¿De qué manera mides qué tanto una curva realmente, ya sabes, se curvea?

Qué vamos a construir

  • El radio de curvatura en un punto en la curva es, a grandes rasgos, el radio del círculo que mejor se ajusta la curva es ese punto.
  • La curvatura, denotada como κ\kappa, es uno dividido entre el radio de la curvatura .
  • En las fórmulas, la curvatura se define como la magnitud de la derivada con respecto a la longitud de arco de una función vectorial tangente unitaria:
    κ=dTds\kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right|
    No te preocupes, más adelante revisaremos con cuidado cómo es que se calcula este valor.
  • La intuición de este concepto es que el vector tangente unitario te dice en qué dirección te estás moviendo, y la razón a la que este vector cambia con respecto a pequeños pasos, dsds, sobre la curva es una buena indicación de qué tan rápido estás girando.

Moverse a lo largo de la curva

Imagina alguna curva en el plano xyxy. Después haremos todo con fórmulas, pero por ahora, solo piensa en la imagen:
Imagina que vas conduciendo un coche a lo largo de esta curva y piensa qué tanto estarás girando el volante en cada punto. En algunos puntos, la carretera casi no se curva, por lo que vas manejando casi en línea recta, pero en otros puntos sí tendrás que girar más el volante.
Ahora imagina que en algún momento mientras estás conduciendo, el volante se bloquea. Si siguieras conduciendo este volante bloqueado, además de que te vas a salir del camino, el coche va a trazar un círculo, como el verde que se muestra en la figura:
Si el volante estaba demasiado girado cuando se bloqueó, el círculo que el coche va a trazar tendrá un radio muy pequeño. Si apenas estabas girando el volante cuando se bloqueó, el radio del círculo que trazará el coche será muy grande. La siguiente animación muestra varios círculos (coloreados de verde), que trazará el coche en diferentes puntos de la curva. El radio de cada uno de estos círculos está coloreado de rojo.
El radio del círculo asociado a cada punto de la curva se llama radio de curvatura en ese punto. El radio es un buen indicador de saber qué tanto la curva se curvea en cada punto. Otra forma de pensar en estos círculos es que estos abrazan a la curva más cerca que cualquier otro círculo.
Otro término importante es el de curvatura, que es simplemente uno dividido entre el radio de curvatura. Por lo general se denota con κ\kappa, un símbolo pequeño y con estilo:
κ=1R\kappa = \dfrac{1}{R}
Verificación de conceptos: Cuando una curva está muy cerca de ser una línea recta, la curvatura será

Calcular la curvatura

Supongamos que tienes una función que define una curva en el plano xyxy. Por ejemplo, la curva que usamos en la sección anterior está definida por la siguiente función vectorial:
s(t)=[tsin(t)1cos(t)] \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t - \sin(t) \\ 1 - \cos(t) \end{array} \right]
Esto es lo mismo que decir que está definida por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x(t)=tsin(t)y(t)=1cos(t)\begin{aligned} \quad x(t) &= t - \sin(t) \\ y(t) &= 1 - \cos(t) \end{aligned}
Calcular la curvatura implica los siguientes dos pasos:

Paso 1: encuentra un vector unitario tangente

Un "vector unitario tangente" a la curva en un punto es, como es lógico esperar​, un vector tangente de longitud 11. En el contexto de una curva paramétrizada definida como s(t)\vec{\textbf{s}}(t), "obtener un vector unitario tangente" casi siempre significa obtener todos los vectores unitarios tangentes. Es decir, lo que se hace es definir una función vectorial T(t)T(t), que toma el mismo parámetro de entrada y arroja un vector unitario que es tangente a la curva en el punto s(t)\vec{\textbf{s}}(t).

Paso 2: encuentra dTds\dfrac{dT}{ds}

Mientras viajas a lo largo de la curva según s(t)\vec{\textbf{s}}(t), el vector unitario va cambiando de dirección mientras haces el recorrido. En vueltas cerradas el vector unitario cambia muy bruscamente, mientras que en partes relativamente rectas, apenas cambia en absoluto. De hecho, la curvatura, κ\kappa, está definida como la derivada de la función del vector unitario tangente.
Sin embargo, no es la derivada con respecto al parámetro tt, ya que podría depender en qué tan rápido te mueves a lo largo de la curva. La derivada se tiene que tomar con respecto a pequeños cambios en la longitud de arco, que generalmente se representa con la letra ss.
κ=dTds\kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right|
Por lo general, para calcular la curvatura se aplican dos pasos, primero se toma la derivada de TT con respecto a tt, y luego se divide entre dsdt||\dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt}||.
dTds=dTdtdsdt \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right| = \dfrac{ \left|\left| \dfrac{dT}{dt} \right|\right| }{ \left|\left| \dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt} \right|\right| }

