La fórmula de la curvatura (parte 4)

hemos estado hablando de curvatura y bueno por ejemplo tú tienes una curva parametrizado por una función vector valuada s dt y la curvatura te mide que tanto se curva esta curva aquí por ejemplo se está curvando bastante por lo tanto la curvatura es grande pero aquí se curva poco porque hay poca curva es decir está casi recto aquí está casi recto en el vídeo anterior vimos esta fórmula algo complicada y para recordar te decía que la curvatura denotada por capa mayúscula se calcula como la derivada de la función del vector unitario tangente piensa en una función que te dé vectores unitarios tangentes en cada punto de la curva son vectores con longitud de 1 y son tangentes a la curva esa función que buscas será una función del mismo parámetro tenemos la t mayúscula para denotar al vector unitario tangente y la t minúscula para denotar el parámetro entonces tomamos la derivada d con respecto a la longitud de arco s no con respecto al parámetro t sino con respecto a la longitud de arco s y la longitud de arco se refiere a tomar un pedazo pequeño de la curva digamos que tenga medida de s y bueno te preguntarás cuánto cambia la dirección en ese vector unitario tangente para que esto quede más claro puedes imaginar lo siguiente imagina que en otro espacio vas a colocar a los vectores unitarios tangentes anclados al origen todos tienen la misma medida miden 1 entonces en lugar de poner los tangentes sobre la curva los pones en un espacio distinto todos anclados al origen y todos miden lo mismo la derivada es decir el cambio en ese vector tangente será otro vector que te indica cómo te vas moviendo de un vector a otro es decir cuál es el ángulo el ángulo de giro con respecto a cada vector entonces la curvatura no está dada por el vector porque entonces esto sería un vector está dada por la norma y en el vídeo pasado vimos que cuando vemos a esto como una función vector evaluada con componentes x de t dt resulta ser igual a esta fórmula esta fórmula complicada que ves aquí veamos como esta fórmula si nos dice que tanta es la curvatura en cada punto de la curva primero observemos el numerador tenemos x prima de t que es la primera derivada del primer componente multiplicada por jerry prima qué es la segunda derivada de la segunda componente menos puedes notar que aquí hay simetría tenemos que prima de t multiplicada por xvii prima de t tal vez esto te recuerde al producto cruz si tomamos si tomamos x prima y priman funciones de t como un vector y hacemos el producto cruz con el vector que contenga las dobles primas entonces tenemos aquí xvii prima de t y lleve prima de té si tomamos el producto cruce entre esto ahora si no recuerdas el producto cruz también hay vídeos sobre eso puedes verlos un producto cruz se calcula de la siguiente manera tomas las componentes de la diagonal y las multiplicas entonces obtienes x prima de be prima y después le restas lo que está en la otra diagonal puedes ver que se parece más o menos a determinante así que tienes x prima yeví prima menos xvii prima jet prima así que bueno voy a escribir esto en términos de nuestra función es el primer vector es la primera derivada de s tenemos entonces s prima de t y la estamos haciendo producto cruz con s bi prima de t pero bueno qué significan estos dos vectores es decir cómo interpretamos a la s prima y a la sb prima voy a dibujar aquí una curva la función s nos está dando vectores cuyas puntas trazan esta curva mientras te varía y ese prima de té nos dice cómo deben irse moviendo las puntas de los vectores para que vayan trazando la curva mientras vas de un vector a otro es decir nos dice cómo debe irse moviendo cada vector lo cual quiere decir que el vector en cada punto dado y viéndolo en cambios muy pequeños siempre obtienes un vector tangente todos estos son vectores tangentes no necesariamente unitarios tal vez tengas un vector tangente muy largo indicando que estás viajando por la curva a una velocidad muy alta por ese espacio y ahora el vector con la segunda derivada s prima de t puedes pensar en todos los vectores tangentes en un espacio distinto si si esto representa ese dt s prima de t se observaría así este primer vector grande se ve algo así indicando que va a una velocidad muy muy grande muy rápida luego un vector se observaría así y éste iría apuntando hacia abajo y puedes ver el cambio en todos estos vectores que representan la derivada y observa que todos inician en el mismo punto podemos suponer que ese mismo punto es el origen porque al iniciar en el origen nos da información de cómo es el cambio entre cada vector entonces en particular veamos el cambio de este vector a este vector la punta debe moverse en esta dirección entonces está segunda derivada nos dirá cómo la punta del vector resultante de la primera derivada debe moverse similarmente para cada vector nos dice cómo debe moverse esa punta del vector en qué dirección ahora cómo ejemplo si tomamos una curva muy cerrada vamos a tomar una curva muy cerrada como esta tendrás un vector tangente en dirección un tanto a la derecha rápidamente la dirección cambia a la derecha hacia abajo así si yo dibujo estos vectores aparte iniciando en el mismo punto si los dibujo así puedes ver como el vector de la segunda derivada le dice que gire en esta dirección y si estudias qué pasa a nivel infinitesimal avanzando de un vector a otro obtienes este movimiento de giro para los vectores entonces el vector de la segunda derivada estará jalando de manera perpendicular a este primer vector derivado indicándole que gire en esta dirección ahora dibujando eso si tú tienes un valor con la primera derivada y el vector de la segunda derivada es perpendicular a él este vector de la segunda derivada le indica al vector de la primera derivada en qué dirección debe girar el vector de la primera derivada ahora si suponemos que no fuera perpendicular pero también se mueve hacia abajo esto le estaría diciendo al vector de la primera derivada que de alguna manera se encoja indicándole que está girando y haciéndose pequeño lo cual quiere decir que la velocidad de la trayectoria de ese está disminuyendo y si el caso fuera que está girando pero a la vez está apuntando como simulando que se aleja así eso querrá decir que el vector de la primera derivada va a crecer entonces girará y acelerará en la curva pero nosotros queremos medir qué tan perpendiculares son estos vectores el de la primera y segunda derivada porque ahí es en donde entra el concepto de producto cruz porque la interpretación del producto cruz es básicamente el área que obtienes al tomar estos dos vectores y formar con ellos el paralelogramo que así se traza el producto cruz al darle el área te indica que tan perpendicularmente están posicionados estos vectores el uno del otro porque bueno supongamos que apuntan en una dirección muy parecida es quiere decir que el paralelogramo que trazan estos vectores tendrá un área muy pequeña comparada con el paralelogramo que trazan estos dos vectores que son perpendiculares o casi perpendiculares pero bueno en el siguiente vídeo continuaremos con esto