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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 11: La divergencia y el rotacional (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La divergencia y el rotacional (artículos)
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La divergencia

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La divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial dado.

Antecedentes:

Qué vamos a construir

  • Interpreta un campo vectorial como si representara el movimiento de un fluido.
  • La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.
  • Esta es la fórmula para la divergencia:
    div v⃗=∇⋅v⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+⋯\begin{aligned} \quad \text{div}\, \vec{\textbf{v}} = \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial \blueE{x}} + \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial \redE{y}} + \cdots \end{aligned}
    Donde, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, dots son las funciones componentes de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Cambio de la densidad en el movimiento de un fluido

Observa el siguiente campo vectorial:
Ese es el dibujo, ¿pero cuál es la función?
v⃗(x,y)=[2x−yy2] \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ y^2 \end{array} \right]
Los valores de entrada de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top son puntos en un espacio de dos dimensiones, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, y los valores de salida son vectores en dos dimensiones, los cuales están asignados a su correspondiente punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en el campo vectorial.
Una buena manera de imaginarse los campos vectoriales es imaginando el movimiento del fluido que podrían representar. Específicamente, para cada punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis en un espacio de dos dimensiones, imagina una partícula en el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis moviéndose en dirección del vector asignado a ese punto, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. Más aún, supón que la rapidez del movimiento de la partícula está determinado por la longitud de dicho vector. La siguiente animación muestra cómo se podría ver para nuestra función dada start bold text, v, end bold text, with, vector, on top en un pequeño instante:
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Nota, mientras el fluido se mueve, algunas regiones tienden a ser menos densas en sus puntos mientras las partículas se van alejando, tal como en la sección media superior. Por otro lado, en la región inferior izquierda, las partículas tienden a moverse unas hacia otras y los puntos se vuelven más densos.
Pregunta clave: Para una función vectorial dada start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, ¿de qué manera podemos medir el cambio en la densidad de las partículas alrededor de un punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis mientras estas se mueven a lo largo de los vectores dados por start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?
Podemos responder esta pregunta usando una forma de la derivada llamada divergencia. Hablaremos más acerca del movimiento de fluidos posteriormente, pero primero establezcamos la notación y la fórmula usada para expresar este concepto.

Notación y fórmula para la divergencia

La notación para la divergencia usa el mismo símbolo "del" con el cual puede que estés familiarizado por el gradiente. Tal como con el gradiente, pensamos en el símbolo como si representara a un vector de símbolos de derivadas parciales.
∇=[∂∂x∂∂y⋮]\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Escribimos a la divergencia de una función vectorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis de la siguiente manera
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left arrow, start text, D, i, v, e, r, g, e, n, c, e, space, o, f, space, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Esto es un poco absurdo ya que del no es realmente un vector. Sus entradas son operadores, no números. Sin embargo, usar esta notación de producto punto resulta muy útil para recordar cómo calcular la divergencia, échale un vistazo:
∇⋅v⃗=[∂∂x∂∂y]⋅[2x−yy2]=∂∂x(2x−y)+∂∂y(y2)=2+2y\begin{aligned} \quad \\ \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ y^2 \end{array} \right] \\ \\ &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\blueE{x}-y) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\redE{y}^2) \\ &= 2 + 2y \end{aligned}
De manera más general, la divergencia puede aplicarse a campos vectoriales de cualquier dimensión. Esto quiere decir que start bold text, v, end bold text, with, vector, on top puede tener cualquier cantidad de variables de entrada, siempre y cuando su valor de salida tenga la misma dimensión. De otra manera no podría representar un campo vectorial. Si escribimos a start bold text, v, end bold text, with, vector, on top en términos de sus componentes de la siguiente manera:
v⃗(x1,…,xn)=[v1(x1,…,xn)⋮vn(x1,…,xn)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x_1, \dots, x_n) &= \left[ \begin{array}{c} v_1(x_1, \dots, x_n)\\ \vdots\\ v_n(x_1, \dots, x_n) \end{array} \right] \end{aligned}
Por lo tanto la divergencia de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top se ve así:
∇⋅v⃗=[∂∂x1⋮∂∂xn]⋅[v1⋮vn]=∂v1∂x1+⋯+∂vn∂xn\begin{aligned} \quad \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n} \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{\partial v_1}{\partial x_1} + \cdots + \dfrac{\partial v_n}{\partial x_n} \end{aligned}
Vamos a resumir esto con un diagrama:

Interpretación de la divergencia

Digamos que evalúas la divergencia de una función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top en un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis y resulta ser negativa.
∇⋅v⃗(x0,y0)<0\begin{aligned} \quad \redE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) < 0} \end{aligned}
Esto quiere decir que el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial definido por start bold text, v, end bold text, with, vector, on top tendería a volverse más denso en el punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Por ejemplo, la siguiente animación muestra un campo vectorial con divergencia negativa en el origen.
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Por otro lado, si la divergencia en un punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es positiva,
∇⋅v⃗(x0,y0)>0\begin{aligned} \quad \greenE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) > 0} \end{aligned}
el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial se vuelve menos denso alrededor de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Aquí te presentamos un ejemplo:
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Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua. De hecho, la simple idea de que un fluido sea incompresible puede estar fuertemente ligada con la siguiente ecuación:
∇⋅v⃗=0\begin{aligned} \quad \blueE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = 0} \end{aligned}
Estos campos vectoriales son llamados "libres de divergencia". Aquí te presentamos un ejemplo de cómo podría verse eso:
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Fuentes y pozos

