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Derivadas de funciones multivariables

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¿Qué significa derivar una función cuya entrada vive en un espacio multidimensional? ¿Qué pasa cuando su valor de salida es un vector? Aquí veremos muchas formas de generalizar la idea de derivada a dimensiones mayores, incluyendo las derivadas parciales, las derivadas direccionales, el gradiente, la derivada de un vector, la divergencia, el rotacional, etc.