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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4
Lección 7: Integrales triplesIntegrales triples
Las integrales triples son el análogo de las integrales dobles para tres dimensiones. Son una herramienta para sumar infinitas cantidades infinitesimales asociadas con puntos de una región tridimensional.
Antecedentes
Asegúrate de que tienes bases sólidas en integrales dobles antes de leer esto. La principal dificultad en la comprensión de las integrales múltiples es saltar del concepto de integración único al de doble integración. Después de eso, como en el caso de integrales triples, la mayoría del esfuerzo mental es para aplicar los mismos principios a situaciones que son un poco más difíciles de visualizar.
Qué vamos a construir
- A riesgo de sonar obvio, las integrales triples son como integrales dobles, pero en tres dimensiones. Están escritas de manera abstracta comodonde
- Concretamente, estas se calculan como tres integrales anidadas:Al igual que con las integrales dobles, los límites de las integrales interiores podrían ser funciones de las variables externas. Estas funciones acotadas son lo que codifica la forma de
- Usa una integral tridimensional cada vez que tengas la sensación de querer despedazar una región tridimensional en infinitos pedazos, asociar cada pedazo con un valor y luego sumar todo. Esto es sorprendentemente útil para encontrar el volumen de regiones tridimensionales al sumar todos los mini volúmenes
- Como con las integrales dobles, la parte difícil es encontrar los límites adecuados que codifican la región. Esto solo toma algo de práctica y el deseo de arremangarte la camisa y sumergirte en la suciedad de un problema.
Ejemplo 1: prisma rectangular con densidad variable
Supón que tienes un bloque de metal en forma de un prisma rectangular con dimensiones
En concreto, se coloca el bloque de tal manera que
- Una de las esquinas está en el origen.
- Uno de sus bordes de longitud
- Uno de sus bordes de longitud
- Uno de sus bordes de longitud
Digamos que su densidad en cada punto se da mediante la función
(El símbolo griego
Pregunta: ¿cuál es la masa de todo el bloque?
Como con otros problemas de integración, empezamos por imaginar que cortamos esta región en muchos pedazos pequeños. A diferencia de las integrales ordinarias, donde cortas una línea para obtener pequeños trozos de longitud
Concretamente, la forma en la que podrías imaginar cortar este bloque en pedazos minúsculos es rebanándolo en tres direcciones:
- Cortarlo con planos que representen valores constantes de
- Cortarlo con planos que representen valores constantes de
- Cortarlo con planos que representen valores constantes de
Como
Donde
Cada pedazo será un pequeño prisma rectangular con longitud de lado
Creo que es importante pensar siempre en por qué
Poniendo todo esto junto, la masa de uno de nuestros pedazos pequeños es
Para sumar todas estas masas pequeñas, planteamos una integral triple, con una integral para cada dirección del eje de coordenadas.
Observa que los límites de la integral interior reflejan los valores de
Verificación de conceptos: resuelve esta integral triple. Como sugerencia, puedes mantener las cosas relativamente ordenadas si factorizas los términos de las integrales interiores tanto como puedas.
Al hacer estos cálculos, puede ser fácil perder de vista lo que representan.
- Puedes pensar que la integral más interior suma pequeñas cantidades de masa sobre rectas paralelas al eje
- En la integral siguiente, que es con respecto a
- Finalmente, la integral exterior suma las masas de estas láminas mientras
Ejemplo 2: utilizar una integral triple para calcular el volumen.
Has visto cómo las integrales dobles pueden usarse para encontrar el volumen debajo de la gráfica de una función de dos variables. De hecho, si eres lo suficientemente inteligente, probablemente para la mayoría de las regiones podrías encontrar una forma de calcular el volumen usando algún tipo de integral doble.
Recuerda, la razón por la que se puede calcular el volumen con integrales dobles es que las integrales toman pedazos pequeños en el plano
Con las integrales triples, contamos con una herramienta más fuerte que puede ir sumando pequeñas unidades de volumen a través de toda una región. Y si no hubiera otra razón, hacer esto puede ser muy buena práctica para poner límites en una integral triple sin hacerse bolas con la función interior.
Por ejemplo, considera la región
- El paraboloide
- El plano
Estas dos superficies se ven así:
Y aquí está la región tridimensional
Para encontrar su volumen, empezamos por configurar una integral aparentemente sencilla para sumar el volumen de todas los pedazos pequeños en los que podrías cortar esta región.
