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Transcripción del video

en el video anterior vimos la fórmula para curvatura y bueno recordando supongamos tener una curva en el espacio de dos dimensiones sólo para hacerlo un poco más sencillo esta curva está parametrizado por una función sdt número te corresponde a un punto en la curva y después pensamos en vectores tangentes unitarios como se ve en estos vectores tangentes unitarios en cada punto de la curva así y también vimos la curvatura misma que se ve no está por la letra yo llegué acá para que simboliza la razón de cambio de estos sectores sanitarios tangentes y no con respecto al parámetro té sino con respecto a la longitud de arco de s y me refiero longitud de arco cuando yo tomo aquí un pedazo de la curva longitud de arcos se refiere al tamaño de este pedazo de la curva de notado por d&s y bueno tal vez se pregunte si a tomar un pedazo de la curva el sector tangente unitario en ese pedazo cambia mucho de dirección o cambia poco de dirección para ver eso mejor puedes en otro espacio trazar cada uno de estos sectores sanitarios y los coloca hasta el que todos inicien en el mismo punto entonces bueno este vector se fue algo así está apuntando este hacia abajo ese mirar algo así éste apunta un poco más hacia abajo y se mira a sí y bueno suponiendo que camina sobre la curva vasto mando pequeños pasos de tamaño de ese sobre la curva cual sea la razón de cambio en el sector tangente ese cambio será un vector y como la curvatura es un valor lo que nos importa es el tamaño de ese vector es decir el valor del tamaño del vector tangente mientras vas tomando pequeños pasos en ds ahora debemos pensar en dos cosas primero la función para el sector tangente unitario y la noción de longitud de arco voy a usar la s aquí aquí en parametrización de la curva porque están relacionadas entonces bueno poner una ejemplo para que veamos quiere decir esto entonces digamos que nuestra parametrización con respecto a t es el vector coseno dt la componente x y seno de tela componente ye y también multipliquemos ambas componentes por una constante rr y esto significa que en el plano coordinado x llevo ya dibujar aquí un plano ordenado tenemos el plan ordenado estamos aquí trazando un círculo con radio r ahora de manera más abstracta pongo aquí otro ejemplo si tuviéramos sdt igual a cualquier función en general para la componente x y para la componente ye esta es una versión más generales que veremos en paralelo al ejemplo que estoy haciendo con coseno y xenón dt entonces bueno primero averiguar los cuales este vector unitario tangente es decir cuál es la función que en todo punto nos da un vector unitario tangente a la curva para hacer eso debes darte cuenta que ya tenemos más o menos una noción de lo que debería ser el vector tangente la deriva de nuestra función vector valuada como función de té la dirección en la que apunta está en la dirección tangente entonces si yo tomo su derivada si vemos aquí es el primer dt que es igual a tomar a la deriva de ambas de ambas componentes la deriva de ccoo c no es menos seno dt multiplicada por rr y la deriva de seno es coseno dt multiplicada por r entonces bueno ahí está derivada de manera más abstracta en este otro ejemplo tomamos la deriva de cada una de las funciones en las componentes entonces esto lo podemos interpretar como el vector tangente pero tal vez no sea un vector unitario y queremos que sea un vector unitario porque esto solamente nos está dando la dirección en la que apunta y para que sea unitario lo que vamos a hacer es normalizar lo entonces normalizamos para obtener una función del bec el unitario tangente al cual llamaremos t mayúscula dt minúscula que puede parecer un poco extraño pero bueno te mayúscula es para representar al rector tangente d minúscula representa el parámetro y esto será igual a la deriva vector valuada pero vamos a normalizar la entonces dividimos entre su magnitud como función de té así que vamos a sacar la norma de esto entonces la norma del sector - seno de té por ere coseno dt por rr esto es igual la norma de esto es igual a la raíz cuadrada de xenón cuadrado seno cuadrado dt por r al cuadrado más coseno al cuadrado dt por el real cuadrado y bueno podemos factorizar a la air entonces dentro del radical tenemos seno cuadrado más coseno cuadrado y no estoy escribiendo aquí las tres porque bueno no importa por el momento ya que ya que todo esto que está dentro del radical es igual a 1 así que las tesis no importan aquí y por lo tanto todo esto será igual a r lo cual significa que nuestro vector unitario tangente será igual a la función original pero dividida entre air que resultó ser una constante en este caso aunque no por lo regular no es una constante entonces dado que nuestra función original es menos seno de té por rr coseno dt por rr como lo estamos dividiendo entre r la función que obtenemos es menos seno dt josé no dt y bueno el próximo video seguimos con esto