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Transcripción del video

vamos a calcular el rotacional en dos dimensiones de un campo vectorial y el que tengo en mente es el siguiente vamos a poner como primera componente a que kubica -9 llegue y como segunda componente o componente q verdad va a hacer lo mismo pero con x x kubica - 9 x muy bien este es nuestro campo vectorial y en el vídeo anterior nosotros descubrir descubrimos cómo calcular el rotacional en dos dimensiones por supuesto para nuestro campo vectorial de verdad evaluado en el punto x com aie y esto es tiene tiene una fórmula muy sencilla y es la derivada parcial de la de la segunda componente que es q con respecto de x - la derivada parcial de p con respecto de ye mui bien es la fórmula que nosotros descubrimos para calcular el rotacional y sólo para para que quede más o menos claro por si no recuerdas mucho de cómo hicimos esto si nosotros nos fijamos en este punto y tenemos una situación más o menos así en donde digamos la circulación de este fluido hace una rotación más o menos de este estilo cuando nos movemos en la dirección horizontal verdad estamos moviéndonos de izquierda a derecha la componente cuba de negativo 0 a positivo entonces esto digamos la la función q crece al incrementar x lo cual nos dice que está derivada parcial es positiva en cambio cuando vamos de abajo hacia arriba es decir aumentamos en nuestra variable vamos de positivo 0 negativo en la componente p verdad entonces está derivada parcial dado que pedís minué pues será negativo pero con este signo menos se vuelve positivo y por eso es que este ejemplo típico tiene rotacional positivo verdad pero bueno entonces fijémonos ahora en este caso particular fijémonos en la componente q verdad y vamos a calcular la derivada con respecto de entonces al derivar respecto de x tendremos tres equis cuadrada -9 verdad simplemente derivamos esto y ahora restamos lo que sea digamos la derivada del pp con respecto de que esencialmente es lo mismo pero con qué verdad 3d cuadrada -9 bien entonces aquí tenemos ya el valor del rotacional para este campo vectorial verdad y ahora vamos a ir a tratar de interpretar lo que esto significa de hecho este campo vectorial es el mismo que te mostrará en la animación cuando empezamos a desarrollar la intuición detrás del rotacional teníamos partes específicas donde el rotacional es positivo y donde el rotacional es negativo de hecho podemos ver en este caso porque tenemos valores positivos o negativos por eso escogimos en realidad este ejemplo verdad si vemos digamos cuando el rotacionales positivo esto se da cuando x es igual a tres y llegué es igual a cero así que volvamos aquí y pongamos justamente el caso en el que x es igual a tres y que ye es igual a cero muy bien entonces en este caso que es lo que ocurre si sustituimos estos valores tendremos 3 x 3 al cuadrado - 9 y restamos 3 por 0 3 por 0 - 9 verdad entonces aquí tendríamos tres por 9 esto sería 27 y si restamos 9 nos da 18 y luego restamos 3 por 0 0 - 9 es menos nueve verdad con este menos dos nos da más verdad +9 y esto nos da 27 lo cual es un valor positivo verdad entonces si regresamos a la animación por eso es que vemos que en este punto la rotación se da en el sentido contrario a las manecillas del reloj muy bien entonces y ahora nosotros regresamos otra vez aquí y cambiamos el punto digamos ya no no será x igual a tres ni igual a cero ahora lo cambiamos por equis igual a cero pongamos x igual a cero y ye igual a tres vamos a borrar todo esto corremos todo esto para que no nos vaya a distraer entonces si regresamos a la animación tenemos que aquí la rotación se da en el sentido de las manecillas del reloj verdad entonces esperaríamos que el rotacional fuera negativo así que vamos a calcular lo aquí tendríamos tres por cero al cuadrado verdad - 9 y luego restamos tres porque cuadrada quien sería 3 x 3 al cuadrado - 9 entonces tres por cero al cuadrado es cero verdad esto nos va a dar menos nueve menos tres por tres al cuadrado es 27 si le restamos 9 es18 verdad entonces tendríamos menos 9 - 18 y esto es menos 27 verdad entonces justamente tenemos un valor negativo y regresando a la animación debido a que el valor del rotacionales negativo corresponde a que hay una una circulación digamos en el sentido de las manecillas del reloj y si ponemos digamos en esta fórmula y está x igual a cero y igual a cero pues entonces tendríamos menos nueve menos -9 que nos da justamente cero entonces en la animación vemos porque no hay rotación en general en el en el origen verdad y en realidad podríamos pensar en esta rotación para cualquier punto en el en el plano verdad sólo hay que ponerlo en esta fórmula que hemos obtenido aquí y así podríamos haber digamos cuál sería la rotación alrededor de ese punto verdad y así que con esto puedes ver que en realidad es una herramienta muy poderosa verdad regresando a la animación si te doy un flujo digamos muy complicado y que pidiera que me des un número que me dé la dirección general y la fuerza de rotación alrededor de cada punto bueno de eso sería mucha información así que siempre es bueno tener una fórmula compacta al manu