Integrales triples 1

digamos que quiere encontrar el volumen de un cubo en donde los valores de este cubo son x es mayor o igual a 0 y menor o igual a 3 lleva a ser mayor o igual a 0 y menor o igual a 4 y aceptan va a ser mayor o igual a 0 y menor o igual que 2 yo sé que si ustedes han visto geometría básica pueden calcular el volumen de este cubo multiplicando la profundidad por la altura por lo largo pero quiero hacer este ejemplo para que ustedes se acostumbren a ver cómo luce una integral triple ahora vamos a dibujar este volumen vamos a dibujar un eje este es mi eje y eje de mi eje z y mi eje x aquí voy a poner las letras este es el eje x y y ceta así que x va a estar entre 0 y 3 así que vamos a dibujar los más o menos por acá 1 2 3 y es de 0 a 4 así que el x está un poquito por acá esta es como que la base de nuestro cubo z está entre 0 y 2 así que tenemos 12 aquí sería la parte superior del cubo y lo vamos a dejar en otro color diferente para que se note mejor estoy de más o menos para acá en el eje x y desde a por acá el límite está aquí aquí está la otra cara y unimos esta última así que queremos calcular el volumen de este cubo sabemos que la profundidad es 3 el ancho es de 4 así que 3 por 4 12 estar es de 12 y lo multiplicamos por la altura que la altura es 2 entonces 2 por 2 24 podemos decir que el volumen es de 24 unidades cúbicas pero ahora vamos a hacerla como una integral triple como lo hacemos lo que podemos hacer es tomar el volumen de una porción muy pequeña no quiero decir área porque será un poco contradictorio así que digamos que quiero encontrar el volumen de un cubo muy pequeño eso lo vamos a encontrar más útil cuando comencemos a ver límites variables y áreas y superficies como límites pero digamos que queremos calcular el volumen de este pequeño cubito de aquí este es mi pequeño cubo que es más pequeño que este cubo rectángulo o como lo quieran ver cuál es el volumen de este como vamos a decir que su ancho es de de esta porción es de su altura es de x bueno nos de hecho se los estoy diciendo al revés la altura es en el eje z así que esta parte será de x y la altura es de z así que podemos decir que el volumen de este pequeño cubo que le llamamos dv o que es el volumen diferencial va a ser igual o el ancho por el alto por la profundidad de x de jay-z el orden no importa ya saben que la multiplicación puede darse en cualquier orden pero qué es lo que podemos hacer con esto aquí bueno podemos tomar la integral todo lo que las integrales nos ayudan es a realizar sumas infinitas de entre pequeñas distancias como esta de zeta de x o de ella así que lo que podemos hacer es tomar este cubo y primero hacer la sumatoria digamos que en la dirección de zeta tomamos el cubo y lo agregamos en el eje de arriba hacia abajo para poder obtener el volumen de esta columna y como se va a ver esto como vamos a tomar la suma en la dirección de zeta vamos a tener una integral digamos cuál es el valor más chico de nuestro eje z cuando z es igual a 0 y el valor superior vamos a llegar hasta el valor de 2 hasta que z es igual a 2 y por supuesto se va a tomar la suma estas vez primero de zeta qué es la integral con respecto a z y después vamos a hacer la integral con respecto ayer y por último la integral con respecto a x así que esta integral este valor como lo he escrito aquí nos va a dar el valor de una columna dado son unas x 10 ya que esto es una función de x siguiente pero estamos trabajando con todas las constantes aquí así que va a ser un valor constante del volumen de una de estas columnas que esencialmente será dos veces de x porque la altura de una de estas columnas es 2 y su ancho y profundidad es de x de ella y ahora podemos tomar esas columnas y moverlas en la dirección x bien para hacer las sumas del volumen total para hacer la suma de la dirección xy hacemos otra integral similar a esto pero ahora en la dirección y la dirección y el rango de lleva de 0 hasta 4 así que bueno aunque sea un poquito medio extraña está integral aquí hasta la izquierda desde que ya es igual a 0 hasta que ya es igual a 4 y esto nos da el volumen de una hoja que es paralela al plano detalle y ahora lo único que nos resta hacer es