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Transcripción del video

vamos a resolver otra integral triple y en esta ocasión no voy a evaluar la integral lo que vamos a hacer es definir la integra el triple de manera similar a como lo hicimos en el vídeo anterior en el segundo video en donde encontramos la masa usando la densidad pero lo que quiero hacer en este vídeo es mostrarles cómo calcular los límites cuando éstos son más complicados y también cómo cambiar el orden de la integración así que vamos a decir que yo tengo la superficie eso lo estoy inventando 2 x + 3 z más ye que todo esto es igual a 6 vamos a dibujar esa superficie voy a comenzar haciendo mis gestos condenados mixe x mi eje z y me dije si les pongo sus flechitas y sus etiquetas x jay z y voy a tener esa superficie en el octavo ante positivo ya que cuando estamos hablando de tres dimensiones no tenemos cuatro cuadrantes sino 8 oct antes y nos interese lo tanto en el que tanto la x ley y las setas son positivos aunque cuál es el punto en x cuando llegué y setas un 0 2 x va a ser igual a 6 por lo tanto x va a ser igual a 6 entre 2 3 123 aquí va a estar la x el punto en chile es cuando los otros dos ejes van a estar en cero por lo tanto lleva a ser igual a 6 1 2 3 4 5 6 y finalmente el punto en zeta cuando x y jenson iguala 0 3 z va a ser igual a 6 por lo que se está a 6 entre 3 va a ser igualados así que la superficie que me interesaba a lucir así más o menos a este plan y está inclinado a una superficie inclinada 1 este otro punto y estos dos los unimos al final ésta es la superficie definida por esta función y digamos que me interesa el volumen y lo voy a hacer aquí un poco más complicado porque podríamos decir bueno es el volumen entre esas superficies el volumen que me interesa es lo que está por encima de esa superficie hasta el valor de 7 igual a dos así que el volumen que nos interesa va a lucir un más o menos así vamos a ver si podemos dibujar lo voy a proyectar el valor requiere llegue hasta el punto de z igualados más o menos voy a poner la parte de arriba en otro color diferente para que se distinga así que esto es entre el plano detalle y ahora voy con x más o menos en éste este punto es la parte más difícil hacer el dibujo de estos segmentos así que esto es la línea que está en el plano x eta y tenemos otra línea que conecta estos dos puntos este triángulo verde es parte del plan o al que le quiere encontrar el volumen ni lo que podemos hacer es notar que el volumen que nos interesa es el que se encuentra entre este triángulo amarillo y el triángulo verde va a ser el volumen entre ellos vamos a ver si lo podemos hacer un poquito más claro porque aquí la visualización quizás está un poquito difícil aquí tenemos una un muro frontal que lo voy a dibujar y magenta y en la parte de atrás va a ser ésta esté aquí y aquí hay otra pared y la base de esto va a ser este plano de nuestra función es lo que estoy sufriendo aquí en rojito bueno no sé si lo compliquen más haciendo este dibujo pero bueno espero que hayan captado la idea vamos a hacer nuestro mejor intento así que si queremos incalculable valor pero bueno pensándolo bien si de todas maneras vamos a trabajar con integrales triples pues por qué no mejor calcular la masa de esto en lugar del volumen y que además que tenga una densidad variable así que digamos que la densidad en este volumen que acabamos de definir dx10 eta en ese punto que puede ser cualquier cosa este no es el objetivo que les quiero enseñar aquí va a ser x al cuadrado porque por zeta la primera cosa que yo quiero hacer que quiero visualizas es ubicar un pequeño cubo dentro de este volumen vamos a hacerlo en un color que se note si tuviera un cubo vamos a ponerla kim este colorcito si yo tuviera un cubito aquí en el volumen que estoy considerando este cúbito lo consideran debe o la diferencia en el volumen debe es la diferencia en yale no voy a poner otro color en verde deie x la diferencia en x de x x la diferencia lanceta receta y si queremos la masa de este juego vamos a multiplicar la densidad por esa diferencia de volumen así que la masa de m vamos a abreviar la diferencia de la masa va a ser igual a esto multiplicado por esto x cuadrada de z x esto deie dx y dz y normalmente no tenemos esto dependiendo de qué queremos integrar primero así que trataremos de hacerla vamos a hacerlo de la manera tradicional en los videos pasados integramos con respecto a aceptar así que vamos a hacer si vamos a integrar con respecto a z vamos a tomar este cúbito y vamos a sumar todos los cubos en el eje z los que van arriba y abajo que si hacemos esto cuál va a ser el límite inferior bueno cuando