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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 11: La divergencia y el rotacional (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La divergencia y el rotacional (artículos)
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El rotacional: rotación de un fluido en tres dimensiones

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El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones.

Antecedentes

Observa: A lo largo de este artículo usaremos la siguiente convención
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top representa al vector unitario en dirección de la coordenada x.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top representa al vector unitario en dirección de la coordenada y.
  • start bold text, k, end bold text, with, hat, on top representa al vector unitario en dirección de la coordenada z.

Qué vamos a construir

  • El rotacional es un operador que toma una función, la cual representa un campo vectorial de tres dimensiones, y le asigna otra función que representa un campo vectorial diferente de tres dimensiones.
  • Si un fluido se esparce en un espacio de tres dimensiones a lo largo de un campo vectorial, entonces la rotación de dicho fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dada por el rotacional del campo vectorial original evaluado en ese punto. El campo vectorial rotacional se debe multiplicar por un medio para que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez rotacional del fluido.
  • Si una función que toma valores de vectores tridimensionales start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis tiene como funciones componentes a start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis y start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, entonces el rotacional se calcula de la siguiente manera:
    start underbrace, del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end underbrace, start subscript, start text, N, o, t, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, p, a, r, a, space, e, l, space, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, z, end fraction, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, z, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Describir la rotación con un vector

Si un objeto está rotando en dos dimensiones, puedes describir completamente la rotación con un número: la velocidad angular. Una velocidad angular positiva indica que la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj mientras un número negativo indica una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. El valor absoluto de la velocidad angular describe la velocidad de la rotación, normalmente en radianes por segundo.
Para un objeto rotando en tres dimensiones, la situación es más complicada. Necesitamos representar tanto la velocidad angular como la dirección en el espacio de tres dimensiones en el que el objeto está rotando.
Para hacer esto, la rotación en tres dimensiones normalmente se describe usando un simple vector. La magnitud del vector indica la rapidez angular y la dirección es determinada por una convención muy importante llamada la "regla de la mano derecha".
  • REGLA DE LA MANO DERECHA: dobla los dedos de tu mano derecha en la dirección de la rotación y extiende tu dedo pulgar. El vector que representa esta rotación en tres dimensiones está, por definición, orientado en dirección de tu dedo pulgar.
Tu dedo pulgar debe apuntar a lo largo del eje de rotación. Adoptar esta convención de usar la mano derecha en vez de la izquierda nos permite distinguir entre una rotación en tres dimensiones y su rotación inversa. Básicamente, esto extiende la idea del sentido de las manecillas del reloj y el sentido contrario de las manecillas del reloj en tres dimensiones.
Por ejemplo, la rotación de la Tierra en el espacio se describiría usando un vector que apuntara desde el centro de la Tierra hacia el polo norte, cuya longitud es igual a la rapidez angular de la rotación de la Tierra (que resulta ser 0, point, 0000729 radianes/segundo).

Repaso de rotación de un fluido en dos dimensiones

En la introducción al rotacional, presentamos cómo un fluido se mueve a lo largo de un campo vectorial de dos dimensiones definido por una función.
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \end{array} \right] \\ &= (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
La siguiente animación muestra una simulación de este fenómeno, en el cual las partículas del fluido (dibujadas de color azul) siempre se mueven en la dirección del vector más cercano. Con el fin de estudiar el rotacional, nota qué pasa dentro y alrededor de las regiones circulares.
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El fluido rota en sentido contrario a las manecillas del reloj en los círculos de la izquierda y la derecha, y en sentido de las manecillas del reloj en los círculos de arriba y abajo. En el estudio del rotacional, la pregunta clave es esta: ¿qué tanto rota el fluido alrededor de un punto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el plano?
En el último artículo, dimos una idea intuitiva de que la respuesta a esta pregunta es lo que llamaríamos el rotacional en dos dimensiones de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, el cual tiene la siguiente fórmula:
rotacional en dos dimensiones  v⃗(x0,y0)=∂v2∂x(x0,y0)−∂v1∂y(x0,y0)\begin{aligned} \quad \text{rotacional en dos dimensiones}\;\vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) = \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0) - \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\redE{\partial y}}(x_0, y_0) \end{aligned}
En este caso, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 y start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 son las componentes de la función vectorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Por ejemplo, con el campo vectorial expresado arriba, definido por left parenthesis, y, cubed, minus, 9, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, x, cubed, minus, 9, x, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, la respuesta sería
∂(x3−9x)∂x−∂(y3−9y)∂y=3x2−9−(3y2−9)=3x2−3y2\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial({x^3-9x})}{\partial x} - \dfrac{\partial({y^3-9y})}{\partial y} &= 3x^2 - 9 - (3y^2-9) \\ &= 3x^2-3y^2 \end{aligned}
Observación, el resultado es una función escalar. Evalúas un punto, como left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis, y obtienes un único número que indica la velocidad angular del fluido alrededor del punto, 3, left parenthesis, 2, right parenthesis, squared, minus, 3, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 12, minus, 3, equals, 9. Resulta que este número representa dos veces la rapidez angular del fluido alrededor del punto, así que la rapidez de rotación es 4, point, 5 radianes/segundo (más adelante hablaremos más sobre esto). El punto importante es que obtengas un simple escalar que describa la rotación.
Esto debe tener sentido porque la rotación de un único objeto en dos dimensiones puede ser representado con un único número (o escalar), así que la rotación alrededor de todos los posibles puntos en un fluido desplazándose debe ser representada con una función escalar
Pregunta para reflexionar: en la animación del flujo de fluido mostrada anteriormente, ¿el fluido tiene una componente rotacional en el origen left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Moverse a tres dimensiones

