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Idea intuitiva del rotacional en tres dimensiones (parte 2)

Transcripción del video

donde nos quedamos teníamos este campo vectorial en dos dimensiones y lo hemos pintado aquí como un campo amarillo verdad simplemente lo pusimos en un espacio de tres dimensiones y esto era un poco raro porque pusimos el plano ekije verdad dijimos que pretendíamos que estuviera en tres dimensiones y esto servía para describir la rotación alrededor de cada punto donde ya estamos familiarizados con el rotacional en dos dimensiones verdad pero ahora queremos un campo vectorial en tres dimensiones porque queremos asignarle vectores tridimensionales que nos indiquen la rotación así que vamos a tratar de extender todo esto a un campo vectorial en tres dimensiones arbitraria así que déjenme borrar todo esto verdad vamos a borrar todas las las cuentas de del video pasado y ahora vamos a tratar de empezar a pensar en cómo podríamos es extender el campo vectorial que teníamos anteriormente verdad que era bidimensional esencialmente ahora a tres dimensiones y una idea que podríamos considerar es copiar este campo en distintas rebanadas y podrían verse más o menos así donde hemos dibujado varias rebanadas quizás un poco separadas verdad pero técnicamente el original se ve exactamente igual en cada rebanada verdad así que por supuesto tenemos muchos más lectores pero esencialmente en cada rebanada tenemos el mismo campo vectorial si lo vemos desde arriba quizás se ve mucho más claro verdad que es un montón de copias del mismo campo verdad que estamos digamos si ponemos el plano ekije verdad entonces tenemos en las rebanadas el mismo campo vectorial e incluso digamos no sé tendremos cinco o siete rebanadas que tenemos aquí pero pensamos que tenemos una infinidad de estas verdad una infinidad de estas copias del campo vectorial entonces en fórmulas como cómo podemos escribir esto vamos a borrar esto porque ahora va a depender de tres variables vamos a poner una variable z también verdad y entonces vamos a considerar vectores en tres dimensiones en lugar de sólo dos componentes verdad así que nuestra componente zeta en la salida verdad no depende de z pero tiene que ser cero y el hecho de que tengamos aceptan la entrada pero en la salida no dependa de seta corresponde al hecho de que las rebanadas son las mismas al movernos en la dirección z verdad simplemente son copias las zonas de las otras y el hecho de que tengamos una tercera componente en la salida y que sea cero corresponder al hecho de que en realidad se ve muy plano ya sabes en realidad no hay no hay sector que apunta en la dirección se está simplemente en las direcciones de x ideye así que el campo vectorial en tres dimensiones más o menos se ve así verdad esta bajeza en realidad que no es tridimensional pero en realidad es un muy buen ejemplo verdad porque si ahora empezamos a pensar en la representación del fluido en tres dimensiones verdad podríamos por ejemplo recordar el ejemplo que teníamos en dos dimensiones en donde teníamos las moléculas de agua y se movían de esta forma es muy fácil entender la rotación o en sentido horario o antihorario verdad pero cuando tenemos el caso en tres dimensiones se vuelve algo muy caótico porque esto que teníamos plano verdad quizás si lo vemos desde arriba a lo mejor nos da una idea de la de la rotación en el sentido horario o antihorario verdad así que por ejemplo si dibujamos esta columna podríamos pensar que en esta columna tendríamos como una especie de tornado del fluido verdad todo está rotando digamos siguiendo esa dirección y si asignamos un vector a cada punto en el espacio que describa este tipo de rotación ocurre que cada uno de estos puntos verdad sí sí estamos dentro de esta columna entonces estaríamos girando en este tornado en el sentido antihorario por supuesto que si lo vemos desde abajo se vería en dirección contraria por eso necesitamos usar vectores y utilizar la regla de la mano derecha donde miramos nuestros dedos siguiendo la dirección de la rotación verdad y al levantar el pulgar vemos la dirección se está en este caso se apuntan hacia arriba verdad en la dirección positiva pero si mostramos todas estas fechas se ve un desorden así que vamos a borrar las flechas amarillas por