No entiendo, por qué dicen que el producto del gradiente por el vector tangente es una derivada direccional? Si el vector tangente no es un necesariamente un versor. Las derivadas direccionales son con versores no con cualquier vector.

No todos los autores exigen que el vector en cuestión tenga módulo uno (si a eso te refieres con "versor"), véase por ejemplo el "Análisis Matemático" de T.M. Apostol

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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 8: Derivar funciones con valores vectoriales (artículos)

La regla de la cadena multivariable: versión simple

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La regla de la cadena para derivadas puede extenderse a dimensiones más altas. Aquí estudiamos cómo se ve en el caso relativamente simple en el que la composición es una función con una variable.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Dada una función multivariable $f (x, y)$ ‍, y dos funciones de una sola variable $x (t)$ ‍ y $y (t)$ ‍, la regla de la cadena para funciones multivariables dice:

\underset{Derivada de la función compuesta}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

En notación vectorial $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, la fórmula anterior tiene una expresión muy elegante usando el gradiente de $f$ ‍ y la derivada del vector $\vec{v} (t)$ ‍.

\underset{Derivada de la función compuesta}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Producto punto de vectores}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

Una regla de la cadena más general

Como probablemente puedes imaginar, la regla de la cadena multivariable generaliza la regla de la cadena para funciones de una sola variable. La regla de la cadena de una sola variable te dice cómo calcular la derivada de una composición de dos funciones:

\frac{d}{d t} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \frac{d g}{d t} = f^{'} (g (t)) g^{'} (t)

¿Qué pasa si en lugar de que la función

f

tenga un valor de entrada

t

en una dimensión, tuviera un valor de entrada en dos dimensiones,

(x, y)

f (x, y) = \dots alguna expresión de x y y \dots

Bueno, en ese caso, no tendría sentido componerla con una función escalar

g (t)

. En cambio, supongamos que hay dos funciones escalares

x (t)

y (t)

, y las introducimos como coordenadas de

f

. La composición total será una función de una variable, con un solo número de entrada

t

y un solo número de salida

f (x (t), y (t))

, como se muestra en este diagrama:

\begin{array}{rrcl} Una salida final & f (x (t), y (t)) \\ ↗ & ↖ \\ Dos salidas intermedias & x (t) & y (t) \\ ↖ & ↗ \\ Una entrada & t \end{array}

Hay una regla de la cadena que te permite calcular la derivada de esta nueva función

f (x (t), y (t))

de una sola variable, e involucra a las derivadas parciales de

f

\begin{array}{ccccc} Cómo cambia f & Cómo cambia x \\ debido a un cambio & debido a un cambio \\ pequeño en x & pequeño en t \\ ↘ ↙ \\ \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t}}} f (x (t), y (t)) & = & \underset{↑}{\underset{⏟}{\overset{⏞}{\frac{\partial f}{\partial x}} \overset{⏞}{\frac{d x}{d t}}}} & + & \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}}} \\ Esta es una derivada ordinaria, & Cambio total en f & Cambio total en f \\ no una derivada parcial \frac{\partial}{\partial t} & debido a la influencia & debido a la influencia \\ pues la composición total & que t tiene en x & que t tiene en y \\ tiene una entrada y una salida. \end{array}

Ten en mente que una expresión como

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}

es una abreviación de

\frac{\partial f}{\partial x} (x (t), y (t)) \frac{d x}{d t} (t)

Es decir, ambas son funciones de

t

, pero

\frac{\partial f}{\partial x}

se evalúa a través de las funciones intermedias

x (t)

y (t)

Ahora con notación vectorial

En lugar de pensar en

x (t)

y (t)

como funciones separadas, es común pensarlas como un paquete en una sola función vectorial:

\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]

En vez de escribir la composición como

f (x (t), y (t))

, la podemos escribir como

f (\vec{v} (t))

Con esta notación, la regla de la cadena para varias variables se puede escribir de manera más compacta usando el producto punto del gradiente de

f

con la derivada del vector

\vec{v} (t)

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \underset{Vuelve a escribir esta suma como un producto punto}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \frac{d y}{d t}}} \\ = \underset{\nabla f (\vec{v} (t))}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \end{array}]}} \cdot \underset{{\vec{v}}^{'} (t)}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} \end{array}]}} \\ = \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{aligned}

Escrita así, la analogía con las derivadas de una sola variable es más clara.

