Derivadas parciales de funciones con valores vectoriales

tenemos una función vectorial r que depende de dos parámetros digamos aceite y que es igual a una función x que depende de aceite que multiplica el vector unitario en la dirección del eje x más una función que depende de aceite y que multiplica nuestro vector jota que es el vector unitario en la dirección del eje y y que le sumamos z de aceite que multiplica el vector k que es el vector unitario en la dirección z ahora ya que tenemos esta función definamos o pensemos que significa tomar la derivada parcial de esta función vectorial con respecto de uno de los parámetros s o te creo que es muy natural no hay no hay nada raro en esta definición ya hemos tomado antes derivadas parciales de funciones no vectoriales cuando sólo cambia una de las variables verdad solo la tomamos respecto de esa variable y la otra la consideramos constante haremos eso aquí así que vamos a hacer este procedimiento simplemente tomando la derivada parcial de cada uno de los términos muy bien así que vamos a definir la derivada parcial la derivada parcial de r respecto de s lo vamos a hacer con s después podemos cambiar el papel de s por la t y si se obtiene el mismo resultado así que lo definimos como ya es usual con el límite cuando delta s se aproxima a 0 de r d s + delta ese combate porque solo buscamos este límite verdad tomamos la t constante así que y bueno ahora que hay que hacer ahora hay que restar r de st y dividir todo esto entre delta s todo sobre delta s muy bien muy bien ahora con un poquito de álgebra aquí podemos ver que r como función de ese más delta ese combate me es esta función y luego habría que restarle la función era que ya habíamos definido pero rds más delta ese son las componentes evaluadas en ese más de alta ese así que déjenme reescribir esto rápidamente esto es el límite cuando delta s se aproxima a 0 de primero las componentes en x x de ese más delta ese combate menos x de ese combate que restar la componente de rds más delta ese combate le restamos x de st que es la componente en x de r y eso lo dividimos entre delta s y lo multiplicamos por y ahora de forma análoga escribimos ya que depende de ese más delta s t y le restamos le restamos de ese combate y lo dividimos entre delta s ahora finalmente hay que multiplicar por el vector unitario j ahora ya nada más nos falta la variable zeta que es zeta bs + delta ese combate menos zeta de ese combate y esto sobre delta s y ahora hay que multiplicar por nuestro vector unitario acá muy bien todo esto viene de la definición del límite sí sí y además de poner en vez de ese poner s más delta s verdad y agrupamos en los términos que requerimos con suerte a la vista salta que esto es la derivada parcial de x respecto de s verdad es la expresión de la derivada parcial de x respecto de ese como función o vectorial lo mismo para la función ley para la función zeta son las derivadas parciales de cada uno de estos que esas ya las hemos visto ahora esto por supuesto se convierte en un vector porque estamos multiplicando por los vectores unitarios verdad así que esta es la definición de las derivadas parciales comunes y corrientes que ya hemos visto y donde se toma el límite cuando delta s se aproxima a cero ahora esto será igual o bueno ese es exactamente el la derivada parcial de x respecto de s por y más la derivada parcial de y respecto de s por jota y finalmente sumamos la derivada parcial de z respecto de s por k así que finalmente sólo resultó de derivar respecto de s cada una de las entradas ahora lo que voy a hacer aquí va a resultar un poco raro es es para obtener buenos elementos de las herramientas para vídeos de integrales de superficie así que lo que haré en adelante es algo pseudo matemático porque realmente las diferenciales son algo bien difícil de definir rigurosamente pero nos da una intuición de qué es lo que está pasando así que esto de aquí esto que de esta línea que estoy siguiendo no se encuentra en libros de matemáticas usuales en realidad si algún matemático me ve haciendo esto bueno yo creo que me puede pegar pero esto va a servir para crear la intuición de lo que vamos a hacer en la integral de superficie ok todo esto que tenemos aquí es igual lo voy a poner como r de ese más de ese una diferencial de ese que es un cambio muy pequeño en ese y le restamos r de ese combate entre de ese que es insisto un pan un cambio pequeños y mishima y sí mismo de ese lo podemos escribir de este modo así que tomando el límite cuando delta s se aproxima a cero es como tomar una una diferencial de s es decir un cambio súper súper súper chiquitito verdad así que por ejemplo cuando alguien escribe la derivada de ella respecto de xy digamos que esto fuera 2 y entonces como como si fueran números multiplicamos por una de x de ambos lados y entonces lo que resulta es que vélez es igual a 2 de x verdad lo que me imagino yo es como si fuera un cambio infinitamente pequeño de y pues resulta que es dos veces el cambio en x verdad un cambio igualmente pequeño en x y esto es bueno si si se tiene un cambio súper pequeño de x el cambio de lleva a ser siendo muy pequeño pero va a ser el doble en general yo veo los diferenciales como cambios muy pequeños en una variable ahora dejando de esto a un lado y al explicarte lo que lo que haría enojar a muchos matemáticos por lo que escribí espero que te dé un poco de digo desde certeza de que no es una locura que yo me inventé lo que quiero decir es que si delta s se aproxima a cero podemos pensar a de s la diferencial de s como un cambio infinitesimal muy pequeño entonces ahora sí que sucede a la izquierda lo que tenemos es la derivada parcial de r respecto de ese correcto muy bien ahora esto lo voy a escribir en rosado déjenme ponerlo como si multiplicará por 10 y baja por la diferencial de s esto será igual bueno va a resultar igual si multiplicamos del lado derecho por de s esta cosa pues va a desaparecer así que simplemente nos queda r&b s más la diferencial de ese combate - r ese combate y vamos a encerrar esto en un recuadro esto nos va a resultar muy valioso para el próximo vídeo vamos a pensar en lo que esto significa para visualizarlo en una superficie como lo puedes pensar esto de aquí es un vector tienes dos funciones vectoriales y tomamos la resta así que esto va a ser de gran ayuda para el próximo video con las integrales de superficie con el mismo razonamiento podemos hacer lo mismo con t verdad definimos la parcial dibujo voy a hacerlo de forma pequeña la derivada parcial respecto de t de r ok mejor con otro color digamos naranja la parcial de r respecto de t pues va a ser igual al límite cuando del tate se aproxima a 0 de lo mismo r s coma temas del tate bueno lo mismo pero cambiando el papel de ese conte menos rds combate sobre del tate es decir dejamos fijo ahora ese y lo que hacemos es un cambio en t muy bien dividimos entre delta t así que esto es la derivada parcial de x respecto de temas la parcial de ayer respecto de temas la parcial de zeta respecto de teito y todos ellos multiplicando a sus vectores correspondientes y con el mismo argumento llegamos al mismo resultado pero en términos de t así que si hacemos las mismas pseudo matemáticas pues obtendremos que la parcial de respecto de t por de la diferencial de t será igual donde insisto la diferencial de t es un pequeñísimo cambio ente será rds coma temas la diferencial de t - r de s t muy bien así que marquemos estas dos cosas en el próximo vídeo vamos a visualizar lo que quiere decir cada uno de ellos en ocasiones cuando hace un poco de matemáticas tontas como estas dice bueno y todo esto se vale no olvides que estamos tomando derivadas respecto a cada una de las variables juguemos un poco con todo esto para ver que estos dos nos van a resultar muy valiosos para lograr intuición se ven las integrales de superficie