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Transcripción del video

digamos que quiere encontrar el volumen de un cubo en donde los valores de este cubo son x es mayor o igual a cero y menor o igual a 3 lleva a ser mayor o igual a cero y menor o igual a 4 y se está va a ser mayor o igual a cero y menos igual que dos yo sé que si ustedes han visto geometría básica pueden calcular el volumen de este cubo multiplicando la profundidad por la altura por lo largo pero quiero hacer este ejemplo para que ustedes se acostumbren a ver cómo luce una integral triple ahora vamos a dibujar este volumen vamos a dibujar un eje este es mi eje ing ye mi eje z y me dije x aquí voy a poner las letras este es el eje x ye iceta así que x va a estar entre 0 y 3 así que vamos a dibujarlo más o menos por ahora cada uno dos tres ye es de 0 a 4 así que el x está un poquito por acá este es como que la base de nuestro okubo y se está entre 0 y 2 así que tenemos 12 aquí sería la parte superior del cubo y lo vamos a dejar en otro color diferente para que se note mejor estudiar más para acá en el eje x idea por acá el límite está aquí aquí está la otra cara y unimos a esta última así queremos calcular el volumen de este cubo sabemos que la profundidad de estrés el ancho es de cuatro así que tres por 42 estar es de 12 y lo multiplicamos por la altura que la altura es dos entonces por 224 podemos decir que el volumen es de 24 unidades públicas pero ahora vamos a hacer la comuna integra el triple como lo hacemos lo que podemos hacer es tomar el volumen de un una porción muy pequeña no quiere decir área porque se fajó contradictorio así que digamos que quiere encontrar el volumen de un cubo muy pequeño eso lo vamos a encontrar más útil cuando comencemos a ver límites variables y áreas y superficies como límites pero digamos que queremos calcular el volumen de este pequeño cubito de aquí este es mi pequeño cubo que es más pequeño que éste hubo rectángulo o como lo quieran ver cuál es el volumen de este cubo vamos a decir que su ancho es de ley e stá porciones de ye su altura es de x men o rechace la extradición al revés verdurez lgct así que esta parte será de x y la altura es de set así que podemos decir que el volumen de este pequeño cubo que llamamos debe o que es el volumen diferencial va a ser igual a lancho por el alto por la profundidad de x de jay z el orden no importa ya saben que la multiplicación puede darse en cualquier orden de pero qué es lo que podemos hacer con esto aquí bueno podemos tomarlo integral todo lo que las integrales nos ayudan a realizar sus infinitas cne entre pequeñas distancias como ésta dzd x o de ella así que lo que podemos hacer es tomar este cubo y primero hacer la sumatoria digamos que en la dirección de zeta tomamos el cubo y lo agregamos en el eje de arriba hacia abajo para poder obtener el volumen de esta columna y cómo se va a ver esto como vamos a tomar la suma en la dirección de zeta vamos a tener una integral díganos cuál es el valor más chico de nuestro eje z cuando se te es igual a cero y el valor superior vamos a llegar hasta el valor de 2 hasta que se está es igual a 2 y por supuesto se va a tomar la suma de estas de es vamos a escribir primero de z que es la integral con respecto a z y después vamos a hacer la integra con respecto a ayer y por último la integral con respecto a x así que éste integral este valor como lo escrito aquí nos va a dar el valor de una columna dados unas x10 de que es una función de x y siempre estamos trabajando con todas las constantes aquí así que va a ser un valor constante del volumen de una de estas columnas que esencialmente será dos veces te lleve x porque la altura de una de estas columnas es 2 y su ancho y profundidad de xx y ahora podemos tomar esas columnas y moverlas la dirección x gent para hacer la suma del volumen total para hacer la suma de la dirección que sigue hacemos otra integral similar esto pero ahora en la dirección y la dirección llegue o el rango de lleva de cero hasta 4 así que bueno que sea un poquito me extraña esta integral aquí hasta la izquierda desde que llegó a hacer hasta que ya es igual a 4 y esto nos da el volumen de una hoja que es paralela al plano detalle y ahora