Como preparación para movernos hacia tres dimensiones, vamos a expresemos la rotación del fluido anterior utilizando vectores. Enfoquémonos en la región de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, tal como lo muestra la animación anterior en el círculo hasta la derecha. Imagínate que mueves los dedos de tu mano derecha alrededor de este círculo, de tal manera que apunten en la dirección de las flechas (en sentido contrario a las manecillas del reloj en este caso), y extiende tu pulgar. Tu pulgar debe estar apuntando hacia afuera de la página, en una dirección positiva sobre el eje z, paralelo al vector unitario start bold text, k, end bold text, with, hat, on top.
Si hiciéramos esto en cada punto, asignando un vector a la rotación alrededor de cada punto en el plano x, y de acuerdo a la fórmula start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, obtendrías algo así:
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Los vectores que apuntan en una dirección positiva sobre el eje z indican que la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de ese punto. Los vectores que apuntan en la otra dirección indican que la rotación es en sentido de las manecillas del reloj, como vimos previamente en el plano x, y. La longitud de cada vector indica la rapidez de la rotación. Puedes describir este sistema de vectores con la expresión
left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Esto es prácticamente un campo vectorial en tres dimensiones salvo que solo estamos observando puntos en el plano x, y, no en todo el espacio. El rotacional por sí mismo únicamente sirve en campos vectoriales de tres dimensiones, así que para poder presentar adecuandamente el siguiente material, hagamos propiamente un ejemplo en tres dimensiones. Para empezar, extendamos nuestra función vectorial original start bold text, v, end bold text, with, vector, on top a una función similar en tres dimensiones start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript.
v⃗3d(x,y,z)=[y3−9yx3−9x0]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^+(0)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}_{3d}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \\ \greenE{0} \end{array} \right] = (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} + (\greenE{0})\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Para ser un campo vectorial en tres dimensiones esto todavía se ve muy plano, ¿verdad? La componente start bold text, k, end bold text, with, hat, on top es 0 en todos lados y ninguna de las componentes depende del valor de entrada z. Básicamente solo copiamos el campo vectorial original de dos dimensiones en cada rebanada del espacio de tres dimensiones de manera paralela al plano x, y.
El siguiente video muestra cómo se ve el campo vectorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript, en el cual mantenemos el plano x, y (de color gris) y los círculos rojos como puntos de referencia. Observa que en cada plano paralelo al plano x, y, los vectores son idénticos a los vectores originales que estaban en el plano x, y del campo vectorial de dos dimensiones start bold text, v, end bold text, with, vector, on top de la sección anterior.
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De nuevo, imagínate que este campo vectorial está representando el movimiento de un fluido, como si fuera aire en un cuarto o agua en una piscina. Cuando representamos la rotación de este fluido alrededor de cada punto como un vector añadido a dicho punto, obtenemos un nuevo campo vectorial tal como se muestra en el siguiente video:
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Esto está dado por la función vectorial
start bold text, w, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Esta es la misma fórmula que teníamos previamente, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, pero lo importante es que ahora lo aplicamos a todos los puntos left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis en el espacio, no solo a los puntos left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el plano x, y.
  • El hecho de que la entrada z no afecte al valor de salida refleja que el movimiento de nuestro fluido es el mismo en todas las rebanadas paralelas al plano x, y.
  • El hecho de que las componentes start bold text, i, end bold text, with, hat, on top y start bold text, j, end bold text, with, hat, on top sean 0 significa que todos los vectores de rotación apuntan únicamente en dirección del eje z, lo que quiere decir que la rotación del fluido es paralela al plano x, y.
Este nuevo campo vectorial (azul) start bold text, w, end bold text, with, vector, on top es llamado el "rotacional" del campo vectorial (verde) inicial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript. Una manera en la que puedes ver esto expresado es
w⃗=rot v⃗3d\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{w}} = \text{rot}\,\vec{\textbf{v}}_{3d} \end{aligned}
Este es nuestro primer ejemplo de un verdadero rotacional en tres dimensiones: el rotacional, como un operador matemático, toma funciones vectoriales en tres dimensiones start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript, pensadas como si representaran el flujo de un fluido, y le asigna como valor de salida otra función vectorial en tres dimensiones "start text, r, o, t, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript" que representa la rotación alrededor de cada punto del fluido

