nuestro parámetro t está entre 0 y 2 pi si consideramos dos parámetros en ese lugar tendremos un punto en el toro así que ya estamos hablando podríamos hablar de superficies verdad de algunas áreas cuando acotemos aceite entre otros intervalos pero bueno lo que estamos haciendo nos servirá para las integrales de superficie lo más difícil ha sido esto la visualización nos vemos