El rotacional en dos dimensiones. Ejemplo

vamos a calcular el rotacional en dos dimensiones de un campo vectorial y el que tengo en mente es el siguiente vamos a poner como primera componente a que cubica menos 9 y como segunda componente o componente q verdad va a ser lo mismo pero con x x cúbica menos 9 x muy bien este es nuestro campo vectorial y en el vídeo anterior nosotros descubrir descubrimos cómo calcular el rotacional en dos dimensiones por supuesto para nuestro campo vectorial de verdad evaluado en el punto x y esto es tiene tiene una fórmula muy sencilla y es la derivada parcial de la de la segunda componente que es q con respecto de x menos la derivada parcial de p con respecto de g muy bien esa es la fórmula que nosotros descubrimos para calcular el rotacional y sólo para para que quede más o menos claro por si no recuerdas mucho de cómo hicimos esto si nosotros nos fijamos en este punto y tenemos una situación más - así en donde digamos la circulación de este fluido hace una rotación más o menos de este estilo cuando nos movemos en la dirección horizontal verdad estamos moviéndonos de izquierda a derecha la componente curva de negativo 0 a positivo entonces esto digamos la función que crece al incrementar x lo cual nos dice que esta derivada parcial es positiva en cambio cuando vamos de abajo hacia arriba es decir aumentamos en nuestra variable y vamos de positivo 0 negativo en la componente de verdad entonces esta derivada parcial dado que disminuye pues será negativo pero con este signo menos se vuelve positivo y por eso es que este ejemplo típico tiene rotacional positivo verdad pero bueno entonces fijémonos ahora en este caso particular fijémonos en la componente q verdad y vamos a calcular la derivada con respecto de x entonces al derivar respecto de x tendremos x cuadrada menos nueve verdad simplemente derivamos esto y ahora restamos lo que sea digamos la derivada de p con respecto de ya que esencialmente es lo mismo pero con de verdad 3 y cuadrada menos entonces aquí tenemos ya el valor del rotacional para este campo vectorial verdad y ahora vamos a tratar de interpretar lo que esto significa de hecho este campo vectorial es el mismo que te mostré en la animación cuando empezamos a desarrollar la intuición detrás del rotacional teníamos partes específicas donde el rotacional es positivo y donde el rotacional es negativo de hecho podemos ver en este caso porque tenemos valores positivos o negativos por eso escogimos en realidad este ejemplo verdad si vemos digamos cuando el rotacional es positivo esto se da cuando x es igual a 3 y ya es igual a cero así que volvamos aquí y pongamos justamente el caso en el que x es igual a 3 y qué es igual a 0 muy bien entonces en este caso qué es lo que ocurre si sustituimos estos valores tendremos 3 por 3 al cuadrado menos 9 y restamos 3 por 0 3 por 0 - 9 verdad entonces aquí tendríamos 3 por 9 esto sería 27 y si restamos 9 nos da 18 y luego restamos 3 por 0 0 menos 9 es menos 9 verdad con este menos 2 nos da más verdad más 9 y esto nos da 27 lo cual es un valor positivo verdad entonces si regresamos a la animación por eso es que vemos que en este punto la rotación se da en el sentido contrario a las manecillas del reloj muy bien entonces si ahora nosotros regresamos otra vez aquí y cambiamos el punto digamos ya no ya no será x igual a 3 ni igual a cero ahora lo cambiamos por equis igual a cero x igual a 0 y igual a 3 vamos a borrar todo esto borremos todo esto para que no nos vaya a distraer entonces si regresamos a la animación tenemos que aquí la rotación se da en el sentido de las manecillas del reloj verdad entonces esperaríamos que el rotacional fuera negativo así que vamos a calcularlo aquí tendríamos 3 x 0 al cuadrado verdad menos 9 y luego restamos 3 porque cuadrada que sería 3 por 3 al cuadrado menos 9 entonces tres por cero al cuadrado es cero verdad esto nos va a dar menos 9 menos 3 por 3 al cuadrado es 27 si le restamos 9 es 18 verdad entonces tendríamos menos 9 menos 18 y esto es menos 27 verdad entonces justamente tenemos un valor negativo regresando a la animación debido a que el valor del rotacional es negativo corresponde a que hay una circulación digamos en el sentido de las manecillas del reloj y si ponemos digamos en esta fórmula x igual a cero igual a cero pues entonces tendríamos menos nueve menos menos nueve que nos da justamente cero entonces en la animación vemos porque no hay rotación en general en el en el origen verdad y en realidad podríamos pensar en esta rotación para cualquier punto en el en el plano verdad solo hay que ponerlo en esta fórmula que hemos obtenido aquí y así podríamos saber digamos cuál sería la rotación alrededor de ese punto verdad y así que con esto puedes ver que en realidad es una herramienta muy poderosa verdad regresando a la animación si tenemos un flujo digamos muy complicado y te pidiera que me des un número que me dé la dirección general y la fuerza de rotación alrededor de cada punto bueno eso sería mucha información así que siempre es bueno tener una fórmula compacta a la mano