Encontrar el vector unitario tangente

Volvamos a la función que teníamos anteriormente:
s(t)=[tsin(t)1cos(t)] \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t - \sin(t) \\ 1 - \cos(t) \end{array} \right]
Si lees el artículo sobre cómo derivar funciones vectoriales, sabrás que la derivada de esta función puede pensarse cómo un vector de velocidad.
dsdt=[ddt(tsin(t))ddt(1cos(t))]=[1cos(t)sin(t)] \dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(t - \sin(t)) \\ \\ \dfrac{d}{dt}(1 - \cos(t)) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Por ejemplo, si evaluamos la derivada que acabamos de calcular en un momento específico, digamos t=πt = \pi, este es el vector que obtendremos:
[1cos(π)sin(π)]=[20]\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(\pi) \\ \sin(\pi) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \end{aligned}
Al posicionar este vector para que su cola esté sobre el punto s(π)\vec{\textbf{s}}(\pi), donde la partícula se encuentra en el tiempo t=πt=\pi, este representa la velocidad de la partícula en ese momento.
Sin embargo, debemos ajustar un poco esta función, ya que queremos vectores unitarios tangentes. Por ejemplo, el vector del ejemplo tiene longitud 22 y 21[cita requerida]2 \ne 1^{\blueE{\text{[cita requerida]}}}.
Verificación de conceptos: dada la fórmula que acabamos de obtener s(t)\vec{\textbf{s}}'(t),
s(t)=[1cos(t)sin(t)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
¿cuál es la magnitud de este vector (como función del tiempo)?
Verificación de conceptos: ¿cuál es el vector unitario que apunta en la misma dirección de ? (Este vector no se relaciona tanto con nuestro problema, solo es para practicar con los vectores unitarios).
Pregunta clave: ¿cuál de las siguientes representa el vector tangente unitario de una curva parametrizada por s\vec{\textbf{s}} (como función del tiempo)?

Obtener la curvatura a partir del vector unitario tangente

Ahora tenemos una expresión para el vector tangente unitario, como una función del tiempo, que lo vamos a denotar con letra TT mayúscula de tangente, (así que no debemos confundirla con la letra tt minúscula para referirnos al parámetro):
T(t)=s(t)s(t)\begin{aligned} \quad T(t) = \dfrac{\vec{\textbf{s}}'(t)}{||\vec{\textbf{s}}'(t)||} \end{aligned}
La curvatura κ\kappa es la magnitud de la derivada de este vector unitario tangente, pero con respecto a la longitud de arco ss, no al parámetro tt.
κ=dTds\begin{aligned} \quad \kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right| \end{aligned}
Sin embargo, la manera común para calcular la curvatura es a primero derivar TT con respecto a tt, luego dividir entre la de magnitud s(t)||\vec{\textbf{s}}'(t)||, que puedes pensar como dsdt\dfrac{ds}{dt}.
κ=dTds=dTdtdsdt \kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right| = \dfrac{ \left|\left| \dfrac{dT}{dt} \right|\right| }{ \left|\left| \dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt} \right|\right| }

Intuición

Vamos a detenernos por un momento para hacernos de algo de intuición. La derivada de T(t)T(t) nos dice cómo es que el vector tangente unitario cambia con respecto al tiempo. Dado que siempre es un vector unitario tangente, nunca cambia su longitud, solo cambia la dirección.
En un momento determinado t0t_0, puedes pensar al vector dTdt(t0)\dfrac{dT}{dt}(t_0) colocado encima de la punta del vector T(t0)T(t_0). Imagina que el vector derivada está tratando de jalar al vector T(t0)T(t_0) de una forma u otra, diciéndole, "¡Hey! ¡Apunta más en esta dirección!"
Dado que la longitud de T(t0)T(t_0) nunca cambia, este vector derivada siempre será perpendicular a T(t0)T(t_0); de lo contrario lo "jalaría" haciéndolo más corto o más largo.
Cuando el vector derivada es largo, está tirando del vector unitario tangente muy fuertemente para hacerle cambiar de dirección. Como consecuencia, la curva cambia de dirección más bruscamente. Eso significa que el radio de curvatura es menor y por lo tanto, un valor de curvatura más grande. Por el contrario, si el vector derivada es corto, jala al vector tangente muy suavemente. Esto se traduce en un giro muy suave y por lo tanto el radio de curvatura es grande y el valor de la curvatura muy pequeño.
Sin embargo, no queremos que las diferencias en la razón a la cual nos movamos a lo largo de curva influya en el valor de la curvatura, ya que es un concepto acerca de la geometría de la curva y no una trayectoria dependiente del tiempo de cualquier partícula que la recorra. Por esta razón, la curvatura requiere derivar TT con respecto a la longitud de arco, ss, en lugar del parámetro tt.