agregar varias de estas hojas en la dirección x para poder ahora sí tener el volumen de nuestra figura total así que agregamos a estas hojas con otra integral en la dirección x desde x igual a cero hasta x igual a 3 y para evaluar esto pues es algo bastante directo primero vamos a realizar la integral con respecto a z como aquí no tenemos nada escrito en esta parte así que podemos asumir que esto es un 1 ya que esto es lo mismo que deserta por d por de x que uno por de por de z por de x así que cuál es el valor de esta integral bueno la anti derivada de 1 con respecto a z es zeta así que esta es eta y esto lo vamos a evaluar desde 2 a 0 y nos queda 2 - 0 nos queda 2 la integral de 2 desde que es igual a cero hasta que ella es igual a 4 de ella y tenemos la integral mx desde x 0 a x igual a 3 de x y noten cuando integramos con respecto a z terminamos con una integral doble esta integral doble es exactamente la misma que hubiéramos hecho en los vídeos anteriores cuando hablábamos de integrales dobles en donde decíamos que z estaba en función de x y z es una función de x y xi y que es igual a 2 es una función constante independiente de xy pero si definimos z de esta manera tenemos que encontrar el volumen bajo esta superficie donde la superficie de zeta es igual a 2 ésta es la superficie de zeta igualados y terminamos con esto como ven lo que hacemos con las integrales triples no es en absoluto diferente y ustedes se pueden preguntar bueno para que las estamos haciendo entonces y se los mostré en un momento aquí vamos a tomar la anti derivada con respecto ayer y nos va a quedar 2 a ver permiten bajar un poquito para tener más espacio 2 evaluada de 0 a 4 nos queda 2008 - 0 nos queda 8 con la integral de 0 a 3 de x esto va a ser 8 x x evaluado en 0 y en 3 8 por 3 24 así que serán 24 unidades cúbicas sé que aquí la pregunta más obvia es para qué nos sirve esto bueno cuando se tienen valores constantes simplemente se pudo haber hecho una integral doble pero qué tal si yo les hubiera dicho que nuestro objetivo no era calcular el volumen sino la masa de este objeto y aún más que la masa de este esta área o de este espacio de volumen no es uniforme la masa de aquí no este uniforme no estaba uniformemente distribuida si fuera uniformes podríamos simplemente multiplicar su densidad uniforme por su volumen para obtener la más pero digamos que la densidad también puede ser nos el volumen de algún gas o algún material con diferentes compuestos en él así que digamos que de su densidad es una función variable de x y z entonces la densidad que es esta letra row que parece una p pero es la letra que normalmente se usa en la física para expresar densidad es una función de xy de iu y de zeta y vamos a hacerlo simple vamos a decir que es igual a equis por james por zeta si quisiéramos calcular la masa de cualquier volumen pequeño sería ese volumen multiplicado por la densidad porque las unidades de densidad kilogramos por metro cúbico si multiplicamos esto por un metro cúbico nos queda kilogramos así que podemos decir que la masa voy a escribir aquí en notación de masa bueno mejor eso no es una función mejor lo escribo de otra manera y la diferencial de la masa de una masa muy pequeña va a ser igual a la densidad en ese punto x etc multiplicado por el volumen de esa pequeña masa y ese volumen ese pequeño volumen lo podemos escribir como de ve y nosotros sabemos que debe es igual a decir que es el ancho por el alto por la profundidad este volumen no siempre tiene que ser x por 10 por zetas podrían ser otras coordenadas como las coordenadas polares o algo ligeramente diferente y eso lo haremos eventualmente pero si queremos calcular la masa usando estas coordenadas sería la función de densidad en ese punto x nuestra diferencial de volumen x de x de jay-z así que cuando quieren calcular el volumen o más bien calcular la masa que sólo haremos en un vídeo posterior esencialmente vamos a tener que integrar esto esta función en oposición a lo que hicimos ahorita con el 1 integrado en z y x eso lo haremos en el siguiente vídeo y verán que simplemente se trata de hacer anti derivadas sencillas y evitar cometer pequeños errores nos vemos en el siguiente vídeo