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El cálculo del rotacional en tres dimensiones. Ejemplo

Un ejemplo resuelto sobre el cálculo de un rotacional en tres dimensiones. Creado por Grant Sanderson.

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Transcripción del video

vamos a continuar con un ejemplo en donde calculemos el rotacional de un campo vectorial particular y el campo vectorial que quiero considerar para este vídeo es justamente este campo b que depende de tres variables x y y ceta y por supuesto tenga una salida tridimensional así que digamos que consideremos nuestra primera componente xy luego tomemos el coseno de zeta y finalmente tomemos z cuadrada más muy bien entonces este será nuestro campo vectorial y nos preguntamos cómo calcular el rotacional de nuestro campo vectorial b y en el vídeo anterior nosotros vimos cómo hacer esto verdad esencialmente lo que tenemos que recordar es que el rotacional se puede calcular como el gradiente cruz nuestro campo vectorial ve y sólo para los por si no recuerdas qué es lo que vimos en el vídeo anterior el gradiente es este vector que tiene puros operadores diferenciales verdad derivada parcial x la derivada de respecto de ye y la derivada parcial con respecto de z y ya sabemos que en realidad no es un vector como tal pero nos ayuda a acordarnos de todos estos operadores verdad y ahora hacemos el producto cruz con nuestro vector b es decir no con nuestro campo vectorial b que se calcula como equis porque en la primera componente coseno de zeta en la segunda componente y se está cuadrada más en la tercera componente y por supuesto pues hay que saber muy bien cómo se interpreta este producto cruz si no recuerdas muy bien qué es lo que hicimos pues sé que el vídeo anterior verdad pero esencialmente este producto cruz corresponde aún a una especie de determinante que en realidad no es un determinante como tal porque no es una matriz con números pero vamos a seguir esencialmente el mismo paso que con un determinante tradicional verdad entonces esto sería él de una matriz en donde tenemos primero nuestros vectores canónicos y unitarios y jk verdad luego ponemos las componentes de nuestro primer vector que sería el vector nav la verdad que sería parcial respecto de x parcial respecto del parcial respecto de z y luego tomamos las componentes de nuestro campo vectorial que es el segundo vector verdad entonces sería x coseno de z y se está cuadrada más y muy bien entonces vamos a calcular esta especie de determinante aunque entonces para calcular lo tomamos primero esta entrada y multiplicamos por el por el determinante de esta sub matriz restante verdad entonces tendríamos el vector y que multiplica a la derivada parcial con respecto de y dc está cuadrada más y entonces al derivar esto con respecto de bueno la derivada de zeta cuadrada es cero porque es una constante para fines de derivar con respecto de iu y la derivada de i 1 verdad entonces tendremos simplemente 1 - la derivada con respecto de zeta de coseno de 7 y nosotros sabemos que la derivada de cocina de zeta es menos el seno de zeta muy bien entonces aquí tenemos nuestro nuestro primer término y ahora ponemos un menos verdad - j porque recordemos que con el determinante vamos alternando signos más menos más muy bien entonces ahora para esto necesitamos calcular el determinante de la matriz que resta de estas dos columnas verdad simplemente quitamos la columna y la fila correspondiente a j entonces si derivamos con respecto a x se está cuadrada más entonces obtenemos un 0 verdad porque nada de esto depende de x son constantes para fines de derivar con respecto de x y ahora restamos la derivada con respecto de zeta de x por ye y es el mismo caso verdad no dependen explícitamente de z entonces esto estuvo muy fácil y finalmente ya que hicimos este término ahora vamos a hacer el término con la verdad y con acá lo único que tenemos que hacer es multiplicar por el determinante de esta sub matriz entonces al derivar coseno de zeta con respecto de x obtenemos 00 - la derivada con respecto de ye de x por y entonces x es constante derivamos ye y nos da 1 y entonces obtenemos simplemente x verdad entonces con esto ya podemos calcular digamos esto en él si ya sería nuestro rotacional pero como a mí me gusta más verlo digamos en un vector verdad de columna entonces podríamos decir que el rotacional de nuestro de campo vectorial ve por supuesto evaluado en el punto equis y esta verdad será un vector tridimensional un vector tridimensional en donde la primera componente sería uno más seno de zeta uno más el seno de zeta también tendríamos en la segunda componente cero verdad aquí tendríamos que tener cuidado con este signo verdad aquí teníamos un c - y pues tendríamos que cambiar el signo de lo que sea que nos dé aquí adentro en este caso fue cero entonces no importa y finalmente tendríamos menos x en la última componente verdad y está esto que encontramos aquí es justamente el rotacional de la función en el punto x 7 y en general así es como se calcula el rotacional de un campo vectorial lo único que tenemos que acordarnos es que se calcula como el producto cruz de nuestro habla con el campo vectorial de verdad entonces recordemos un habla es justamente este vector de operadores diferenciales y en esencia esto nos lleva a calcular 6 derivadas parciales distintas finalmente obtenemos algo más o menos así en cualquier ejemplo que tú quieras considerar