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Idea intuitiva del rotacional en tres dimensiones (parte 1)

Transcripción del video

hola a todos ahora vamos a hablar del rotacional en tres dimensiones y para hacerlo vamos a partir del ejemplo en dos dimensiones que usamos cuando estábamos desarrollando la intuición y sabemos que el flujo que animamos aquí de este campo vectorial tiene una rotación antihorario verdad del lado derecho y horaria arriba verdad así que vamos a tomar este campo vectorial que espero que ya tenga cierta intuición de él y vamos a incrustarlo en el espacio de tres dimensiones en el plano el quillá así que aquí tenemos una copia del plano ekije y esta es una muestra que parece distinta pero esencialmente representa al mismo campo vectorial y de hecho eso es bueno escribir como se definen dos dimensiones que entonces este campo vectorial en realidad es una función que depende de x ideye verdad es un campo vectorial ve que depende de xy belle y tiene dos componentes la primera componente la podemos calcular cómo que kubica -9 llegue y la siguiente componentes x kubica - 9 x así que si nos fijamos en esto digamos empezamos a a pensar en la rotación del fluido o del flujo asociado con el entonces esto se ve en tres dimensiones verdad y es natural tratar de describir esta rotación no sólo con un número en cada punto como ya sabemos si no pensar también en un vector para cada punto que nos dé la rotación así que cuando hacemos esto vamos a tratar de asociar un vector en cada punto distinto del espacio verdad y que nos indique la rotación del fluido y obtenemos algo como esto y ahora parece más complicado porque tenemos dos campos vectoriales o no en el plano ekije y otro perpendicular así que vamos a tratar de desmenuzar el problema tenemos cuatro regiones circuladas aquí verdad aquí tenemos una rotación que va en sentido antihorario verdad y esto lo podríamos pensar utilizándola la regla de la mano derecha aquí está la la imagen entonces pensamos en que doblamos nuestros dedos en la dirección de la rotación y cuando levantamos el pulgar entonces esa sería la dirección de los vectores que describen la red pasión así que si hacemos esto aquí podríamos pensar que logramos nuestros dedos verdad cómo sigue la rotación y entonces levantamos nuestro pulgar y obtenemos un vector que apunta en la dirección positiva de z verdad así que por eso es que tenemos en esta región vectores que apuntan hacia arriba ok entonces que ocurre por ejemplo en otro punto digamos que pasaría si estamos por ejemplo aquí arriba verdad entonces si nosotros tratamos de girar nuestros dedos siguiendo la rotación entonces nuestro pulgar apunta hacia abajo verdad en la dirección negativa de z y es lo que vemos en este campo vectorial aquí verdad porque debajo de este círculo tenemos vectores que apuntan justamente hacia abajo en toda esa región verdad entonces si hacemos esto en cada punto verdad al menos podríamos tener más o menos una idea de cómo es la rotación en cada punto del espacio y asignarle un vector verdad así que vamos a tratar de continuar y describir digamos con una función lo que es el rotacional verdad porque sabemos cómo calcular el rotacional en dos dimensiones porque si le ponemos nombre a nuestras dos funciones componentes digamos p y q verdad entonces el rotacional en dos dimensiones de este campo vectorial vamos a ponerlo el rotacional en dos dimensiones del campo vectorial b por supuesto como función de x ideye entonces esto es igual a la derivada parcial de nuestra segunda componente que en este caso es q verdad con respecto a x la parcial de cv respecto de x ya éste le tenemos que respetarla derivada parcial de la primera componente respecto de ye verdad es la parcial de p con respecto de así que aquí tenemos el rotacional en dos dimensiones vamos a tratar de derribar derivamos esta primera respecto de x que es una derivada tradicional verdad entonces tendríamos tres equis cuadrada -9 es la derivada la primera derivada verdad - la derivada del pp con respecto de qué es exactamente igual verdad vamos a tener menos la deriva de aquí arriba que es 3g cuadrada verdad 3d cuadrada -9 muy bien y entonces estos dos se cancelan aquí tenemos que estos 29 se cancelan entonces simplemente nos queda 3x cuadrada 3x cuadrada -3 ye cuadrada bueno y esto qué significa aquí tenemos una cantidad de escalar asociada al campo verdad y tenemos todos estos vectores azules que nos indican la dirección de la rotación y éstos en realidad son vectores ahora bien la rotación está ocurriendo únicamente en el plano ekije que es perpendicular al eje z y todos estos vectores sólo van a tener una componente set es decir la tercera verdad así que podríamos pensar que el rotacional digamos el rotacional ya no hacen dos dimensiones simplemente es el rotacional de nuestro campo vectorial ve cómo funciona a través de x ideye ahora no va a ser un valor escalar verdad ahora va a ser un vector pero va a ser un vector que describe a éstos que tenemos de color azul y que sólo tiene un componente se está verdad las primeras tres las primeras dos componentes conservas y que en la última simplemente será 3x cuadrada -3 ye cuadrada y esto es digamos lo que podríamos pensar como un prototipo del rotacional en tres dimensiones porque en realidad este campo vectorial b pues no es muy triste y mención al que digamos verdad sólo vive en el plano y quiché sólo toma entradas x quille así que lo que vamos a hacer es tratar de extender esta idea vamos a tratar de ver cómo se ve esto en tres dimensiones y cómo podríamos tratar de entender la rotación de un campo vectorial en tres dimensiones y eso es lo que haremos en el próximo video