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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 11: La divergencia y el rotacional (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La divergencia y el rotacional (artículos)
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Ejercicio de calentamiento sobre el rotacional: rotación de un fluido en dos dimensiones

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El rotacional mide la rotación en el movimiento de un fluido a lo largo de un campo vectorial. Formalmente, el rotacional solo funciona en tres dimensiones, pero veremos el concepto para dos dimensiones a manera de entrenamiento.

Antecedentes

Nota: a lo largo de este artículo utilizaré la siguiente convención:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top representa al vector unitario en dirección del eje x.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top representa al vector unitario en dirección del eje y.

Qué vamos a construir

  • El rotacional mide la "rotación" en un campo vectorial.
  • En dos dimensiones, si un campo vectorial está dado por una función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, su rotación está dada por la siguiente fórmula
    start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, 2, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Rotación del flujo de un fluido

Tómate un campo vectorial muy torcido:
Este campo vectorial en particular está definido por la siguiente función:
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} y^3 - 9y \\ x^3 - 9x \end{array} \right] \\\\ &= (y^3 - 9y) \hat{\textbf{i}} + (x^3 - 9x)\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Ahora quiero que imagines que este campo vectorial describe el flujo de un fluido, probablemente en una parte caótica de un río. El siguiente video muestra una simulación de cómo se podría ver. Una muestra de partículas del fluido, mostradas como puntos azules, fluirá a lo largo del campo vectorial. Esto quiere decir que en todo momento, cada punto se mueve en sentido de la flecha que tiene más cerca. Enfócate particularmente en lo que pasa en las cuatro regiones circulares.
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Entre todo el caos, puede que notes que el fluido está rotando dentro de las regiones circulares. En los círculos de la derecha y la izquierda la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj, en los círculos de arriba y abajo la rotación es en sentido de las manecillas del reloj.
  • Pregunta clave: Si se nos da una función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que define un campo vectorial junto con un punto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis en el espacio, ¿qué tanto rotará el fluido que se está moviendo en sentido del campo vectorial en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
La operación rotacional del cálculo vectorial responde a esta pregunta transformando esta idea de rotación de un fluido en una fórmula. Es un operador que toma una función que define un campo vectorial y devuelve otra función que describe la rotación del fluido dada por el campo vectorial en cada punto.
Técnicamente, la operación del rotacional solo funciona en tres dimensiones. Puedes ver qué significa y cómo se calcula en el siguiente artículo, pero en este artículo vamos a introducirlo describiendo la rotación de un fluido en dos dimensiones con una fórmula.

Describir la rotación en dos dimensiones con una fórmula

Uno de los ejemplos más simples de un campo vectorial que describe la rotación de un fluido es
v⃗(x,y)=[−yx]=−yi^+xj^.\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] = -y \hat{\textbf{i}} + x\hat{\textbf{j}}. \end{aligned}
Así es cómo se ve esto:
Campo vectorial rotacional
En la animación todas las partículas del fluido simplemente se mueven en círculos.
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De alguna manera, este es el ejemplo más perfecto de una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj, y puedes comprender la fórmula general de la rotación en un campo vectorial de dos dimensiones entendiendo por qué la función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top describe una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj.

La componente start bold text, i, end bold text, with, hat, on top

Primero analicemos por qué la componente minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top describe una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj. Imagina que hay una ramita en nuestro fluido orientada de manera paralela al eje y. Más específicamente, digamos que un extremo de la ramita está en el origen left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis y el otro extremo está en el punto left parenthesis, 0, comma, 2, right parenthesis. ¿Qué implica la componente minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top del campo vectorial para la velocidad del fluido en los puntos de la ramita?
Esto quiere decir que la velocidad en la parte superior de la ramita es minus, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, un vector que apunta a la izquierda, mientras que la velocidad en la parte inferior de la ramita es 0.
En la ramita, esto quiere decir que el factor importante de la rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj es que los vectores apuntan más hacia la izquierda conforme nos movemos hacia arriba en el campo vectorial. Si lo escribimos en unos cuantos símbolos, el punto importante aquí es que la componente start bold text, i, end bold text, with, hat, on top de un vector anclado al punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis decrece conforme y, start subscript, 0, end subscript incrementa.
Si lo escribimos con más símbolos todavía,
start fraction, \partial, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, minus, y, right parenthesis, equals, minus, 1, is less than, 0
Vamos a generalizar esta idea un poco.
  • Pregunta: considera un campo vectorial más general.
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
Las componentes start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 y start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 son unas funciones escalares cualesquiera. Si pones una ramita en un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, orientada de manera paralela al eje y, ¿de qué manera puedes saber si la ramita va a rotar solo fijándote en start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 y left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
  • Respuesta: Observa la tasa de cambio de start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 conforme start color #bc2612, y, end color #bc2612 varía alrededor del punto fijado, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
    start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left arrow, start color gray, start text, space, I, n, d, i, c, a, space, q, u, e, space, l, a, space, r, o, t, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, e, s, space, e, n, space, s, e, n, t, i, d, o, space, c, o, n, t, r, a, r, i, o, space, d, e, space, l, a, s, space, m, a, n, e, c, i, l, l, a, s, space, d, e, l, space, r, e, l, o, j, space, s, i, space, e, s, space, n, e, g, a, t, i, v, o, space, end text, end color gray
    Si este valor es negativo, indica que los vectores apuntan más hacia la izquierda conforme y, start subscript, 0, end subscript aumenta, entonces la rotación debe ser en sentido contrario de las manecillas del reloj. Si el valor es positivo, los vectores apuntan más hacia la derecha conforme y, start subscript, 0, end subscript aumenta, lo que indica que la rotación es en sentido de las manecillas del reloj.

