Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:19:02

Transcripción del video

hasta ahora solamente hemos parametrizado una curva con un solo parámetro lo que vamos a hacer en este vídeo es parametrizar una superficie en tres dimensiones usando dos parámetros y vamos a empezar con un ejemplo que es un toro o un toro más conocido como la forma de una dona perfect y sabemos a qué se parece a una rana verdad voy a dibujarla en un color espero poner un color apropiado para las zonas como verde una dones como esta verdad tiene un hueco en el centro y tal vez en el otro lado lo podemos dibujar de esta forma para que más o menos parezca una dones más vamos a asombrar la así como se ve muy bien así se velaron entonces como lo construimos usando dos parámetros lo que queremos hacer es que podamos visualizarla como si dijéramos unos ejes aquí déjeme déjeme dibujo los ejes supongamos que tengo el eje z que va de arriba abajo y que está dibujado justo es más incluso lo va a pintar inclinado que pasa justo en el centro de la dona si seguimos así bueno esto va a ser como una especie de ejercicio de dibujo más bien entonces este es mi eje z y podemos imaginar que el eje z va desde hasta arriba hasta abajo y lo que sale de este lado será el eje x correcto y lo que salga de este otro lado será el eje ye sale de esta manera y la razón por la cual lo dibujé de esta forma es para que imagines en la sección de cruce en donde se encuentra la dona y apreciarla más fácilmente así que los ejes x eta digamos el plano que me definen los ejes x y z cortan en una sección circular de esta forma y éste sería la forma del círculo y bueno trazar un círculo como esto es simplemente hacer la intersección de sg con el tor ahora vamos a rastrear otro círculo que sea de interceptar el plano jay z con el toro verdad y se ve de la misma forma así que vamos a pensar que es un manojo de círculos rotando alrededor del eje z si lo piensas de esta forma nos daremos muy buena inclusión de la forma de parametrizar esta cosa así que vamos a hacerlo de esta forma vamos a empezar sólo con el eje con el eje z por este lado y vamos a pintar desde otro lado ubs perdón vamos a pintar elegí muy bien entonces lo que estoy viendo este círculo que le estoy colocando un centro en azul ok y el centro se sitúa sobre el eje llegué aquí a lo mejor el dibujo no es muy claro pero bueno esa es la idea de lo que estoy haciendo y digamos que hay una distancia ve al centro es decir al eje z verdad al centro del toro la distancia que habrá es b y esta distancia también aplica para todos los círculos que se encuentran en el toro muy bien ahora voy a pintar la parte digamos superior del toro digamos que lo estamos viendo desde una perspectiva desde arriba al entonces sólo se ve algo así como como una especie de anillo el eje z va a ser como como si estuviera saliendo de la pantalla verdad entonces tenemos aquí lo es los ejes x y llegué key entonces estoy volando y estoy viendo desde arriba me dona y severa de esta forma si te imaginas la sección transversal es decir q lo va a corresponder a una línea verdad este círculo sólo corresponde a una línea por ejemplo que está en el eje jeff y quedaría sólo como es y la distancia ve simplemente es la distancia en esta perspectiva al punto medio del segmento déjenme pintarlo con otro con el mismo color perdón el morabito ésta sería nuestra distancia ave la distancia al centro de los círculos que aquí desde esta perspectiva se ven simplemente como líneas va a ser ve esto me debe todo esto me debe desde el centro del toro hasta el centro del círculo y eso es lo que definimos como la distancia ave así que en esta distancia en el plano se detalle a y pintamos nuestro bebé y podemos imaginar que las elecciones tienen un radio de longitud up para estos círculos la longitud que pintamos de amarillo es de dos a verdad es decir es el diámetro el radio idea entonces lo que vamos a hacer es tener dos parámetros uno es el ángulo que hace el radio de la sección con el plano ekije y el otro bueno lo que podemos imaginar es que de aquí sale el lg x verdad en amarillo se pueden imaginar que sale de aquí esto es el plano ekije y para un parámetro va a ser el ángulo entre nuestro radio y el plano ekije íbamos a llamar ese ángulo ese parámetro es vamos a llamar digamos que acs y así se va entre 0 y 2 pi y como estaba entre cero y dos pick cuando vale cero sólo va a ser este puntito que coloque aquí y luego recorriéndolo todos pig estoy haciendo el círculo que se ve como ese ahora sólo tenemos un parámetro lo que queremos hacer es girar alrededor del eje z para obtener todo el toro verdad es decir vamos a barrer lo vamos a barrer lo alrededor del eje z y vamos a definir otro parámetro digamos a este parámetro le voy a poner te