Cómo calcular, y sobre todo cómo interpretar, la derivada de una función con un vector como valor de salida.

Qué vamos a construir

  • Para sacar la derivada de una función vectorial, hay que sacar la derivada de cada componente:
    ddt[x(t)y(t)]=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}
  • Si interpretas a la función inicial como que da la posición de una partícula como una función del tiempo, la derivada te da el vector velocidad de esa partícula como una función del tiempo.

La derivada de una función vectorial

¡Te tenemos buenas noticias! Calcular la derivada de una función vectorial no es nada realmente nuevo. Por lo tanto, este artículo será bastante corto. Aquí, el nuevo aprendizaje es la interpretación del vector derivada.

Intentar con un ejemplo

Vamos a comenzar con una función vectorial relativamente simple s(t)\vec{\textbf{s}}(t), que tiene solo dos componentes,
s(t)=[2sin(t)2cos(t/3)t]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}
Para sacar la derivada de una función vectorial s\vec{\textbf{s}}, hay que sacar la derivada de cada componente:
dsdt(t)=[ddt(2sin(t))ddt(2cos(t/3))t]=[2cos(t)2cos(t/3)23sin(t/3)t] \begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}(2 \sin(t)) \\ \frac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2 \cos(t/3) - \frac{2}{3}\sin(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}
También puedes escribir esta derivada como s(t)\vec{\textbf{s}}'(t). Esta derivada es una nueva función vectorial, cuyo valor de entrada tt, es el mismo que el de s\vec{\textbf{s}}, y cuyo valor de salida tiene el mismo número de dimensiones que la función original.
En concreto, si escribimos las componentes de s\vec{\textbf{s}} como x(t)x(t) y y(t)y(t), la derivada la podemos escribir así:
s(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}

La derivada nos da el vector velocidad

Para el ejemplo anterior, ¿cómo podemos visualizar lo que significa la derivada? Primero, para visualizar
s(t)=[2sin(t)2cos(t/3)t]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}
observamos que la salida de la función tiene más dimensiones que la entrada, por lo que queda perfecto verla como una función paramétrica.
Cada punto en la curva representa la punta del vector [2sin(t0)2cos(t0/3)t0] \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right] asociado al número t0t_0. Por ejemplo, si t0=2t_0=2 dibujamos el vector hasta el punto
s(2)=[2sin(2)2cos(2/3)2][1.8193.144] \begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(2) \\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1.819 \\ 3.144 \end{array} \right] \end{aligned}
Cuando hacemos esto mismo con todos los posibles valores de entrada tt, las puntas de los vectores s(t)\vec{\textbf{s}}(t) trazarán una cierta curva:
¿Qué es lo que obtenemos cuando evaluamos algún valor de tt, por ejemplo otra vez 22, en la derivada?
dsdt(2)=[2cos(2)2cos(2/3)23sin(2/3)2][0.8320.747] \begin{aligned} \quad \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\ 2 \cos(2/3) - \frac{2}{3}\sin(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0.832 \\ 0.747 \end{array} \right] \end{aligned}
Este también es un vector bidimensional.
Es difícil ver qué representa este vector derivada cuando su cola está sobre el origen, pero si lo trasladamos de tal forma que su cola se encuentre sobre la punta del vector s(2)\vec{\textbf{s}}(2), encontraremos una interpretación maravillosa.
  • Si s(t) \vec{\textbf{s}}(t) representa la posición de una partícula que viaja como función del tiempo, dsdt(t0)\dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t_0) es el vector velocidad de esa partícula al tiempo t0t_0.
Particularmente, esto significa que la dirección del vector es tangente a la curva, y su magnitud es la rapidez a la que se viaja sobre esta curva, conforme tt aumenta a una tasa constante (como lo hace el tiempo).
Revisión de conceptos: supongamos que la posición en un espacio bidimensional de una partícula, como función del tiempo, está dada por
s(t)=[t2t3]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}
¿Qué es dsdt\dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}?
¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t=3t = 3?

Resumen

  • Para calcular la derivada total de una función vectorial, hay que sacar la derivada de cada componente:
  • Si interpretas a la función inicial como que da la posición de una partícula como una función del tiempo, la derivada te da el vector velocidad de esa partícula como una función del tiempo.
Cargando