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Contenido principal

Idea intuitiva para la fórmula de la divergencia

¿Por qué sumar ciertas derivadas parciales tiene algo que ver con el movimiento de un fluido hacia afuera?

Antecedentes

Introducción a la idea intuitiva

En el artículo anterior te mostramos la fórmula para la divergencia así como el concepto físico que representa. Sin embargo, puede que todavía te estés preguntando cómo es que estos dos están relacionados. Antes de que veamos la idea intuitiva, las siguientes preguntas deberían ayudarnos a entrar en calor al pensar en derivadas parciales en el contexto de un campo vectorial.
Pregunta para reflexionar: un campo vectorial en dos dimensiones está dado por una función v definida con dos componentes v1 y v2,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Algunos vectores cerca del punto (x0,y0) se bosquejan a continuación:
  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v1(x0,y0)?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v2(x0,y0)?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v1x(x0,y0)?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v2y(x0,y0)?
    Escoge 1 respuesta:

La idea intuitiva detrás de la fórmula de la divergencia

Vamos a limitar nuestra visión en un campo vectorial de dos dimensiones,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Recuerda que la fórmula de la divergencia es esta:
v=v1x+v2y
¿De qué manera tiene esto algo que ver con el cambio en la densidad de un fluido que se mueve de acuerdo con v(x,y)?
Vamos a analizar cada componente por separado.
Por ejemplo, supongamos que v1(x0,y0)=0, es decir que el vector asignado a (x0,y0) no tiene una componente horizontal. Digamos que v1x(x0,y0) es positiva. Esto quiere decir que alrededor del punto (x0,y0), el campo vectorial podría verse de manera similar a esto.
  • El valor de v1(x,y0) aumenta conforme x crece.
  • El valor de v1(x,y0) decrece conforme x se hace más pequeño.
Por lo tanto, los vectores a la izquierda de (x0,y0) apuntaran un poco hacia la izquierda, los vectores a la derecha de (x0,y0) apuntarán un poco hacia la derecha (observa el diagrama de arriba). Esto sugiere que el fluido se mueve hacia afuera, al menos en lo que se refiere a la componente x.
En contraste, así es como se ve si v1x(x0,y0) es negativa:
  • Los vectores a la izquierda de (x0,y0) apuntarán a la derecha.
  • Los vectores a la derecha de (x0,y0) apuntarán a la izquierda.
Esto indica que el fluido se mueve hacia adentro, según la componente x.
La misma intuición se aplica si v1(x0,y0) es distinto de cero. Por ejemplo, si v1(x0,y0) es positivo y v1x(x0,y0) también es positiva, quiere decir que todos los vectores alrededor de (x0,y0) apuntan a la derecha, pero se van haciendo más grandes conforme vamos de izquierda a derecha. Puedes imaginar el fluido moviéndose despacio hacia (x0,y0) desde la izquierda, pero después alejándose rápidamente del punto hacia la derecha. Como la cantidad que sale es mayor que la que entra, la densidad en este punto disminuye.
El análisis del valor v2y es similar. Este indica el cambio en la componente vertical de los vectores, v2, cuando nos movemos hacia arriba y hacia abajo en el campo vectorial, al cambiar el valor y.
Por ejemplo, supongamos que v2(x0,y0)=0, es decir que el vector asignado a (x0,y0) no tiene componente vertical. También supongamos que v2y(x0,y0) es positiva, es decir que la componente vertical de los vectores se incrementa conforme nos movemos hacia arriba.
Aquí te mostramos cómo podría verse:
  • Los vectores por debajo de (x0,y0) apuntaran ligeramente hacia abajo.
  • Los vectores por arriba de (x0,y0) apuntarán ligeramente hacia arriba.
Esto indica que el fluido se está moviendo hacia afuera, al menos en lo que corresponde a la dirección y.
De manera análoga, si v2y(x0,y0)es negativa, indica que el fluido se está moviendo hacia adentro alrededor de (x0,y0), al menos en lo que corresponde a la dirección y.

La divergencia suma estas dos fuerzas

Al sumar las dos componentes v1x y v2y se juntan las dos fuerzas sobre las direcciones x y y para determinar si la densidad de un fluido alrededor de un punto crece o decrece.
v=v1xCambio de densidaden la dirección x+v2yCambio de densidaden la dirección y

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