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (g (t)) = f^{'} (g (t)) g^{'} (t) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t} \end{array}

El gradiente

\nabla f

juega el papel de la derivada de

f

, y el vector derivada

{\vec{v}}^{'} (t)

juega el papel de la derivada ordinaria de

g

Intuición detrás de la validez de la regla de la cadena

Como calentamiento, considera la regla de la cadena para una función

f (g (t))

de una sola variable. Así es como entendemos esa composición:

En primer lugar, $g$ ‍ mapea un punto $t$ ‍ en la recta numérica a otro punto $g (t)$ ‍ de la recta numérica.
Luego $f$ ‍ mapea el punto $g (t)$ ‍ a otro punto $f (g (t))$ ‍ en la recta numérica

Para entender la derivada de

f (g (t))

tienes que entender cómo es que un pequeño cambio en

t

cambia el valor final de salida.

Así que vamos a sumergirnos en lo que realmente está diciendo la regla de la cadena.

\frac{d}{d x} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t}

El término $\frac{d g}{d t}$ ‍ representa cómo un pequeño cambio en $t$ ‍ influye en el valor intermedio de salida, $g (t)$ ‍.

El término $\frac{d f}{d g}$ ‍ representa cómo un pequeño cambio en $g$ ‍ influye en el valor final de salida, $f (g (t))$ ‍.

El cambio total en $f$ ‍ debido a un cambio pequeño en $t$ ‍ es entonces el producto de ambas influencias.
Al combinar las dos explicaciones previas, si el cambio en $g$ ‍ ocurrió por un cambio $h$ ‍ en $t_{0}$ ‍, entonces el cambio $k$ ‍ en $g (t_{0})$ ‍ es aproximadamente
$k \approx (\frac{d g}{d t} (t_{0})) \cdot h$ ‍.
Al sustituir este valor de $k$ ‍, el cambio resultante de $f$ ‍, que es el que nos interesa, es de $\begin{array}{r} (\frac{d f}{d g} g (t_{0})) \cdot (\frac{d g}{d x} (t_{0})) \cdot h \end{array}$ ‍
Mientras más pequeño es $h$ ‍, más certero es este estimado.
Pregunta de desafío: haz de este un mejor argumento al evaluar
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (g (t_{0} + h)) - f (g (t_{0}))}{h} \end{array}$ ‍
usando las definiciones basadas en el límite de $\frac{d f}{d g}$ ‍ y $\frac{d g}{d t}$ ‍.
(Pista: comienza por reemplazar $g (t_{0} + h)$ ‍ con algún valor límite).

Extender esta intuición a más dimensiones

La idea intuitiva para la regla de la cadena multivariable es similar. Puedes pensar que

\vec{v}

mapea un punto de la recta numérica a un punto en el plano

x y

, y

f (\vec{v} (t))

mapea ese punto de regreso hasta algún punto en la recta numérica. La pregunta es ¿cómo un pequeño cambio en el valor de entrada

t

cambia el valor total de salida

f (\vec{v} (t))

Vamos a entender a fondo la regla de la cadena para funciones multivariables en términos de las funciones componentes

x (t)

y (t)

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) = \frac{d}{d t} f (x (t), y (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

El término $\frac{d x}{d t}$ ‍ representa cómo un pequeño cambio en $t$ ‍ influye en la salida intermedia $x (t)$ ‍.

Del mismo modo, el término $\frac{d y}{d t}$ ‍ representa cómo un pequeño cambio en $t$ ‍ influye en la segunda salida intermedia $y (t)$ ‍.

