La curvatura de un cicloide

hagamos otro ejemplo de curvatura y en este caso será un ejemplo en dos dimensiones así que consideremos nuestra función vectorial s que va a tener sólo dos componentes va a ser x dt y 7 muy bien y en específico esto va a ser digamos va a ser t menos seno de t y uno menos coseno de t muy bien y esta es la curva que puse en el primer vídeo de este tema de curvatura es la curva que dijimos que imaginamos que estábamos en una carretera y si nuestro volante se atasca de repente se recorre un círculo y en distintos puntos tendrá distintos tamaños ese círculo y si la curvatura es alta entonces estamos girando mucho así el radio de curvatura sería pequeño así que vamos a calcular la curvatura muy bien de hecho en el vídeo anterior nosotros desarrollamos un método en donde dijimos bueno tenemos que calcular la derivada del vector tangente unitario verdad respecto a la longitud de curva verdad pero en este vídeo no lo vamos a hacer así vamos a utilizar la fórmula que ya tenemos verdad donde nos dicen que la curvatura que representamos con la letra griega cappa se calcula como x prima donde prima significa derivada verdad y aquí sería x prima porque mi prima con mi prima significa la segunda derivada menos de prima por equis de prima y todo esto hay que dividirlo entre x prima al cuadrado más y prima al cuadrado y todo esto elevado a la 3 muy bien y en realidad no me gusta eso de memorizar las fórmulas y luego solo esperar el momento a poder aplicarlas en realidad a mí me agrada mucho tener tener muy presente la idea de que estamos calculando la derivada del vector tangente unitario con respecto a la longitud de curva muy bien esa es la idea que hay detrás de toda esta fórmula está muy bien así que vamos a calcular entonces estas derivadas que necesitamos para encontrar la curvatura entonces necesitamos saber quién es x prima de 'the x prima dt sería derivar t menos seno de t la derivada de t es uno y la derivada de seno de tesco seno dt entonces tendremos uno menos el coseno de t veamos ahora quién es la derivada de y la derivada de que tendremos derivada de uno que es cero menos la derivada del coseno dt que es menos seno de t así que con este otro - se hace más y tendremos solo seno de t muy bien ahora fijémonos en las segundas derivadas la segunda derivada de x sería derivar 1 que nos da 0 - la derivada del coseno de hecho esta expresión verdad es exactamente la misma que tenemos acá así que podemos decir que la derivada es seno de t verdad ahora bien la segunda derivada de jette pues sería derivar seno de t y eso sería coseno de t muy bien entonces podríamos ya calcular fácilmente nuestra curvatura verdad la curvatura simplemente hay que sustituir todo esto x prima de 31 - el coseno de t y luego mi prima que es coseno de t menos de prima que es el seno de t y xvii prima que es el seno de t entonces esto podríamos ponerlo al cuadrado verdad y luego tendremos que dividir entre x prima al cuadrado que es uno menos el coseno de t al cuadrado más y prima al cuadrado que es seno cuadrado de t y todo esto irá elevado a la tres medios muy bien y ahí está aquí está la respuesta simplemente aplicar la fórmula y obtienes la respuesta verdad así por ejemplo cuando dibujaba la curva y pedía a la computadora que dibujara el círculo apropiado pues en esencia no hicimos todo el proceso de derivar respecto a la longitud de arco verdad en lugar de eso sólo nos vimos a la fórmula y con eso se puede al final hallar el radio de curvatura