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Describir la rotación con un vector en tercera dimensión

Aprende cómo se puede utilizar un vector en tercera dimensión para describir una rotación en tercera dimensión. Esto es importante para comprender el rotacional en tres dimensiones. Creado por Grant Sanderson.

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Transcripción del video

como podríamos describir la rotación en tres dimensiones por ejemplo aquí tengo una esfera que está rotando de alguna forma verdad tiene cierta dirección y está rotando a cierta velocidad y la pregunta es cómo podríamos dar cierta información numérica que perfectamente describa esta rotación así que por ejemplo si me dieras algunos números que de alguna forma podríamos decir la de la velocidad y la dirección y todo lo que está asociado con esta rotación antes de hablar de eso vamos a recordar como hablábamos de la rotación en dos dimensiones aquí tengo una criatura y verdad y para describir cómo está moviéndose necesitamos una tasa de rotación verdad que esencialmente es el número de rotaciones por segundo digamos podríamos pensar en cualquier unidad del tiempo este es el número de rotaciones por segundo verdad así que las rotaciones por segundo en este caso digamos yo lo programe para que hiciera una rotación por cada cinco segundos esto nos da una tasa rotacional de 0.2 verdad pero esto es un poco ambiguo porque podríamos decir bueno esta criatura está rotando a punto dos rotaciones por segundo y alguien podría preguntarnos bueno lo hace en el sentido ahora antihorario así que hay cierta ambigüedad y la convención que la gente ha adoptado es que el signo positivo verdad nos dice que va en el sentido antihorario en contra de las manecillas del reloj pero si damos un número negativo entonces tendríamos una rotación verdad en el sentido contrario es decir en el sentido horario es decir de las manecillas del reloj y esto es muy bonito porque simplemente necesitamos un número verdad que puede ser positivo o negativo y perfectamente describe la rotación en dos dimensiones y hay quizás algún pequeño digamos matriz verdad porque usualmente en física y en matemáticas no usamos rotaciones por unidad por digamos por segundo sino que describimos cosas en términos de los radiales por segundo así que solo para recordar lo que significa si imaginamos este círculo y dibujamos el radio nos preguntamos qué tanto avanzamos en la circunferencia para que esa longitud de arco verdad sea exactamente tan larga como el radio así que digamos si el radio es r y quisiéramos que esta longitud de arco también fuera r verdad entonces el ángulo que formamos digamos cantidad de vuelta que damos determina un radiante y debido a que hay dos radiales en cada rotación para convertir rotaciones por segundo a radiales por el segundo simplemente tendríamos que multiplicar esto por dos verdad simplemente el número que obtengamos ahí hay que multiplicar por dos pi y digamos el número específico en realidad no es muy importante aquí lo los centrales que con un simple número positivo o negativo podemos describir perfectamente las rotaciones en dos dimensiones ahora sí regresamos al caso de tres dimensiones necesitamos más información y una forma en la que vamos a proceder verdad necesitamos primero un eje de rotación alrededor del cual está girando nuestra esfera verdad así que esta línea que hemos dibujado nos dice alrededor de que se ocurre verdad y luego si queremos describir la tasa la cual está moviéndose en entonces necesitamos una dirección y también una magnitud y entonces uno puede decir su dirección y magnitud suena que podríamos usar un vector vamos a usar un vector cuya longitud esencialmente corresponda a la tasa a la cual está rotando típicamente en radiales por segundo ya eso le llamamos veloz angular y la dirección describe el eje de rotación en sí mismo pero digamos de la misma forma que en dos dimensiones tenemos una ambigüedad entre la rotación en sentido horario o antihorario y la ambigüedad en este caso proviene de determinar si elegimos el vector blanco o el verde verdad el verde es simplemente el blanco pero en sentido opuesto y es que en realidad no importa donde los esté colocando recuerden que los vectores podemos colocarlos donde sea pero aquí he decidido ponerlos en los polos para que podamos distinguirlos muy bien y para esto para está digamos ambigüedad tenemos una convención que conocemos como la regla de la mano derecha entonces déjenme traer una imagen para que puedas ver justamente a que se refiere esta regla y la idea que tenemos que tener en mente es que digamos las yemas de nuestros dedos estarán moviéndose en la dirección en la que la superficie de nuestra esfera también se mueve y entonces cuando levantamos nuestro pulgar esa es la dirección en la que elegimos el vector que describe a esta rotación así que en este ejemplo específico que tenemos cuando levantamos nuestro pulgar derecho eso corresponde al vector blanco no al verde pero si hiciéramos todo al revés es decir que la rotación vaya en el sentido contrario verdad en la dirección opuesta entonces podríamos imaginar que doblamos nuestros dedos de la mano derecha alrededor de esa dirección y entonces el pulgar estaría apuntando de acuerdo como lo dice el vector verde pero en la rotación original que con la que iniciamos verdad es el vector blanco y el vector blanco es el con el que vamos a continuar allí de hecho esto está genial verdad porque en realidad estamos comprimiendo toda la información en un solo vector y eso es lo que nos dice el eje nos dice la velocidad de rotación a través de su magnitud y la elección de la dirección digamos a lo largo del eje nos dice cuál es el sentido de rotación de nuestra esfera así que con estos tres números verdad las las tres coordenadas de este vector perfectamente describen cualquier rotación en tres dimensiones y la razón por la cual estoy hablando de esto es porque en los vídeos sobre rotación nada vamos a estar hablando de el rotacional en tres dimensiones y eso se relaciona con un flujo verdad en tres dimensiones esto induce una rotación en cada punto del espacio y lo que va a ocurrir es que vamos a asociar un vector en cada punto del espacio para responder la pregunta de cómo puede un fluído inducir una rotación verdad y quizás me estoy adelantando por ahora solo tenemos que concentrarnos en un solo punto de rotación verdad y en un único vector correspondiente pero es importante que tengas esto en mente para cuando nos adentremos al tema del rotacional en tres dimensiones bueno nos vemos en el próximo vídeo