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Transcripción del video

sigamos estamos en la búsqueda de este vector unitario tangente dada la parametrización aquí tenemos un ejemplo específico donde tengo una función que parametrizar un círculo con radio r mayúscula y en un ejemplo paralelo quiero mostrarte lo mismo pero más abstracto veremos de manera más abstracta lo que hicimos aquí para el efector intaglio tangente tenemos lo mismo aquí para el sector ni taretán gente que es igual a la derivada que sabemos que nos da la tangente pero tal vez no esté en su forma unitaria entonces si no está no normaliza moss tomando la magnitud de esa función de vector tangente y en nuestro caso específico con el círculo una vez que tomamos las componentes al cuadrado y luego hicimos las simplificaciones necesarias obtuvimos la función r pero en el caso general tal vez no no tengamos tanta suerte porque la magnitud de esta derivada será igual a la raíz cuadrada de x prima dt al cuadrado es decir la componente kitsch de la derivada más ye prima dt al cuadrado lo que estoy haciendo es tomando la magnitud del sector entonces cuando tomó toda la función y la dividido entre su magnitud puedes ver que no se simplifica como en el caso del círculo aquí tenemos x prima de té y tenemos que dividirla entre toda la magnitud todo lo que era esta expresión que bueno para no escribir la toda la pondré como raíz de punto a punto o punto y similarmente tenemos ya prima de té entre toda esta expresión entonces bueno puede ser que la simplificación no siempre ocurre no siempre se da en este caso tuvimos un poco de suerte en este caso del ejemplo del círculo y ahora una vez que tenemos el vector unitario tangente como función del mismo parámetro lo que queremos encontrar es la derivada del vector ni está la tangente con respecto a la longitud de arco s ii contra la magnitud de eso pues es lo que nos da la curvatura y para hacer eso toma derivada con respecto al parámetro te entonces tomás dt mayúscula dt minúscula y lo dividimos entre la deriva de nuestra función es que con respecto a t que ya habíamos encontrado y ahora tal vez viendo aquí la anotación piensas que puedes cancelar las de test pero otra manera de pensar lo es que cuando tenemos nuestra función del vector unitario como función de nuestro parámetro t no conocemos cuál es el cambio con respecto a ese pero sí conocemos su cambio con respecto a un cambio pequeño en ese parámetro entonces corrigiendo eso vemos que tanto cambiar la longitud de la curva mientras vas cambiando ese parámetro y entonces de sbt lo que nos indica es para un lapso muy pequeño de tiempo el tamaño de ese movimiento con respecto a ese pequeño lapso de tiempo entonces la razón por la que esto no resulta un vector muy largo es porque estás tomando la razón aquí es decir tal vez este cambio pequeño simboliza un vector muy pequeño pero lo está dividiendo entre un número más pequeño y si tomáramos la magnitud de esto será igual a r lo cual resulta un tanto poético que la magnitud de la derivada sea igual a la radio ahora nuestro caso específico lo que tenemos aquí es en el ejemplo del círculo tenemos en la función del vector tangente tomamos la deriva de nuestro rector tangente con respecto al parámetro vemos que aquí el vector unitario tangente tienen la forma de menos seno de té y cosenos dt entonces lo que hacemos es tomar la derivada vamos a tomar la derivada de menos 0 dt eso es menos coseno dt ajá y la derivada de kossen o dt es menos seno dt estamos simplemente diferencia nuestra función del sector tangente y eso que implica tenemos entonces la magnitud de la deriva del vector tangente con respecto a t tomamos la magnitud de eso y bueno que tenemos en este vector tener josé no tenemos seno así que bueno tendrás coseno cuadro de té más seno cuadrado dt es igual a 1 por lo tanto esta magnitud es igual a 1 ahora en el caso general cuando dividimos entre la magnitud de la derivada tomamos esto y lo dividimos entre la magnitud de la derivada entonces tenemos tenemos de ese sobre dt que es igual a air ajá recuerda así es como obtuvimos la r tomamos aquí la derivada y su magnitud y resultó ser r entonces en el caso específico del círculo la función de la curvatura que queremos es es constantemente igual a 1 sobre ere a lo cual es ilegal porque en el primer video te dije que la curvatura se define como uno sobre el radio del círculo que se acerca más a la curva ja y si tú curva es un círculo entonces el círculo que se acerca más a la curva bueno pues será el mismo por eso tenemos uno sobre air ahora en el caso general tal vez sea un poco un poco más difícil pero veamos tenemos nuestra función del sector tan gente que es igual a esto un tanto complicado donde donde esto que tiene puntos es igual a esto de aquí x prima dt al cuadrado más que prima dt al cuadrado ja y a esto es sacar a su derivada con respecto a t luego tomadas la magnitud de eso y lo dividirás dividas todo eso entre la magnitud de la derivada de su función original muy bien ahora todo es un lugar en este vídeo al menos no todos los pasos pero sí te diré que esta fórmula que obtendrá será será igual a x prima dt que es la primera derivada de la primer componente multiplicada por qué mi prima de éste la segunda derivada de la segunda componente - ch prima dt la primera derivada de la segunda componente por xvii prima de té y todo eso todo eso lo vas a dividir entre la magnitud x prima dt al cuadrado más ye prima tt al cuadrado elevado todo a la tres medios y esto se obtiene porque observa cuando tú tomas de derivada de la función del vector unitario tangente tienes este radical que tiene x primas y primas y de ahí tú obtienes las xvii primas y las leyes y primas porque la regla de la cadena te lleva por ese camino y ahí tienes ese término pero elevado a la tres medios ahora en el próximo video voy a describir te intuitivamente porque esta fórmula si nos da la medida de la curvatura en la curva baja recuerda que primero te había dicho que la curvatura se ve como como el círculo que más se acerca a tu curva que más lo lo abraza y tomaba su no sobrer y en esta otra manera tú estás pensando en esto de tds es decir el cambio en el vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco y estaba tomando su magnitud recuerda sus maneras esas maneras describen lo mismo exactamente lo mismo ya veremos algún ejemplo donde calculamos la curvatura de algo que no sea un círculo para que lo veas más claro