La componente start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Ahora veamos por qué la componente x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top del campo vectorial original sugiere también que la rotación es en sentido contrario de la manecillas del reloj. Esta vez, imagina una ramita que es paralela al eje x. Específicamente, pon un extremo de la ramita en el origen left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, y el otro extremo en el punto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis.
El vector asignado al origen es 0, pero el vector asignado al otro extremo en left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis es 2, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, un vector que apunta hacia arriba. Por lo tanto, el fluido empuja el extremo derecho de la ramita hacia arriba, y no ejerce ninguna fuerza sobre el extremo de la izquierda, entonces la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj.
Para esta segunda ramita, La componente vertical de los vectores se incrementa conforme nos movemos hacia arriba, lo que sugiere que la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj. Es decir, la componente y de un vector asignado al punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis aumenta conforme x, start subscript, 0, end subscript aumenta.
De manera más general para una función de un campo vectorial,
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
Podemos medir el efecto alrededor de un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis al observar el cambio en start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 conforme start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 varía.
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left arrow, start color gray, start text, space, S, i, space, e, s, space, p, o, s, i, t, i, v, o, space, s, u, g, i, e, r, e, space, q, u, e, space, l, a, space, r, o, t, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, e, s, space, e, n, space, s, e, n, t, i, d, o, space, c, o, n, t, r, a, r, i, o, space, a, space, a, s, space, m, a, n, e, c, i, l, l, a, s, space, d, e, l, space, r, e, l, o, j, space, end text, end color gray

Combinar ambas componentes

Si combinamos estas dos componentes, la rotación de un fluido que se mueve a lo largo de un campo vectorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top alrededor de un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis puede ser medido usando la siguiente cantidad:
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Cuando evaluamos esto, un número positivo indicará una tendencia en general por rotar en sentido contrario de las manecillas del reloj alrededor de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, un número negativo indica lo contrario, es decir una rotación en sentido de las manecillas del reloj. Si es igual a 0, entonces no hay rotación en el fluido alrededor del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Si sientes curiosidad por algo más específico, esta fórmula te da precisamente dos veces la velocidad angular del fluido alrededor de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Algunos autores llaman a esto el "rotacional en dos dimensiones" de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Esto no es una convención, pero escribamos la fórmula como si el "rotacional en dos dimensiones" fuera un operador.
start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, 2, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Ejemplo: analizar la rotación en un segundo campo vectorial usando el rotacional

Problema: Considera el campo vectorial definido por la función
v⃗(x,y)=[cos⁡(x+y)sin⁡(xy)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x+y) \\ \sin(xy) \end{array} \right] \end{aligned}
Determina si un fluido que se mueve de acuerdo a este campo vectorial tiene una rotación en sentido de las manecillas del reloj o una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj en el punto
p=(0,π2)\begin{aligned} \quad p &= \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \end{aligned}
Paso 1: Calcula el start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text de esta función
start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals

Paso 2: Evalúa el punto left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis.
start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis, equals

Paso 3: Interpreta. ¿De qué manera tiende a rotar el fluido alrededor de este punto?
Escoge 1 respuesta:

Veamos una muestra de las partículas en este fluido moviéndose:
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El punto de arriba hacia el cual todas las partículas se van acumulando corresponde con p, equals, left parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Las partículas rotan en sentido contrario de las manecillas del reloj en esta región, lo cual debería ser consistente con tus cálculos del start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, d, o, s, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text

Resumen

  • El rotacional mide la "rotación" en un campo vectorial
  • En dos dimensiones, si un campo vectorial está dado por una función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, la rotación está dada por la fórmula
    start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, e, n, space, 2, space, d, i, m, e, n, s, i, o, n, e, s, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

¡Hacia la tercera dimensión!

El verdadero operador rotacional, que veremos en el siguiente artículo, extiende esta idea y la fórmula a tres dimensiones.

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  • Avatar leaf green style para el usuario Martín Alda
    Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Según la explicación, un ...” de Martín Alda
    Según la explicación, un rotacional negativo correspondería a un fluido que se mueve contra las agujas del reloj, al contrario de lo que sale en las conclusiones
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