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Transcripción del video

calculemos la curvatura de una curva tridimensional y la que tengo en mente es el eco se le conoce como él dice y las primeras dos componentes de la función que describe a la hélice la hacen parecer un círculo entonces primero tendremos cocinó de p luego tendremos seno de té y finalmente vamos a ponerte sobre 5 y la forma en la que se ve podríamos visualizarla muy bien aquí tenemos la gráfica y esta figura se le conoce como hélice y puedes ver cómo desde el plano xe desde esa perspectiva todo parece como si estuviéramos dibujando un círculo aquí por supuesto las líneas deberían estar bien alineadas pero como estamos trabajando con un poco de perspectiva bueno al cd como me espiral verdad pero en realidad debería dibujarse un círculo ahora bien la componente z debido a que se está incrementado verdad a medida que el parámetro t también va incrementándose entonces estamos como elevándonos es como como una escalera en espiral de verdad o de caracol y ahora antes de calcular la curvatura queremos saber en realidad qué es lo que esto representa digamos podríamos imaginarnos no sé qué que estamos en un camino o quizás en en el espacio digamos que estamos en una nave espacial verdad podríamos imaginar que toda nuestra maquinaria en algún punto se atasca verdad no podríamos usar ningún control digamos ni el volante o lo que sea que que maneje esta nave espacial verdad y entonces vamos a tener una trayectoria en círculo verdad y ese círculo podría parecerse más o menos algo así así que si estuviéramos girando digamos en esta hélice verdad pero de repente no podemos hacer nada simplemente tras haríamos un gran círculo verdad y digamos lo que nos incumbe aquí es hablar del radio de este círculo y si tomamos 1 entre el radio de ese círculo que que hemos trazado entonces obtenemos la curvatura y así es cómo obtenemos nuestra curvatura y que denota moscón cappa minúscula verdad y en realidad cuando calculamos directamente la curvatura no hablamos de este círculo verdad pero de hecho es algo muy bueno que deberíamos tener en mente y para calcularlo en realidad necesitamos tener primero el vector tangente a la curva en cada punto de de esta misma curva verdad es decir en esencia si nosotros pensamos en nuestra hélice y por supuesto no soy tan bueno dibujando felices como la computadora verdad pero pues este vector tangente tendremos un vector tangente unitario en cada uno de los puntos de esta curva y eso es lo que está representado con el vector tdt o la función vectorial tdt verdad entonces esto ya sabemos cómo calcularlo en realidad es el vector derivada de nuestra función vectorial ese verdad y tendrá que ir dividido entre su propia norma ya con su su magnitud verdad ya que de esta forma lo hacemos unitario verdad tiene magnitud uno y por supuesto nuestro objetivo final será calcular la derivada de este vector tangente pero no con respecto al parámetro tesino con respecto a la longitud de arco así que primero vamos a calcular quién es nuestro vector derivada el vector derivadas simplemente será derivar cada una de las entradas de este vector así que la derivada del coce no es menos seno dt la deriva del seno dt es coseno dt y la deriva de té en 35 es simplemente un quinto entonces aquí tenemos este sector y ahora simplemente calculemos la norma de este vector verdad que será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes verdad entonces el cuadrado de éste de esta componente sería seno cuadrado más el cuadrado de éste que es coseno cuadrado dt más el cuadrado de un quinto que es uno sobre 25 muy bien y quizás no te es que suelo utilizar las funciones seno y cosen o quizás por un lado es porque suelen dibujar círculos y esos son bonitos o también porque simplifica las cosas verdad en realidad el seno cuadrado más el coche no cuadrado es uno verdad entonces de aquí lo que obtendremos es la raíz cuadrada de uno más uno sobre 25 muy bien y de hecho podríamos hacer todavía está mucho más simple verdad porque uno es 25 sobre 25 y le sumaremos 1 sobre 25 lo cual nos da 26 sobre 25 verdad entonces aquí tendremos la raíz cuadrada de 26 sobre 25 y podríamos incluso distribuir la raíz cuadrada en esta división verdad tendríamos la raíz cuadrada de 26 dividido entre la raíz cuadrada de 25 que es 5 y como vimos esto se puede poner un poco la tos o en otros ejemplos pero en éste en particular es fácil verdad pues la norma es simplemente una constante entonces si nosotros regresamos de este lado vemos que la norma de esto es sólo una constante y podemos decir que te dt es simplemente nuestro vector original que teníamos dividido entre la norma que como vimos es raíz de 26 sobre 5 entonces tendremos que la primer componente es menos seno dt dividido entre la raíz de 26 sobre 5 la norma nuestra segunda componente voy a hacer esto todavía un poquito más amplio nuestra segunda componente será coseno dt dividido entre éste no mérito que es raíz de 26 sobre cinco y finalmente tendremos un quinto y un quinto dividido entre la raíz de 26 sobre 5 bien ahí tenemos quién es nuestro vector tangente unitario en cada punto de la curva y mejor vamos a pagarle hasta aquí en este vídeo vamos a continuar con el cálculo de la curvatura de la hélice en el próximo video