Toda la dificultad radica en establecer los límites correctos de estas tres integrales para codificar con precisión la región
De la definición de
Puesto que los límites de
Pero, ¿qué ponemos para los límites de las dos integrales exteriores? ¿Qué tan lejos pueden ir
Ahora imagina proyectar toda la región
El lazo rojo que marca la intersección entre
Esto es de forma visual, pero para encontrar la descripción analítica de la curva, escribe las ecuaciones que definen cada una de nuestras dos dos superficies e iguálalas entre sí:
Al completar el cuadrado para
Verificación de conceptos: ¿qué forma describe esta ecuación?
Para describir los límites de
Codificamos el hecho de que la posición vertical de las rayas va de
Los límites de
Esto significa que la integral final tiene este aspecto:
¿No es eso absurdo? Bienvenido al mundo de las integrales triples.
Como recordatorio, es muy importante escribir los términos de la diferencial en el orden correcto, en este caso, el orden es
La habilidad principal para practicar aquí es escribir la integral, como lo hemos hecho ahora. Ya después, se puede resolver con una computadora. Pero si quieres practicar una de estas integrales triples por ti mismo, adelante. Esta integral en particular se resuelve bastante rápidamente.
Ejemplo 3: volumen de una región cónica
Problema: escribe una integral triple que represente el volumen de una región
Así es como se ve esta región:
"Pero espera,"
te escucho decir,
"¡ya sé cómo calcular el volumen de un cono!"
Esta bien, pero ver cómo encontrar ese volumen con una integral triple será una buena forma de estirar nuestros músculos integrales.
Verificación de conceptos: la región
Verificación de conceptos: dadas las dos restricciones que definen nuestra región,
Verificación de conceptos: con base en la respuesta a la pregunta anterior, ¿cuál de las siguientes describe la región en el plano
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes muestra la manera correcta de calcular nuestra integral de volumen?
Resumen
- Las integrales triples se escriben de forma abstracta comodonde
- Concretamente, estas se calculan como tres integrales anidadas:Como con las integrales dobles, los límites de las integrales internas pueden ser funciones de las variables exteriores.
- Usa una integral tridimensional cada vez que tengas la sensación de querer despedazar una región tridimensional en infinitos pedazos, asociar cada pedazo con un valor y luego sumar todo. Esto es sorprendentemente útil para encontrar el volumen de regiones tridimensionales al sumar todos los mini volúmenes
- Como con las integrales dobles, la parte difícil es encontrar los límites adecuados que codifican la región. Esto solo toma algo de práctica y el deseo de arremangarte la camisa y sumergirte en la suciedad de un problema.
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Hola,
felicidades por la explicación. Me ha parecido simplemente perfecta.
Quizás sean cuestiones del idioma, pero me ha sido un poco difícil diferenciar entre "el área interior de un círculo" y "círculo", puesto que la palabra círculo lleva implícito el concepto área. Para referirse al contorno, la palabra "circunferencia" no ofrece ambigüedad. Un saludo y gracias!(7 votos)- Buen día, mil gracias por el material. Quisiera saber en que programa hacen las simulaciones, especialmente la proyección de la superficie en xy.(3 votos)
- disculpen me podrían dar la bibliografía de donde sacaron los ejercicios ?(2 votos)
- Hola, en la primera integral del ejemplo 2, en dz ¿Cómo sabemos cual es el ímite inferior y cual es el superior? digo análiticamente hablando, ya que mirando la gráfica es muy facil verlo(2 votos)
Es que te están dando las delimitaciones del espacio R por medio de superficies en Z, no tienes que analizar nada, las delimitaciones ya están dadas. La otra es que trabajes las superficies en términos de X o de Y, y proyectes en algún plano ya sea XZ o YZ de modo que puedas trabajar los intervalos de Z analíticamente, pero es más demorado.(1 voto)
- Saludos, Habra alguna generalizacion para la integral de linea? Me explico, he visto en libros de fisicas y matematicas algunas integrales dobles y triples con bolitas en medio de su notacion. O sea, es algo asi que parecido a una integral de linea solo que con integrales dobles y triples. Que significa eso? Porque en una integral de linea normal esto quiere decir que la curva es cerrada, pero en una integral doble o triple, que significa?(1 voto)
- ola les agradecería si me dicen que métodos empleo para determinar los limites de una integral triple(1 voto)
- Hola, lo primero mi mas sincera enhorabuena por las explicaciones, me resulto muy sencillo a diferencia de en mi libro de texto. Lo segundo creo que podria haber una errata en la comprobacion que habla sobre el conjunto de puntos que delimita una curva 0=2-(x^2+y^2)^(1/2) la curva no deveria ser con z^2 en vez de con y^2? si el que sse equivoca soy yo alguien me podria explicar por que gracias.(1 voto)