lo único que nos resta hacer es agregar varias de estas hojas en la dirección x para poder ahora sí tener el volumen de nuestra figura total así que agregamos a estas hojas con otra integral en la dirección x desde x igual a cero hasta x igual a 3 y para evaluar esto pues es algo bastante directo primero vamos a realizarla integra con respecto a zeta aquí no tenemos nada escrito en esta parte así que podemos asumir que esto es un 1 ya que esto es lo mismo que desee está por de ye por dx que uno por deie por receta por de x así que cuál es el valor de esta integración bueno la antidiva de 1 con respecto a zeta ceta así que ésta es eta y esto lo vamos a evaluar desde dos a cero y nos queda 2 - 0 nos queda dos la integral de dos desde que llegué es igual a cero hasta que llegó a la 4 de yee y tenemos integral en x desde x igual a cero aquí es igual a tres de x y noté cuando integramos con respecto a zeta terminamos con una integral doble este integral doble es exactamente la misma que hubiéramos hecho en los videos anteriores cuando lo hagamos integrales dobles en donde decíamos que se está en función de xy llegue z es una función de xy jem y que es igual a 2 es una función constante independiente the xx pero si definimos z de esta manera tenemos que encontrar el volumen bajo esta superficie donde la superficie de z es igual a 2 ésta es la superficie de z igualados y terminamos con esto es como ver lo que hacemos con las integrales triples no es en absoluto diferente y ustedes lo pueden preguntar para qué les estamos haciendo entonces hice los mostraré en un momento aquí vamos a tomar la entidad privada con respecto a pie y va a quedar dos llegué a ver permite bajar un poquito para tener más espacio 2 lee evaluada de 0 a 4 nos queda 2 x 0 08 - 0 los que ocho son integrales 0 a 3 de x eso hacer 8 x x evaluado en cero y en 38 por 324 así que serán 24 unidades cúbicas sé que aquí la pregunta más obvia es para que él nos sirve esto bueno cuando se tienen valores constantes simplemente se pudo haber hecho una integral doble pero qué tal si yo les hubiera dicho que nuestro objetivo no era calcular el volumen sino la masa de este objeto y aún más que la masa de este de esta área de este espacio de volumen no es uniforme la masa de que no es uniforme no está uniformemente distribuida se fuera uniformes podríamos simplemente multiplicar su densidad uniforme por su volumen para obtener la masa pero digamos que la densidad cambia puede sernos el volumen de algún gas o algún material con diferentes compuestos en él así que digamos que su densidad es una función variable de x y y z entonces la densidad que esta letra rob que parece una p pero la letra que normalmente se usa en la física para expresar densidad es una función de xy llegue y dz y vamos a hacerlo siempre vamos a decir que es igual a x porsche porsche está si quisiéramos calcular la masa de cualquier volumen pequeño sería ese volumen x la densidad porque las unidades de densidad kilogramos por metro cúbico si multiplicamos esto por un metro cúbico nos queda kilogramos así que podemos decir que la masa voy aquí escribir aquí en notación de demás a lo mejor eso no es una función mejor escribo de otra manera la diferencia al de la masa de una masa muy pequeña va a ser igual a la densidad en ese punto x y z x el volumen de esa pequeña masa y ese volumen pequeño volumen no podemos escribir como de y nosotros sabemos que debe es igual a decir que es el ancho por el alto por la profundidad este fenómeno siempre tiene que ser x porque por zetas podrían ser otras coordenadas como las coordenadas polares o algo ligeramente diferente y eso lo haremos eventualmente pero si queremos calcular la masa usando estas coordenadas sería la función densidad en ese punto x nuestra diferencial de volumen x dx de jay z así que cuando quieren calcular el volumen o más bien calcular la masa que sólo haremos en un vídeo posterior esencialmente vamos a tener que integrar esto esta función en oposición a lo que hicimos hábitat con el 1 integrado en zeta ye y x eso lo haremos en el siguiente vídeo y verán que simplemente se trata de hacer anti derivadas sencillas y evitar cometer pequeños errores nos vemos en el siguiente vídeo