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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 8: Derivar funciones con valores vectoriales (artículos)

Derivadas de funciones vectoriales

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Cómo calcular, y sobre todo cómo interpretar, la derivada de una función con un vector como valor de salida.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Para obtener la derivada de una función vectorial, se aplica la derivada a cada componente:
$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
Si interpretas a la función inicial como que da la posición de una partícula como una función del tiempo, la derivada te da el vector velocidad de esa partícula como una función del tiempo.

La derivada de una función vectorial

¡Te tenemos buenas noticias! Calcular la derivada de una función vectorial no es nada realmente nuevo. Por lo tanto, este artículo será bastante corto. Aquí, el nuevo aprendizaje es la interpretación del vector derivada.

Intentar con un ejemplo

Vamos a comenzar con una función vectorial relativamente simple start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, que tiene solo dos componentes,

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

Para sacar la derivada de una función vectorial start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, hay que sacar la derivada de cada componente:

$\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}(2 \sin(t)) \\ \frac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2 \cos(t/3) - \frac{2}{3}\sin(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

También puedes escribir esta derivada como start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis. Esta derivada es una nueva función vectorial, cuyo valor de entrada t, es el mismo que el de start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, y cuyo valor de salida tiene el mismo número de dimensiones que la función original.

En concreto, si escribimos las componentes de start bold text, s, end bold text, with, vector, on top como x, left parenthesis, t, right parenthesis y y, left parenthesis, t, right parenthesis, la derivada la podemos escribir así:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

La derivada nos da el vector velocidad

Para el ejemplo anterior, ¿cómo podemos visualizar lo que significa la derivada? Primero, para visualizar

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

observamos que la salida de la función tiene más dimensiones que la entrada, por lo que queda perfecto verla como una función paramétrica.

Cada punto en la curva representa la punta del vector

\left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right]

asociado al número t, start subscript, 0, end subscript. Por ejemplo, si t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2 dibujamos el vector hasta el punto

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(2) \\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1.819 \\ 3.144 \end{array} \right] \end{aligned}

Cuando hacemos esto mismo con todos los posibles valores de entrada t, las puntas de los vectores start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis trazarán una cierta curva:

¿Qué es lo que obtenemos cuando evaluamos algún valor de t, por ejemplo otra vez 2, en la derivada?

\begin{aligned} \quad \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\ 2 \cos(2/3) - \frac{2}{3}\sin(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0.832 \\ 0.747 \end{array} \right] \end{aligned}

Este también es un vector bidimensional.

Es difícil ver qué representa este vector derivada cuando está en el origen, pero si lo trasladamos de tal forma que su cola esté sobre la punta del vector start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis, tiene una interpretación maravillosa.

Si start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis representa la posición de una partícula que viaja como función del tiempo, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es el vector velocidad de esa partícula al tiempo t, start subscript, 0, end subscript.
La derivada es un vector de velocidad tangente a la curva.

Particularmente, esto significa que la dirección del vector es tangente a la curva, y su magnitud es la rapidez a la que se viaja sobre esta curva, conforme t aumenta a una tasa constante (como lo hace el tiempo).

Revisión de conceptos: supongamos que la posición en un espacio bidimensional de una partícula, como función del tiempo, está dada por

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}

¿Qué es start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction?

(Elección A)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 3t^2 \\ 2t \end{array} \right] \end{aligned}$
(Elección B)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2t \\ 3t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$
(Elección C)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} t \\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Respuesta]

¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t, equals, 3?

(Elección A)
square root of, 6, squared, plus, 27, squared, end square root, approximately equals, 27, point, 659
(Elección B)
6, squared, plus, 27, squared, equals, 765

[Respuesta]

Resumen

Para calcular la derivada total de una función vectorial, hay que sacar la derivada de cada componente:
Si interpretas a la función inicial como que da la posición de una partícula como una función del tiempo, la derivada te da el vector velocidad de esa partícula como una función del tiempo.

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Amaranta Martínez De La Rosa
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Hay una diferencia (al me...” de Amaranta Martínez De La Rosa
Hay una diferencia (al menos en español) entre velocidad y rapidez. Entendemos por rapidez a la magnitud de la velocidad, que es un vector. Así en la última pregunta, debieron preguntar por la magnitud de la velocidad.
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