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Transcripción del video

después de introducir la idea de la rotación de un fluido en un campo vectorial como éste que tengo aquí dibujado vamos a empezar a hacer que nuestra intuición cobre algún ser algún sentido digamos en alguna fórmula más concreta así que vamos a pasar a nuestra pantalla negra y como siempre vamos a considerar un campo vectorial que vamos a llamar de y en este caso tendremos una entrada de dos dimensiones es decir tendremos dos variables de entrada y ahora consideramos para que sea un campo vectorial una salida también en dos dimensiones que típicamente le llamamos a las componentes de the keys y jay y coo de equilibrada de este es un campo vectorial y lo que quiero hacer es hablar de la idea del rotacional verdad y la forma en la que le notamos el rotacional de un campo vectorial es escribir roth verdad digamos como abreviatura de rotación al de nuestro campo vectorial b y por supuesto esto depende del punto que nos interesa de verdad depende del punto en donde estemos colocados y sólo para distinguir el caso digamos de tres dimensiones que será algo distinto a lo que vemos aquí voy a poner aquí un 2 de que indique que éste es el rotacional en dos dimensiones y el rotacional deberíamos entenderlo justamente como un operador recordemos digamos la derivada clásica de una función tradicional verdad que lo pensamos como un operador al cual le damos una función y nos devuelve otra función verdad es exactamente la misma idea con el rotacional lo único que cambia es que la función que le tenemos que dar al rotacional tiene que ser un campo vectorial y nos debe devolver una función escalar porque queremos que nos dé un número que nos indique cómo es digamos la rotación de este fluido entonces si nosotros volvemos a la imagen del campo vectorial verdad podríamos considerar digamos este punto verdad y podemos observar que alrededor de él el fluido digamos que antich podríamos pensar que está rotando en el sentido contrario al de las manecillas red del reloj verdad entonces a este tipo de rotación le queremos asignar un valor positivo en cambio por ejemplo si consideramos un punto como por aquí verdad entonces vemos que la rotación es justamente en el sentido de las manecillas del reloj y en este caso queremos asignar un valor negativo verdad entonces una forma digamos de entender esto es justamente viendo un ejemplo muy particular y que captura toda la esencia del rotacional así que pensamos que nosotros tenemos un punto cualquiera en el espacio digamos este será el punto equis coma llegué muy bien y y digamos que tenemos justamente digamos por aquí digamos por aquí tenemos que el campo vectorial apunta justo hacia arriba digamos que por aquí apunta hacia la izquierda que por aquí apunta justamente hacia abajo y por aquí apunta justamente a la derecha éste será como nuestro ejemplo esencial para entender o para poder asignar un valor al rotacional y vamos a pensar que nuestro campo vectorial en este punto ekije se anula es decir que al evaluar las funciones p y q en este punto valen cero entonces qué es lo que está pasando aquí tenemos digamos un punto verdad en donde el campo vectorial apunta justamente hacia arriba en este caso estaríamos pensando que nuestra función q en este punto particular es positivo sin embargo si nos movemos al del otro lado verdad aquí en la flecha apunta hacia abajo lo cual nos dice que la segunda componente tiene que ser negativa en este punto muy bien qué pasaría por ejemplo con este punto de aquí bueno aquí nos dice que la primera componente que es la que nos indica la dirección horizontal pues tiene que ser positivo porque apunta hacia la derecha en cambio en esta parte de aquí la componente pp tiene que ser negativa muy bien ahora sí esto digamos debe tener un valor positivo es decir estaremos pensando en un valor positivo para el rotacional en dos dimensiones verdad entonces quizás lo que nos pueda ayudar es capturar la información de las derivadas parciales de pepe y las derivadas parciales de cv verdad para que nos dé una idea de cómo cuantificar esta idea del rotacional muy bien entonces por ejemplo por ejemplo fijémonos en la variable en en la componente pp y al aumentar nuestra cantidad de digamos vamos a movernos en la dirección vertical verdad vemos que la componente pp va de positivo a negativo al aumentar y en verdad quiere decir que la derivada parcial del pp con respecto de ye en este caso es negativo verdad en este caso es negativo y recordemos que esto es para este caso particular digamos no sé digamos muy simple que hemos construido ahora qué pasaría con la función q en este caso vamos a aumentar x en esta dirección y podemos ver que vamos de un valor negativo para q luego tenemos cero y luego tenemos positivo quiere decir que la derivada parcial de cv con respecto de x verdad al aumentar x aumenta cv y entonces la derivada parcial de cv con respecto de x tiene que ser positivo para este caso particular bueno pues resulta ser que en general en realidad estas dos derivadas parciales es lo único que necesitamos para definir el rotacional en dos dimensiones entonces el rotacional en dos dimensiones de nuestro campo vectorial b evaluado por supuesto en el punto que nos interese es justamente la derivada parcial de cv con respecto de x verdad eso nos daría un valor positivo para éste para este caso y como esto es negativo y queremos que todo cobra sentido entonces vamos a restar la derivada parcial de p con respecto de jet de esta forma esto contribuye todavía más a que el valor sea positivo verdad que es justamente la situación que hemos planteado y ésta éste es justamente la fórmula del rotacional para cualquier campo vectorial en cualquier punto que nos interese que lo podemos en realidad pensar como una medida digamos en cualquier punto de interés de que tanto se parece el alrededor de un punto a este planteamiento perfecto digamos que hemos dibujado aquí mientras más se parezca digamos a esta situación será un valor mucho más grande del rotacional y en esta situación digamos si invertimos todas las flechas verdad en realidad si ahora pensamos que las flechas van en sentido digamos de las manecillas del reloj verdad en esta en este sentido entonces el rotacional se vuelve negativo en el próximo video te mostraré algunos ejemplos de cómo usar esta fórmula