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El cálculo del rotacional en tres dimensiones. Ejemplo

Transcripción del video

vamos a continuar con un ejemplo en donde calculemos el rotacional de un campo vectorial particular y el campo vectorial que quiero considerar para este vídeo es justamente este campo b que depende de tres variables ekije iceta y por supuesto tenga una salida tridimensional así que digamos que consideremos nuestra primera componente ekije luego tomemos el cose no de zeta y finalmente tomemos z cuadrada más bien entonces éste será nuestro campo vectorial y nos preguntamos cómo calcular el rotacional de nuestro campo vectorial b y en el vídeo anterior nosotros vimos cómo hacer esto verdad esencialmente lo que tenemos que recordar es que el rotacional se puede calcular cómo el gradiente cruz nuestro campo vectorial b y sólo para los por si no recuerdas qué es lo que vimos en el vídeo anterior el gradiente es este lector que tiene puros operadores diferencial es verdad derivada parcial respecto de x la derivada al respecto de yee y la derivada parcial con respecto de z y ya sabemos que en realidad no es un vector como tal pero nos ayuda a acordarnos de todos estos operadores verdad y ahora hacemos el producto cruz con nuestro sector b es decir no con nuestro campo vectorial b que se calcula como x x gent la primera componente coseno de zeta en la segunda componente y se está cuadrada más llegue en la tercera componente y por supuesto pues hay que saber muy bien cómo se interpreta este producto cruz y no recuerdas muy bien qué es lo que hicimos pues checa el video anterior verdad pero esencialmente este producto cruz corresponde a un a una especie de determinante que en realidad no es un determinante como tal porque no es una matriz con números pero vamos a seguir esencialmente el mismo paso que con un dt ante tradicional verdad entonces esto sería el determinante de una matriz en donde tenemos primero nuestros lectores canónicos y unitarios y j y k verdad luego ponemos las componentes de nuestro primer vector que sería el vector nada la verdad que sería parcial respecto de x parcial respecto de ye parcial respecto de z y luego tomamos las componentes de nuestro campo vectorial que es el segundo vector verdad entonces sería xl coseno de z y se está cuadrada más muy bien entonces vamos a calcular esta especie determinante aunque ya entonces para calcular lo tomamos primero esta entrada y multiplicamos por el por el determinante de esta suv matriz restante verdad entonces tendríamos el vector y que multiplica a la derivada parcial con respecto de jay-z cuadrada massieu entonces al derivar esto con respecto de lleno a la deriva de z cuadra de cero porque es una constante para fines de derivar con respecto de yee y la derivada de ye es una verdad entonces tendremos simplemente 1 - la derivada con respecto de z de kossen odst nosotros sabemos que la derivada de cocina de z es menos el seno de cc está muy bien entonces aquí tenemos nuestra do nuestro primer término y ahora ponemos un menos verdad - j porque recordemos que con el determinante vamos alternando signos más menos más bien entonces ahora para esto necesitamos calcular el determinante de la matriz que resta de estas dos columnas verdad simplemente quitamos la columna y la fila correspondiente a hot entonces si derivamos con respecto a x y z cuadrada más entonces obtenemos un 0 verdad porque nada de esto depende de x son constantes para fines de derivar con respecto de x y ahora restamos la derivada con respecto a dzd equipo llegue y es el mismo caso verdad no dependen explícitamente de z entonces nos da cero estuvo muy fácil y finalmente ya que hicimos este término ahora vamos a hacer el término con la verdad y con kahlo único que tenemos que hacer es multiplicar por el determinante de esta su matriz entonces al derivar con seno de z con respecto de x obtenemos 00 - la derivada con respecto de ye de x por y entonces x es constante del iva mosley nos da uno y entonces obtenemos simplemente x verdad entonces con esto ya podemos calcular digamos es tan sencilla sería nuestro rotacional pero como a mí me gusta más ver lo digamos en un vector verdad columna entonces podríamos decir que el rotacional de nuestro bebé campo vectorial b por supuesto evaluado en el punto equis o yes seta verdad será un vector tridimensional vector tridimensional en donde la primera componente sería uno más sino de z uno más el seno de zeta también tendríamos en la segunda componente 0 verdad aquí tendríamos que tener cuidado con este signo verdad aquí teníamos un 6 menos y tendríamos que cambiar el signo de lo que sea que nos dé aquí adentro en este caso fue cero entonces no importa y finalmente tendríamos menos x en la última componente verdad y ésta esto que que encontramos aquí es justamente el rotacional de la función en el punto equis jet set y en general así es como se calcula el rotacional de un campo vectorial lo único que tenemos que acordarnos es que se calcula como él producto cruz de nuestro nabla con el campo vectorial de verdad entonces recordemos nabla es justamente este vector de operadores diferenciales y en esencia esto nos lleva a calcular 6 derivadas parciales distintas y finalmente obtenemos algo más o menos así en cualquier ejemplo que tú quieras considerar