La fórmula de la curvatura (parte 3)

sigamos estamos en la búsqueda de este vector unitario tangente dada la parametrización aquí tenemos un ejemplo específico donde tengo una función que parametrizar a un círculo con radio r mayúscula y en un ejemplo paralelo quiero mostrarte lo mismo pero más abstracto veremos de manera más abstracta lo que hicimos aquí para el efecto unitario tangente tenemos lo mismo aquí para el vector unitario tangente que es igual a la derivada que sabemos que nos da la tangente pero tal vez no esté en su forma unitaria entonces si no está lo normalizamos tomando la magnitud de esa función de vector tangente y en nuestro caso específico con el círculo una vez que tomamos las componentes al cuadrado y luego hicimos las simplificaciones necesarias obtuvimos la función r pero en el caso general tal vez no tengamos tanta suerte porque la magnitud de esta derivada será igual a la raíz cuadrada de x prima de t al cuadrado es decir la componente x de la derivada + y prima de t al cuadrado lo que estoy haciendo es tomando la magnitud del vector entonces cuando tomó toda la función la dividido entre su magnitud puedes ver que no se simplifica como en el caso del círculo aquí tenemos x prima de t y tenemos que dividirla entre toda la magnitud todo lo que era esta expresión que bueno para no escribirla toda la pondré como raíz de punto punto punto y similarmente tenemos que prima de t entre toda esta expresión entonces bueno puedes ver que la simplificación no siempre ocurre no siempre se da en este caso tuvimos un poco de suerte en este caso del ejemplo del círculo y ahora una vez que tenemos el vector unitario tangente como función del mismo parámetro lo que queremos encontrar es la derivada del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco s y encontrar la magnitud de eso pues es lo que nos dará la curvatura y para hacer eso toma la derivada con respecto al parámetro t entonces tomás de t mayúscula de t minúscula y lo dividimos entre la derivada de nuestra función es con respecto a t que ya habíamos encontrado y ahora tal vez viendo aquí la notación pienses que puedes cancelar las veces pero otra manera de pensarlo es que cuando tenemos nuestra función del vector unitario como función de nuestro parámetro t no conocemos cuál es el cambio con respecto a ese pero si conocemos su cambio con respecto a un cambio pequeño en ese parámetro entonces corrigiendo eso vemos que tanto cambio la longitud de la curva mientras vas cambiando ese parámetro y entonces bsd te lo que nos indica es para un lapso muy pequeño de tiempo el tamaño de ese movimiento con respecto a ese pequeño lapso de tiempo entonces la razón por la que esto nos resulta un vector muy largo es porque estás tomando la razón aquí es decir tal vez este cambio pequeño simboliza un vector muy pequeño pero lo estás dividiendo entre un número más pequeño y si tomáramos la magnitud de esto será igual a r lo cual resulta un tanto poético que la magnitud de la derivada sea igual al radio ahora nuestro caso específico lo que tenemos aquí es en el ejemplo del círculo tenemos en la función del vector tangente tomamos la derivada de nuestro vector tangente con respecto al parámetro vemos que aquí el vector unitario tangente tiene la forma de menos seno dt i coseno de t entonces lo que hacemos es tomar la derivada vamos a tomar la derivada de menos 0 dt eso es menos coseno de t jaja y la derivada de coseno dt es menos seno de t estamos simplemente diferenciando nuestra función del vector tangente y eso que implica tenemos entonces la magnitud de la derivada del vector tangente con respecto a t tomamos la magnitud de eso y bueno que tenemos en este vector tenemos coseno tenemos cero así que bueno tendrás coseno cuadrado de t más seno cuadrado de t eso es igual a 1 por lo tanto esta magnitud es igual a 1 ahora en el caso general cuando dividimos entre la magnitud de la derivada tomamos esto y lo dividimos entre la magnitud de la derivada entonces tenemos tenemos de ese sobre de té que es igual a r recuerda así es como obtuvimos la r tomamos aquí la derivada y su magnitud y resultó ser r entonces en el caso específico del círculo la función de la curvatura que queremos es es constantemente igual a 1 sobre r baja lo cual es genial porque en el primer vídeo te dije que la curvatura se define como 1 sobre el radio del círculo que se acerca más a la curva y si tu curva es un círculo entonces el círculo que se acerca más a la curva bueno pues será el mismo por eso tenemos uno sobre r ahora en el caso general tal vez sea un poco un poco más difícil pero veamos tenemos nuestra función del vector tangente que es igual a esto un tanto complicado donde donde esto que tiene puntos es igual a esto de aquí x prima de t al cuadrado más prima de t al cuadrado ajá y a esto le sacará su derivada con respecto a t luego tomarás la magnitud de eso y lo dividirán divididas todo eso entre la magnitud de la derivada de tu función original muy bien ahora todo eso no lo haré en este vídeo al menos no todos los pasos pero sí te diré que esta fórmula que obtendrás será será igual a x prima de t que es la primer derivada de la primer componente multiplicada por thievy prima de t la segunda derivada de la segunda componente menos de prima de t la primera derivada de la segunda componente x xvii prima de té y todo eso todo eso lo vas a dividir entre la magnitud x prima de té al cuadrado más de prima de t al cuadrado elevado todo a la tres medios y esto se obtiene porque observa cuando tú tomas la derivada de la función del vector unitario tangente tienes este radical que tiene x primas y primas y de ahí tuvo obtienes las xvii primas y las 10.000 primas porque la regla de la cadena te lleva por ese camino y ahí tienes ese término pero elevado a la tres medios ahora en el próximo vídeo voy a describirte intuitivamente porque esta fórmula si nos da la medida de la curvatura en la curva baja recuerda que primero te había dicho que la curvatura se ve como como el círculo que más se acerca a tu curva que más lo lo abraza y tomabas 1 sobre ere y en esta otra manera tu estás pensando en esto de tbs es decir el cambio en el vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco y estaba tomando su magnitud recuerdas a sus maneras es a sus maneras describen lo mismo exactamente lo mismo ya veremos algún ejemplo donde calculamos la curvatura de algo que no sea un círculo para que lo veas más claro