sumamos estos cubitos de arriba hacia abajo pues vamos a formar una columna cuál va a ser la base de esta columna pues va a estar en esa superficie de la superficie definida por esta función si queremos esa base en términos de zeta tenemos que resolver esto en términos de zeta vamos a despejar zeta así que aquí tenemos tres set a que es igual a 6 - 2 x - llegué por lo que se te va a ser igual a 2 - dos tercios de x menos entre tres esto es exactamente lo mismo que esto solamente que lo estamos definiendo en términos de z y sólo hemos manipulado algebraica mente el límite de abajo que lo pueden visualizar la base de estas columnas que van de arriba abajo todas estas columnas el límite inferior va a ser esto la superficie en términos de zeta es decir cuando se está es igual a 2 - dos tercios de x menos entre tres y cuál es el límite superior bueno la parte superior de las columnas va a ser este plano en verde y qué es lo que dijimos que era esto pues cuando se está es igual la voz qué es este plan es la superficie que estoy señalando acá donde se está es igualados y por supuesto cuál es el volumen de esta columna puedo hacer la función densidad x cuadrada porsche por zetas x la diferencia en volumen pero primero vamos a integrar con respecto a acepta y bueno vamos a ver ahora vamos a integrar con respecto al menos en los pasados vídeos integramos con respecto a ye así que ahora vamos a integrar con respecto a x vamos a poner aquí una de x así que ahora ya tenemos estas columnas que les llega con respecto a z obtenemos el volumen de estas columnas donde los límites superiores se encuentran en el plano vamos a ver si lo puedo dibujar un poquito mejor el límite superior es esa superficie verde y el inferior es el plano que está marcado por esta función definida que arriba pero ahora cuál va a ser el límite inferior con respecto a las x bueno esta superficie está definida en todo el camino hasta que x es igual a cero y si se confundan ustedes con esto que no es nada difícil cuando trabajamos en tratando de imaginar cosas en tres dimensiones ustedes pueden decir bueno ya hemos integrado con respecto a z y otras variables nos quedan con respecto a x y allí voy a dibujar la proyección de este volumen en el plano x6 que de hecho esto ayuda a simplificar las cosas así que permítanme quiere dibujar los ejes vamos a rotar esto de manera que nos quedan los ejes x y llegue la manera tradicional en que siempre los hemos visto dibujados les ponemos sus fechas y estás aquí ya quien y sus etiquetas x y llegué y este punto de acá que es bueno es x igual a tres así que dibujamos en el eje 1 2 3 aquí está el 3 y este punto es igual a 6 1 2 3 4 5 6 asik mlg quise o mejor dicho en el dominio xl esta es la proyección una forma de analizar esto es que bueno tenemos estas columnas que hemos integrado en el eje de la z de arriba abajo pero cuando lo estamos viendo desde arriba mirando en la dirección del plano x ye cada una de las columnas va a verse si la base de la columna se va a ver así imaginando que esta columna va a salir de sus pantallas así ustedes y la base de esta columna va a tener una de x y una de llegar aquí así que hemos decidido integrar con respecto a x vamos a agregar cada una de estas columnas en la dirección x así que la pregunta era cuál era el límite inferior al límite inferior aquí es cuando hay que es igual a cero y si hubiera una línea k entonces sería esta línea como función que llegue definitivamente será en función de ella así que hacemos está integral cuál es nuestro límite inferior pues cuando x es igual a cero y nuestro límite superior bueno nuestro límite superior está en esta relación pero en términos de x cuando se está es igual a cero y para encontrar esto pues tenemos que ver esta línea en esta función cuando se es igual a cero qué resultado nos da así que nos queda 2x más se iguala 6 y como estamos integrando con respecto a x entonces vamos a tener dos equis igual a 6 - x igual a 3 - entre dos así que nuestro límite superior va a ser igual a x igual a 3 - de entre dos y finalmente vamos a integrar con respecto ayer es la parte más fácil puede integramos con respecto x hicimos esta columna toda esta línea que va a ser la base de los que integramos en la dirección x ahora lo que vamos a hacer es integrar en la dirección de hielo de arriba abajo con respecto a ye así que cuál es el límite inferior de yes yes y buen hacer y el límite superior es muy sencillo es igual a 6 y aquí ya lo tiene esta lista integral triple para que suframos resolviéndola pero no lo haremos en este video ya que me he quedado sin tiempo y no quiero que rechacen este video así que lo dejamos acá nos vemos después