Visualizar la rotación de un fluido en tres dimensiones

La rotación del flujo de un fluido en tres dimensiones no siempre es paralela totalmente al plano x, y. Esto puede hacer difícil imaginarse lo que sucede. Muy difícil.
Por ejemplo, imagina que el aire alrededor tuyo está soplando y arremolinándose de una manera caótica. Ahora elige un punto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el espacio. ¿De qué manera podrías interpretar el significado de la "rotación del aire cerca de ese punto"?
Aquí hay un par de estrategias:
  • Imagina que hay una pelota de tenis diminuta cuyo centro es el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, pero que puede rotar libremente. A lo mejor has hecho algún tipo de magia para que permanezca ahí o puede que tenga algún tipo de dispositivo ingenioso con suspensión magnética. El aire que sopla alrededor podría estar causando que gire en una dirección u otra. El vector rotacional asociado a ese punto será el vector que describe la rotación de esta pelota de tenis diminuta; de la misma manera, hemos descrito previamente la rotación de la Tierra utilizando solo un vector.
  • De manera alternativa, imagina una flecha de arquero con unas plumas gruesas y bonitas, como las que Robin Hood lanzaría. Coloca la flecha a la mitad del aire de tal manera que las plumas estén en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. De nuevo, has hecho algún tipo de magia y logrado que, de alguna manera, la base de la flecha esté fija en este punto, pero tienes la libertad de orientar la flecha en cualquier dirección que quieras y esta rota libremente dependiendo de la manera en la que el viento sopla sobre las plumas.
Si pruebas varias orientaciones para la flecha y encuentras una dirección en la que la corriente de aire provoque que la flecha gire lo más rápido posible, entonces esta es la dirección del vector rotacional en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Esto es, de alguna manera, análogo a la manera en la que el gradiente apunta en la "dirección de mayor crecimiento"; el rotacional apunta en la "dirección de mayor rotación".

Notación y fórmula para el rotacional

Denotemos a start bold text, v, end bold text, with, vector, on top como una función vectorial en general, con tres entradas left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis y un valor de salida con tres coordenadas. Escribiremos a este valor de salida de tres coordenadas en términos de tres funciones escalares: start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #bc2612, y start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f.
v⃗(x,y,z)=[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=v1(x,y,z)i^+v2(x,y,z)j^+v3(x,y,z)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y, z) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\\\&= \blueE{v_1(x, y, z)}\hat{\textbf{i}} + \redE{v_2(x, y, z)}\hat{\textbf{j}} + \greenE{v_3(x, y, z)}\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
La notación del rotacional usa el mismo símbolo "del" utilizado en las expresiones del gradiente y la divergencia, y de nuevo lo pensaremos como que representa a un vector de operadores de derivadas parciales:
∇=[∂∂x∂∂y∂∂z]\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \\ \end{array} \right] \end{aligned}
El rotacional se piensa como el producto cruz de este "vector" con la función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, que se calculó usando el determinante como de costumbre:
rotacional v⃗=∇×v⃗=[∂∂x∂∂y∂∂z]×[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=det([i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zv1v2v3])=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{rotacional}\,\vec{\textbf{v}} &= \nabla \times \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\ \\ &= \text{det}\left(\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \blueE{v_1} & \redE{v_2} & \greenE{v_3} \end{array} \right]\right) \\ \\ &= \boxed{ \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} } \end{aligned}
Ya sé lo que estás pensando: "Es el determinante más extraño que he visto en la vida. ¡Ninguno de los elementos son siquiera números! Un renglón tiene vectores, otro tiene operadores y otro tiene funciones. ¿De verdad se puede hacer eso?" Es un poco raro, desde luego, pero funciona como un truco de notación más que nada.

