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La fórmula del rotacional en tres dimensiones (parte 1)

Transcripción del video

ya hemos pasado algunos videos construyendo las bases de lo que representa el rotacional en tres dimensiones de ahora vamos a ver cómo calcularlo así que vamos a partir de un campo victoria al bebé y para que sea justamente un campo vectorial necesita tener digamos tres entradas para que esto esté en tres dimensiones ahora bien un campo vectorial como ya sabemos debe tener también tres salidas verdad es decir podríamos pensar en un vector con tres coordenadas que típicamente llamamos p q y r y cada uno de éstos depende tanto de x como deie como de cierta verdad entonces éstos dependen de nuestras tres variables de entrada y cuando tenemos algo así la imagen que debemos tener en mente es más o menos algo de este estilo verdad con donde cada punto en tres dimensiones tiene un vector atado quizás digamos esto se puede ver algo complicado pero en esencia pensamos que a cada punto le asociamos un vector verdad estamos pensando que el punto es la entrada y el vector es la salida en realidad tendríamos seis dimensiones así que es por eso que la imagen que obtenemos es muy enredada entonces la siguiente pregunta es cómo se calcula el rotacional de nuestro campo vectorial b y como ya hemos visto el rotacional lo que no lo que notamos justamente como rod roth de nuestro campo vectorial de y sólo como un recordatorio de cómo debería verse tendremos digamos un flujo inducido por el campo vectorial y podemos imaginar que es aire fluyendo a través de cada sector verdad y lo que queremos es una función que en cada punto diga cuál es la rotación inducida en cada punto por el flujo y como la rotación está descrita por un vector entonces esperamos que esta función que va a ser el rotacional tenga valores vectoriales entonces esto deberá hacer algo un vector que tenga una salida en tres dimensiones y por supuesto el rotacional depende del punto en donde estemos verdad así que depende de x d ye y dz este es el valor de entrada para el rotacional ahora bien una anotación que es muy útil para calcular el rotacionales la siguiente vamos a retomar nuestro triangulito invertido nabla y vamos a hacer el producto cruz con nuestro campo vectorial y quizás sí ya conoces lo que es el producto cruz recordarás que en realidad está de este producto debería ser entre dos vectores así que qué es lo que significa esto bueno primero recordemos que nuestro triangulito invertido es esencialmente lo podemos pensar como un vector donde tenemos derivadas parciales verdad entonces tenemos este vector donde tenemos la derivada parcial con respecto de x la derivada parcial con respecto de yee y la derivada parcial con respecto de z verdad entonces la idea de este vector es que en realidad tenemos en digamos un vector no con puros operadores diferenciales como coordenadas verdad y esto suena suena bastante digamos complicado verdad pero quizás muy elegante pero en esencia lo que nos dice es que cada vez que tenemos uno de estos operadores diferenciales cuando la introducimos una función entonces nos devuelve la derivada parcial en este caso por ejemplo con respecto de x verdad entonces estrictamente hablando esto no es un vector pero en realidad nos ayuda para para acordarnos de de cómo calcular el rotacional verdades zona es un truco de notación y ahora hacemos el producto cruz con nuestro campo vectorial de el campo vectorial b tiene componentes p q y r y por supuesto no hay que perder de vista que estas tres componentes dependen de x y z y sólo como calentamiento veamos cómo podríamos calcular esto en dos dimensiones y donde en este caso en dos dimensiones ya sabemos cuál es la fórmula verdad entonces vamos a borrar por ahorita estoy aquí para borrar estoy aquí y vamos a calcular el rotacional en dos dimensiones entonces para el caso de dos dimensiones y tenemos un campo vectorial con dos entradas y dos salidas en este caso sólo vamos a tener nuestro operador diferencial que tiene parcial respecto de x y parcial respecto de llegue y tendremos que hacer el producto cruz con nuestro campo vectorial en dos dimensiones que voy a usar las mismas letras digamos p y q en realidad aquí estoy abusando de la anotación verdad en realidad deberíamos considerar otras letras porque p y q son justamente las componentes del caso de arriba pero en general todos los resultados que obtenemos con rotacional y este tipo de operadores generalmente utilizan estas mismas letras sólo estamos haciendo un pequeño abuso de notación entonces esto es separado del ejemplo anterior ahora si nosotros queremos hacer este producto vamos a llamarle el producto cruzado y es producto cruzado por qué vamos a hacer este producto de aquí y luego restamos el producto de los otros dos verdad entonces lo que tendríamos es lo siguiente tendríamos la derivada parcial con respecto de x de esta componente que sería q verdad y luego restamos el producto de digamos este producto cruzado que sería la derivada parcial con respecto de ye de nuestra componente p y si tú observas lo que hemos obtenido aquí recordarás que esto es justamente el rotacional en dos dimensiones del cual ya hemos hablado mucho y ya tenemos intuición de que significa ahora bien en tres dimensiones lo que nosotros tenemos que hacer es tomar un producto cruz verdad nosotros necesitamos tomar un producto cruz en tres dimensiones y si no está relacionado con este tema o quizás sientes que no no lo recuerdas muy bien deberías buscar los vídeos que existen ya en can academy sobre el producto cruz y es importante que cuentes con estas bases porque vamos a partir de lo que es el producto cruz y su interpretación para poder obtener el rotacional y ahora bien para obtener este producto cruzan realidad lo que tenemos que hacer es calcular un ante verdad entonces vamos a calcular el determinante de un algo que parece una matriz verdad aquí vamos a poner tres vectores sanitarios el vector y j y k y recordemos que el vector y el vector y en las otra cosa más que el vector que tiene uno en la primera entrada y cero en las otras dos el doctor j es el que tiene el 1 en la segunda entrada y el vector acá es el que tiene 1 en la tercera entrada y por supuesto aquí ya te darás cuenta cuáles digamos la cosa rara verdad estamos calculando un determinante y aquí hay vectores bueno esto sólo es un truco de anotación pero vamos a continuar con este producto cruz digamos ahora en lo que siguen las y en el siguiente renglón es colocar el primer vector de este producto entonces en este caso tendríamos que poner parcial respecto de x parcial respecto de yee y parcial respecto de zeta y en el tercer renglón lo que tendríamos que hacer es poner justamente las coordenadas del segundo vector en este caso serían ve q y r q y r y éstos por supuesto depende del punto equis ley iceta entonces aquí ya te puedes dar cuenta que esto es bastante absurdo verdad cuando hablamos de las matrices en realidad todo debe ser números para que podamos hacer multiplicaciones y sumas y demás pero aquí tenemos una fila de vectores una fila de operadores diferencial es verdad y al final tenemos funciones escalar es así que esto es súper complicado o al menos en principio pero en realidad e esto nos sirve para poder calcular el rotacional verdad a pesar de todo lo anterior que hemos dicho en realidad es genial para poder hacer el cálculo y si le si lo realiza eso nos daría la fórmula del rotacional en tres dimensiones así que vamos a detenernos aquí y mejor continuamos en el siguiente vídeo para no hacer este video más largo nos vemos