Algunas veces, para puntos con divergencia negativa, en vez de pensar que el fluido se hace más denso después de un movimiento momentario del fluido, algunas personas se imaginan que el fluido se está drenando por ese punto mientras que el fluido se mueve constantemente. Aquí te mostramos cómo podría verse esto:
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Por lo tanto, los puntos con divergencia negativa comúnmente son llamados "pozos".
De manera análoga, en vez de pensar en puntos con divergencia positiva volviéndose menos densos durante un movimiento momentáneo del fluido, estos puntos pueden pensarse como "fuentes" que generan constantemente más partículas de fluido.
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Divergencia en dimensiones más altas

Aunque los diagramas y animaciones que te estoy presentando muestran el caso en dos dimensiones, deberías entender que todos estos conceptos se pueden aplicar a tres o más dimensiones también.
Intenta esto como un buen ejercicio mental para probar si entendiste lo que representa la divergencia: imagina un campo vectorial en tres dimensiones, ahora imagínate cómo se verían puntos con divergencia positiva, negativa y cero.

Ejemplo 1: calcula e interpreta la divergencia

Campo vectorial del ejemplo 1
Problema: dado un campo vectorial definido como
v⃗(x,y)=(x2−y2)i^+2xyj^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = (x^2 - y^2)\hat{\textbf{i}} + 2xy\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Calcula la divergencia y determina si el punto left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis se parece más a una fuente o a un pozo.
Paso 1: calcula la divergencia.
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals

Paso 2: evalúa en left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis.
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, equals

Paso 3: interpreta. ¿El fluido se parece más a una fuente o a un pozo en left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Signos confusos

Siempre me desconcierta que una divergencia positiva indica un cambio negativo en la densidad y que una divergencia negativa indica un cambio positivo en la densidad. ¿Verdad que es confuso? La interpretación de fuentes/pozos ayuda un poco porque puntos de divergencia positiva están generando más fluido, mientras que los que tienen divergencia negativa lo están drenando.
Personalmente, la forma en que siempre lo recuerdo es pensando en el caso en el que f es la función identidad, que manda el punto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis al vector [xy]\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]. Todos los vectores del campo vectorial resultante apuntan hacia afuera del origen (¿puedes ver por qué?), y es relativamente rápido calcular del, dot, f.
∇⋅f=∂∂x(x)+∂∂y(y)=1+1=2\begin{aligned} \quad \nabla \cdot f = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\redE{y}) = \blueE{1} + \redE{1} = 2 \end{aligned}
Así que cada vez que vuelvo a ver la divergencia después de mucho tiempo y pienso "hmm, ¿era la divergencia positiva o negativa la que indicaba una pérdida en densidad?", recurro a este pequeño ejercicio y recuerdo, "Ah, claro, así es como iba, la divergencia positiva indica un flujo hacia afuera.".

Más recursos

En el siguiente artículo, daré una idea intuitiva de por qué la fórmula de la divergencia tiene que ver con el movimiento de un fluido.
Más adelante, una vez que hayamos visto integrales de línea y de superficie, hablaré acerca de la definición formal de la divergencia.

Resumen

  • Interpreta un campo vectorial como si representara el movimiento de un fluido.
  • La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.
  • La fórmula de la divergencia es
    div v⃗=∇⋅v⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+⋯\begin{aligned} \quad \text{div}\, \vec{\textbf{v}} = \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial \blueE{x}} + \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial \redE{y}} + \cdots \end{aligned}
    donde start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, dots son las funciones componentes de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
No obstante, ten en mente que la divergencia se usa para todo tipo de contextos que pueden tener nada en común con fluidos. La electrodinámica es uno de ellos, por ejemplo. La interpretación de movimientos de fluidos es muy útil y da una intuición mucho más fuerte que lo que daría el uso a ciegas de símbolos, pero debe ser tomado con cautela de vez en cuando.

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  • Avatar piceratops seed style para el usuario Andy Fernández García
    Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Muy buen artículo, sólo t...” de Andy Fernández García
    Muy buen artículo, sólo tengo una duda: sobre la divergencia, ¿tiene algún tipo de unidades? Por ejemplo, en la función identidad la divergencia es 2, pero cómo se interpreta esto físicamente, ¿tiene unidades físicas la divergencia? Y si es así, ¿cuáles?
    Gracias de antemano.
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
    • Avatar starky ultimate style para el usuario Antonio Casanova
      Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “La interpretación geométr...” de Antonio Casanova
      La interpretación geométrica que nos ofrece Griffiths en su libro "Introduction to electromagnetism" es: "​​la divergencia de un vector V (∇⋅V) es una medida de cuánto se propaga (diverge) el vector V desde el punto en cuestión".
      También se puede decir que el significado físico de la divergencia de un campo vectorial es la velocidad a la que "densidad" sale de una región dada del espacio. la unidades que se obtienen luego de aplicar la divergencia dependen de la función vectorial o campo vectorial utilizado.
      La divergencia de un campo (∇⋅V) más que unidades nos proporciona información sobre el el comportamiento de campo vectorial V. Pero ¿qué información? La divergencia de un campo vectorial cualquiera, como por ejemplo V, nos dice dónde “nacen” (∇⋅V>0) y/o “mueren” (∇⋅V<0) las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de dichas líneas.
      (5 votos)
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