Idea intuitiva de la fórmula

Observemos detenidamente el resultado final:
rotacional v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{rotacional}\,\vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Nota, cada componente es como su propia versión del operador start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text que vimos en la introducción al rotacional. De hecho, la componente start bold text, k, end bold text, with, vector, on top tiene exactamente la misma fórmula que el start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text. Esto debería tener sentido porque la componente start bold text, k, end bold text, with, vector, on top del rotacional debe medir la componente de la rotación del fuido que es paralela al plano x, y.
De manera análoga, las componentes start bold text, i, end bold text, with, hat, on top y start bold text, j, end bold text, with, hat, on top miden las componentes de la rotación del fuido paralela a los planos y, z y x, z respectivamente.
(∂v3∂y−∂v2∂z)i^← Componente del rotacional paralelo al plano yz (∂v1∂z−∂v3∂x)j^← Componente del rotacional paralelo al plano xz (∂v2∂x−∂v1∂y)k^← Componente del rotacional paralelo al plano xy \begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente del rotacional paralelo al plano $\redE{y}\greenE{z}$ }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente del rotacional paralelo al plano $\blueE{x}\greenE{z}$ }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente del rotacional paralelo al plano $\blueE{x}\redE{y}$ }}} \\ \\ \end{aligned}
Una pequeña diferencia que debo subrayar es que cuando evalúas el rotacional cerca de un punto para obtener un vector (pensado como un vector de rotación), la magnitud de ese vector no es igual a la rapidez angular del fluido imaginado alrededor de ese punto. Sin embargo, la magnitud es dos veces la rapidez angular del fluido.

Ejemplo: encontrar la rotación de un campo vectorial en tres dimensiones usando el rotacional

Problema: supón que un fluido se mueve en tres dimensions de la manera en la que se muestra en el siguiente campo vectorial
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, x, cubed, plus, y, squared, plus, z, end color #0c7f99, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #bc2612, z, e, start superscript, x, end superscript, end color #bc2612, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #0d923f, x, y, z, minus, 9, x, z, end color #0d923f, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Describe la rotación del fluido alrededor del punto left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis
Paso 1: evalúa el rotacional (es probable que necesites una hoja de papel para esto).
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Paso 2: evalúa en el punto left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Paso 3: interpreta tu resultado
Alrededor del punto left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, la rotación del fluido es de
radianes por segundo, con rotación casi paralela al

Resumen

  • El rotacional es un operador que toma una función que representa un campo vectorial en tres dimensiones y le asigna otra función que representa un campo vectorial en tres dimensiones distinto.
  • Si un fluido se mueve en un espacio vectorial de tres dimensiones, el rotacional de este fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dado por el rotacional del campo vectorial original evaluado en dicho punto. El campo vectorial del rotacional debe ser escalado a la mitad si quieres que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez de rotación del fluido.
  • Si una función vectorial en tres dimensiones start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis tiene como funciones componentes a start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis y start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, el rotacional debe ser calculado de la siguiente manera:
    ∇×v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \nabla \times \vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Solo por placer

Aquí te presentamos una animación del flujo de un fluido que te mostramos al inicio de este artículo, esta vez cada punto lo vemos de manera más precisa como una gotita de agua, estirada y doblada dependiendo de cómo el campo vectorial ejerce fuerza sobre cada partícula en la gotita. También quitamos los vectores del campo vectorial para que se pueda apreciar más fácilmente cómo se mueve el fluido. Esperemos que esto te dé una idea de qué tan complejo y al mismo tiempo hermoso puede ser el concepto de flujos de fluidos de un campo vectorial.
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