El término $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ representa cómo el cambio en la componente $x$ ‍ de una entrada de $f$ ‍ influye en su salida; de manera similar, el término $\frac{\partial f}{\partial y}$ ‍ representa cómo un pequeño cambio en la componente $y$ ‍ de la entrada cambia $f$ ‍.

Una manera en la que un pequeño cambio en $t$ ‍ influye en $f (x (t), y (t))$ ‍ es que primero cambia $x (t)$ ‍, que a su vez cambia $f$ ‍. Este efecto lo captura el producto $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}$ ‍.
El cambio en $f$ ‍ debido a una pequeña variación en $x (t)$ ‍, que a su vez es provocada por un pequeño cambio en $t$ ‍, se expresa de la siguiente manera:
$\begin{aligned} f (x (t_{0} + h), y (t_{0})) & - f (x (t_{0}), y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
Sabemos que podemos aproximar $x (t_{0} + h)$ ‍ como
$\begin{array}{r} x (t_{0} + h) \approx x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h \end{array}$ ‍
Por lo que la cantidad que nos importa se vuelve
$\begin{aligned} f (x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h, y (t_{0})) & - f (x (t_{0}), y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
Pero esta expresión tan solo nos pregunta cómo un pequeño cambio en la coordenada $x$ ‍ de la entrada de $f$ ‍ influye la salida, que sabemos que podemos aproximar por medio de la derivada parcial con respecto a $x$ ‍:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} (x (t_{0}), y (t_{0}))) \overset{Un pequeño cambio en x}{\overset{⏞}{(\frac{d x}{d t} (t_{0})) h}} \end{array}$ ‍

Otra manera en que un cambio en $t$ ‍ cambia el valor de salida de $f$ ‍ es primero cambiando el segundo valor de salida intermedio $y (t)$ ‍, que a su vez afecta la salida de $f$ ‍. El producto $\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$ ‍ refleja este efecto.
Al sumar estos dos productos obtenemos el cambio total en $f$ ‍.

Conexión con la derivada direccional

Es probable que te hayas dado cuenta que la expresión en forma de producto punto de la regla de la cadena multivariable se parece mucho a la derivada direccional:

\begin{array}{r} \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{array}

De hecho ¡eso es exactamente lo que es! La derivada

{\vec{v}}^{'} (t_{0})

en un valor particular

t_{0}

es un vector en el espacio de entradas de

f

\begin{array}{r} {\vec{v}}^{'} (t_{0}) = [\begin{array}{c} x^{'} (t_{0}) \\ y^{'} (t_{0}) \end{array}] \end{array}

Si interpretamos

\vec{v} (t)

como una curva parametrizada dentro de este espacio, tal vez pensándola como la trayectoria de una partícula, la derivada en un punto particular en el tiempo

t_{0}

nos da el vector velocidad de la partícula en ese momento.

Con esta interpretación, la regla de la cadena nos dice que la derivada de la composición

f (\vec{v} (t))

es la derivada direccional de $f$ ‍ en dirección de la derivada de $\vec{v} (t)$ ‍.

Esto deber tener sentido, pues un cambio pequeño de

t

por "

d t

" debe, dado el significado de la derivada, provocar un cambio pequeño

d \vec{v}

a la salida de

\vec{v} (t)

. Y el punto de la derivada direccional es que un cambio pequeño

d \vec{v}

en la entrada de

f

provoca un cambio

d f

determinado por

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \nabla_{\vec{v}} f

Ejemplo 1: con y sin la nueva regla de la cadena

Define

f (x, y)

así:

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} y \end{array}

Luego define

\vec{v} (t)

así:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

Encuentra la derivada

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))

Solución sin la regla de la cadena:

Antes de utilizar nuestra nueva y elegante herramienta, vale la pena señalar que podemos resolver este problema escribiendo la composición como una función de una sola variable

t

\begin{aligned} f (\vec{v} (t)) & = f (\cos (t), \sin (t)) \\ = \cos (t)^{2} \sin (t) \end{aligned}

Ahora puedes sacar la derivada ordinaria:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \cos (t)^{2} \sin (t) \\ = \cos (t)^{2} (\cos (t)) + 2 \cos (t) (- \sin (t)) \sin (t) \\ = \cos^{3} (t) - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) \end{aligned}

Pero por supuesto, el propósito de este ejemplo es ganar una idea de cómo se siente la regla de la cadena.