un momento verdad y sólo nos vamos a enfocar en el nuevo campo vectorial que hemos encontrado y dentro de la columna tenemos que la rotación del tornado estábamos escribiendo todos estos vectores apuntan en la dirección se está verdad pero si lo hubiéramos digamos en otro lado digamos en esta región entonces apuntan en la dirección negativa de zeta así que si levantamos el pulgar en la dirección de todos estos vectores en la dirección z negativa esto nos dice que el fluido rotará en el sentido de las manecillas del reloj así que podríamos pensar que esto es como aire que está atravesando una habitación en tres dimensiones entonces vamos a tratar de ver qué es lo que nos dice el rotacional tenemos una fórmula del último vídeo que espero no se haya arruinado mucho verdad y la forma en como describimos esto fue con un campo vectorial en dos dimensiones pero ahora estamos considerando una tercera variable así que es un campo vectorial bien construido la salida nos dice en cada punto del espacio cuál es la rotación que corresponde a cada punto verdad y en el próximo video veremos la fórmula de cómo calcular el rotacional para una función arbitraria ahorita sólo vamos a tratar de obtener intuición visual y una forma digamos de hacer esto es pensar en varias copias del campo vectorial en dos dimensiones pero este tipo de ejemplos son muy artificiales porque la rotación ocurre en estos tipos de patrones como de tornados que en realidad no cambian al movernos en la dirección de z verdad pero más en general si consideramos un campo vectorial más complicado así que por ejemplo como éste que estoy por poner vamos a poner un campo vectorial más complicado que y haremos todo esto si también vamos a borrar lo consideremos ahora este campo vectorial digamos que que estamos mostrando aquí verdad aquí por ejemplo es muy difícil de pensar cómo es que el flujo asociado con este campo va a rotar tenemos una noción un poco vaga más o menos de cómo es que está fluyendo esto por ejemplo el esquí pero es muy difícil de pensar todo es todos los puntos al mismo tiempo y y ciertamente sí si pensamos en la rotación es muy difícil de fijarnos en un punto y decir ah mira aquí se ve que el fluido está haciendo una rotación general de alguna forma verdad pero al menos tenemos una idea muy vaga por ejemplo si pensamos en esta pelota verdad en este punto específico y aquí está pelota pues ésta está girando en el espacio verdad podríamos imaginar que este nuevo campo de historial está induciendo cierta fuerza en esta pelota para que esté flotando y girando en el espacio así que si pensamos en esta pelota digamos de tenis verdad y la sostenemos en ese lugar no sé quizás usando algún truco de magia o qué sé yo y dejamos que el viento empiece a hacerlo rotar entonces podemos describir este movimiento con alguna especie de vector que en este caso será un vector que apunta en la dirección esta dirección verdad porque justamente si logramos nuestros dedos hacia la dirección de la rotación entonces obtenemos este vector verde verdad y si no tienes cómo se describen las rotaciones en tres dimensiones con un vector checa los videos anteriores de este tema verdad así que la idea aquí es que tenemos cierto tipo de fluido quizás muy loco que está inducido por un campo vectorial y si en cada punto pensamos en la rotación que induce este campo vectorial en realidad estamos pensando en él rotacional en tres dimensiones de este campo eso es lo que trata de representar y yo sé que es bastante confuso y quizás al inicio es muy difícil de atrapar las ideas en tu mente pero no te preocupes todos hemos pasado por eso en realidad el concepto del rotacional en tres dimensiones es quizás uno de los más complicados en el cálculo de varias variables y yo creo que la clave para entender esto es simplemente pensar de forma muy paciente todo lo que lo que significa el rotacional en dos dimensiones y tratar de extenderlo a tres dimensiones lentamente muy bien así que por ejemplo podríamos pensar en los tornados de rotación ver si eso tiene sentido tratar de entender cómo representar estas rotaciones en tres dimensiones en un punto a gracias a un vector verdad y tratar de entender finalmente el rotacional en tres dimensiones como si hiciéramos este tipo de ejemplos en cada punto del espacio