Ejemplo: la curvatura de una hélice

No hay específico acerca de dos dimensiones en todo lo que hemos hecho antes. Por ejemplo, encontremos la curvatura de la siguiente función tridimensional:
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t/5 \end{array} \right] \end{aligned}
La animación que aparece a continuación muestra la forma de esta curva, que se conoce como hélice. También podemos apreciar el radio de curvatura (dibujado en rojo) por medio del círculo (dibujado en verde) que mejor "abraza" a la curva en cada punto.
¡Ah sí! Nos gustaría llamar esto como "cálculo vectorial del hula-hula."
Algo que tal vez hayas notado es que el tamaño de estos círculos no parecen cambiar. Esto está lejos de ser verdad para casi cualquier curva tridimensional. Así que la hélice es realmente un caso muy especial.
Verificación de conceptos: al ver que los círculos no cambian de tamaño, ¿qué esperas que sea cierto sobre nuestra función curvatura κ(t)\kappa(t) ?
Si quieres obtener práctica con este tipo de problemas, ahora es el momento que se debe sacar lápiz y papel. Iremos juntos a través de este problema, pero dándote la oportunidad de intentar cada paso antes de mostrar la respuesta.

Paso 1: calcular la derivada

El primer paso para encontrar la curvatura es calcular la derivada de nuestra función,
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t/5 \end{array} \right] \end{aligned}
Esto nos dará un vector tangente a la curva que podemos transformar en un vector unitario tangente. Calcula esta derivada.

Paso 2: normalizar la derivada

Para obtener el vector tangente unitario tenemos que normalizar el vector derivada, es decir, dividirlo entre su magnitud. ¿Cuál es la magnitud de esta derivada?
Afortunadamente, en este caso es una constante, pues las cosas se pueden poner muy difíciles cuando no lo es. Con el uso de las dos respuestas anteriores, menciona ¿cuál es el vector unitario tangente T(t)T(t) como función del tiempo?

Paso 3: obtén la derivada del vector tangente unitario

Para obtener la curvatura, debemos encontrar la derivada de esta función, con respecto al tiempo, y luego calcular su magnitud. ¿Cuál es la derivada de T(t)T(t) en este caso?

Paso 4: encuentra la magnitud de este vector

¿Cuál es la magnitud de este vector?

Paso 5: divide este valor entre v(t)||\vec{\textbf{v}}'(t)||

Para pasar de dTdt\dfrac{dT}{dt} a dTds\dfrac{dT}{ds}, hay que dividir esto entre la magnitud de la derivada de la función paramétrica original.
Observa que es una constante, por lo tanto, la curvatura es la misma en todos los puntos de la hélice.

Resumen

  • El radio de curvatura en un punto en la curva es, a grandes rasgos, el radio del círculo que mejor se ajusta la curva es ese punto.
  • La curvatura, denotada como κ\kappa, es uno dividido entre el radio de la curvatura .
  • Para calcular la curvatura de una curva definida por la función paramétrica s\vec{\textbf{s}}:
    • Obtener el vector unitario al normalizar la derivada de s\vec{\textbf{s}}:
      T(t)=s(t)s(t)\begin{aligned} \quad T(t) = \dfrac{\vec{\textbf{s}}'(t)}{||\vec{\textbf{s}}'(t)||} \end{aligned}
    • La curvatura se define como la magnitud de la derivada de este valor con respecto a la longitud de arco ss, y la puedes calcular usando la siguiente fórmula:
κ=dTds=dTdtdsdt \kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right| = \dfrac{ \left|\left| \dfrac{dT}{dt} \right|\right| }{ \left|\left| \dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt} \right|\right| }
  • La intuición de este concepto es que el vector tangente unitario te dice en qué dirección te estás moviendo, y la razón a la que este vector cambia con respecto a pequeños pasos, dsds, sobre la curva es una buena indicación de qué tan rápido estás girando.
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