de gm déjenme hacer otra vista superior para para no a hacer mucho alboroto como pueden ver todo es una cuestión de piso a licitación así que vamos a decir que aquí están mis ejes x sigue y vamos a comenzar con una distancia ve al eje z verdad sobre el eje ye es decir estamos trabajando en el plano jay z el plano es digamos el el eje z es el que podría estar apareciendo fuera de la pantalla y bueno cuando ese es igual a cero radiales vamos a estar precisamente aquí exactamente a una distancia del punto y vamos a rodear todo este camino hasta este punto vamos vamos a ver es de diámetro ahora para hacer la dona lo que queremos es girar alrededor del eje z vamos a girar alrededor del eje z que está mirando hacia arriba hacia nosotros digamos y que está saliendo desde de la pantalla ahora para rotar lo vamos a dibujar un círculo alrededor del eje z y para ello vamos a definir un parámetro que nos dice cómo nos hemos puesto agilidad cuánto hemos girado es decir cuánto hemos rotado alrededor del eje entonces en algún momento vamos a estar aquí y lo haríamos digamos en un radio igual ave entonces estos esto es que estamos pintando en este momento habrán girado digamos digamos algunos radiales vamos a llamarle a este parámetro este parámetro vamos a llamarle t y también bavaria arte entre cero y dos pit que está entre 0 y 2 pitch y quiero dejar esto muy claro vamos a llamar realmente el dominio que le estamos asignando de de nuestra superficie por lo que entendemos entenderemos completamente la superficie en un dominio en donde el aceite se permiten estar entre cero y los vi perfecto vamos a tener una función de valores vectoriales así que vamos a pintar digamos ahora el espacio de los parámetros vamos a pinchar aquí te que recordemos que es los radiales que estamos midiendo en este último ejemplo y aleje de abajo vamos a llamar lgs y esto va a ayudar un haber o a simplificar las cosas un poco entonces cuando ese es igual a cero lo que vamos a estar variando es cs entre cero y dos pit así que ese permite estar en estos valores digamos aquí está pig aquí esta pyme dios y aquí va a estar 3 y medios y hacemos lo mismo con el eje te que vamos a ir de 0 a 2 vi aquí está de 0 a 2 pi y lo que quiero realmente es visualizar la parametrización que creo que va a ser algo muy sencillo así que aquí va a estar pig aquí está y medios aquí va a estar 3 pyme dios 3 pyme dios y vamos a pensar en lo que parece cuando tenemos alguno de los parámetros constantes digamos que ese es cero entonces cuando ese cero tenemos todos estos posibles valores parate que van entre 0 y 2 y así si lo piensas debe ser una curva en tres dimensiones verdad estamos dejando fija ese por lo tanto nuestra parametrización sólo varía en un parámetro que entonces no representará una curva así que si pintamos aquí los ejes x elegí y luego el eje z ok el eje z ok un poquito derecho vamos a hacerlo más grande mejor creo que ayudará a todos nosotros a visualizarlo así que pintemos más grande el eje x luego vamos a pintar más grande elegí y finalmente el eje z y sube de esta forma muy bien ahora recuerdo cuando ese es igual a cero ok quién era ese vamos a retomarlo ese era el ángulo entre este radio y el plano x así que no hemos girado alrededor de esto en lo absoluto si ese es cero entonces ahora vamos a colocar el centro el centro del círculo que si recuerdan estaba a una distancia ave y además tenemos un radio que mi idea así que este segundo punto va a ser de más a esto es b y luego le sumamos a ahora vamos a rotar t era cuánto habíamos girado alrededor del eje z por lo tanto esta línea t que dibujamos en el espacio de los parámetros en nuestro sp además apearlo corresponde a una curva que ese esencialmente el borde de una circunferencia verdad es un borde de la rosquilla de la dona y para hacer mejor esto déjenme pintar los ejes también en su dominio tanto negativo ya había pintado los positiva los positivos perdón vamos a dibujar también los negativos así es entonces para esta línea nuestro plan no en el plano ts esto representa a una circunferencia entonces aumentamos los radiantes de 0 a 2 pi y entonces perdón aquí estamos dibujando hasta pig y luego damos otro pyme dios y finalmente damos toda la vuelta que corresponde a dos pig girando alrededor del eje z como nos indica el parámetro t y manteniendo a ese constante ahora vamos a hacer otro punto vamos a decir digamos cuando ese es igual a pig ok entonces vi recordemos que 180 grados entonces en este dibujito el ángulo ese corresponde a este punto de acá y vamos a mantenerlo constante en ese igual aquí vamos a tomar el interior de los anillos ya verán porque cuando ese es igual api en nuestro espacio ese combate es fijar eso y ahora nos fijamos en este punto de por acá que si el centro