Solución usando la regla de la cadena:

Primero, indiquemos explícitamente las componentes vectoriales de la función

\vec{v} (t)

\begin{aligned} x (t) & = \cos (t) \\ y (t) & = \sin (t) \end{aligned}

De acuerdo a la regla de la cadena,

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \end{aligned}

Tomando las derivadas parciales de

f (x, y) = x^{2} y

y las derivadas ordinarias de

x (t) = \cos (t)

y (t) = \sin (t)

, obtenemos

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\sin (t)) \\ = (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \end{aligned}

Queremos todo en términos de

t

, por lo que sustituimos

x = \cos (t)

y = \sin (t)

\begin{aligned} (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \\ (2 \cos (t) \sin (t)) (- \sin (t)) + (\cos (t)^{2}) \cos (t) \\ = & - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) + \cos^{3} (t) \end{aligned}

Es tranquilizante que la respuesta sea igual que la que obtuvimos sin usar la regla de la cadena. Puedes pensar que esta nueva regla de la cadena complica las cosas de manera innecesaria, y el pequeño secreto sucio es que a menudo no se necesita para cálculos concretos como este.

Sin embargo, es útil para escribir ecuaciones en términos de una función desconocida, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: función desconocida

Supón que la temperatura en una región bidimensional varía de acuerdo con una función desconocida

T (x, y)

, y que vas por esta región midiendo la temperatura conforme caminas; las coordenadas

x

y

como funciones del tiempo son

\begin{aligned} x (t) & = 30 \cos (2 t) \\ y (t) & = 40 \sin (3 t) \end{aligned}

Al medir las temperaturas, te das cuenta que nunca cambian sobre tu trayectoria. ¿Qué puedes decir de las derivadas parciales de

T

La temperatura que experimentas como función del tiempo es

T (x (t), y (t)) = T (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t))

El hecho de que nunca cambie significa que su derivada, como función del tiempo, es

0

. Con la regla de la cadena multivariable, podemos escribir la derivada de esta función en términos de las derivadas parciales de

T

\begin{aligned} \frac{d}{d t} T (x (t), y (t)) & = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ = \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 30 (2) (- \sin (2 t)) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 40 (3) \cos (3 t) \\ = - \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 60 \sin (2 t) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

De manera más precisa, debemos evaluar estas derivadas parciales en

(x, y) = (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t))

, por lo que la expresión completa para lo que sabemos de la función desconocida de temperatura,

T

, es

\begin{aligned} 0 = - & \frac{\partial T}{\partial x} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 60 \sin (2 t) + \\ \frac{\partial T}{\partial y} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

Resumen

Dada una función multivariable $f (x, y)$ ‍, y dos funciones de una sola variable $x (t)$ ‍ y $y (t)$ ‍, la regla de la cadena para funciones multivariables dice:

\underset{Derivada de la función compuesta}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

En notación vectorial $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, la fórmula anterior tiene una expresión muy elegante usando el gradiente de $f$ ‍ y la derivada del vector $\vec{v} (t)$ ‍.

\underset{Derivada de la función compuesta}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{Producto punto de vectores}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

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Ale Watters
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “No entiendo, por qué dice...” de Ale Watters
No entiendo, por qué dicen que el producto del gradiente por el vector tangente es una derivada direccional? Si el vector tangente no es un necesariamente un versor. Las derivadas direccionales son con versores no con cualquier vector.
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- albertexose
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Completa la tabla para la regla dada.
Regla: y=\dfrac{1}{3}xy=
3
1

x
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mario.lozano
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Completa la tabla para la...” de mario.lozano
Completa la tabla para la regla dada.
Regla: y=\dfrac{x}{2}y=
2
x

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