es ve el punto en amarillo que pinte corresponde a b - a ahora aquí en el espacio st dejamos fijó ese en pi y corresponde a una línea ahora esta línea corresponderá a una circunferencia parametrizado da en el espacio tridimensional a algo así verdad fue mi mejor intento al al introducirlo y así podemos hacerlo múltiples veces podríamos hacerlo incluso con distintos colores por ejemplo cuando ese es igual a ti entre dos es decir tenemos 90 grados correcto y a continuación lo que tengo hallamos es digamos la tapa superior olé el círculo superior de nuestra zona entonces digamos que podríamos empezar por aquí en este punto amarillo y cuando ese es mi medios lo que vamos a variar este entre 0 y 2 vi tengo muchos problemas para pintar líneas rectas así que al al variar te lo que tendríamos es la parte superior de estos círculos digamos estas secciones circulares y lo que nos va a dar variando todo te es este círculo superior que va a ser algo así más o menos en la parte superior de nuestros anillos si estaba exacto si quería ser sólo la parte inferior de la dona pues simplemente tomaré la parte donde ese es igual a tres y medios 3 y medios tomamos esta línea y entonces corresponde al círculo inferior justo ahí ok a lo mejor no se alcanza a ver todo si esto fuera transparente bueno se podría localizar muy bien y al variar te tendremos este círculo de que el gráfico se está volviendo un poco confuso espero que caché muy bien de la idea y cuando ese es igual a dos pit tendremos de nuevo los círculos que estamos pintando verdad cuando ese es igualados y tendremos el mismo círculo que cuando ese era igual a cero variando t ahora vamos a hacer lo contrario lo contrario perdón qué sucede si mantenemos de iguala 0 tengamos te iguala 0 muy bien entonces de iguala 0 significa que no hemos girado alrededor del eje z así que si te es igual a cero y ese lo empezamos a mover entonces tendremos una de las secciones transversales verdad aquí estamos pintando ese entre 0 y pyme dios ahora seguimos pintando en 30 perdón entre pyme dios y piti muy bien sumamos otros medios aquí estamos ya en la parte baja y terminamos el camino hasta dos pit esta línea este círculo corresponde en el este así de los parámetros a cuando te es igual a cero perfecto por ejemplo ahora cuando te es igual la vamos a hacer de un color diferente cuando te es igual a pyme dios dejamos fijo te iguala pyme dios entonces hemos dado una vuelta alrededor del eje z en un ángulo de pyme dios así que andaremos en esta circunstancia de por acá cuando vayamos ese esta línea en los parámetros corresponde al círculo azul y lo podríamos seguir haciendo para cuando desigual api tendremos este mismo camino pero en otra posición digamos sería en este lado verdad habiéndole dado media vuelta al eje z muy bien variando todo esto entonces estaríamos rellenando toda la zona verdad claro ahora este color digamos morado es cuando te es igual a tres y medios y estaríamos justo sobre el eje x verdad en el eje x y de hecho es en el plano xz aumentamos s y nos da otro circuito igual a los anteriores y por supuesto cuando llegue a ti igualados pi y abre recorrido todos los círculos y empezamos nuevamente así que podemos oscurecer un poquito más para que se vea que es lo que estamos haciendo hasta ahorita no hemos hecho matemáticas realmente sólo hemos hecho visualización de qué es lo que queremos en un sentido de parametrizar con dos parámetros nuestra superficie y sólo para tener una ligera idea de lo que estas áreas en el espacio st corresponden en la superficie en lo que supongo que se podría decir en en el espacio de tres dimensiones estapé que este pequeño cuadro de aquí que está acotado digamos por ese entre pyme dios ése está perdón es está entre 0 y pyme dios y te también entre 0 y pyme dios entonces a qué corresponde estamos moviéndonos en ese entre pyme dios 0 y pyme dios que es esta parte del toro vamos a moverlo así es esta sección verdad porque también te lo estamos variando entre 0 y medios es decir se está viendo desde la parte digamos superior más o menos se vería de esta forma verdad entonces puedes imaginarte que hemos trazado esta parte del área del de la superficie matemáticamente no ha demostrado nada pero bueno sólo quiero que lo visualizan por ahora ahora creo que hemos hecho una muy buena perspectiva de lo que es parametrizar realmente estaremos listos para parametrizar formalmente esta superficie vamos a tomar ese que es girar alrededor o más bien separarnos del plano xy y te va a ser gira alrededor del eje z y así vamos a terminar como parametrizar esta superficie ambos parámetros estarán entre 0 y 2 pi y lo convertiremos en una superficie en tres dimensiones muy bien vamos a tener una posición vectorial y lo haremos en el siguiente vídeo