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Cálculo multivariable

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 11: La divergencia y el rotacional (artículos)
Matemáticas
Cálculo multivariable
Derivadas de funciones multivariables
La divergencia y el rotacional (artículos)
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Idea intuitiva para la fórmula de la divergencia

Google Classroom
¿Por qué sumar ciertas derivadas parciales tiene algo que ver con el movimiento de un fluido hacia afuera?

Antecedentes

Introducción a la idea intuitiva

En el artículo anterior te mostramos la fórmula para la divergencia así como el concepto físico que representa. Sin embargo, puede que todavía te estés preguntando cómo es que estos dos están relacionados. Antes de que veamos la idea intuitiva, las siguientes preguntas deberían ayudarnos a entrar en calor al pensar en derivadas parciales en el contexto de un campo vectorial.
Pregunta para reflexionar: un campo vectorial en dos dimensiones está dado por una función start bold text, v, end bold text, with, vector, on top definida con dos componentes v, start subscript, 1, end subscript y v, start subscript, 2, end subscript,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} v_1(x, y) \\ v_2(x, y) \end{array} \right] \end{aligned}
Algunos vectores cerca del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se bosquejan a continuación:
Cuestionario de diagrama
  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escoge 1 respuesta:

  • ¿Cuál de las siguientes opciones describe a start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escoge 1 respuesta:

La idea intuitiva detrás de la fórmula de la divergencia

Vamos a limitar nuestra visión en un campo vectorial de dos dimensiones,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)] \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1}(x, y) \\ \redE{v_2}(x, y) \end{array} \right]
Recuerda que la fórmula de la divergencia es esta:
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction
¿De qué manera tiene esto algo que ver con el cambio en la densidad de un fluido que se mueve de acuerdo con start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?
Vamos a analizar cada componente por separado.
Por ejemplo, supongamos que v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0, es decir que el vector asignado a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no tiene una componente horizontal. Digamos que start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es positiva. Esto quiere decir que alrededor del punto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, el campo vectorial podría verse de manera similar a esto.
(Parcial en términos de x) > 0
  • El valor de v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis aumenta conforme start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 crece.
  • El valor de v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis decrece conforme start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 se hace más pequeño.
Por lo tanto, los vectores a la izquierda de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntaran un poco hacia la izquierda, los vectores a la derecha de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntarán un poco hacia la derecha (observa el diagrama de arriba). Esto sugiere que el fluido se mueve hacia afuera, al menos en lo que se refiere a la componente x.
En contraste, así es como se ve si start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es negativa:
(Parcial en términos de x) < 0
  • Los vectores a la izquierda de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntarán a la derecha.
  • Los vectores a la derecha de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntarán a la izquierda.
Esto indica que el fluido se mueve hacia adentro, según la componente x.
La misma intuición se aplica si v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es distinto de cero. Por ejemplo, si v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis es positivo y start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis también es positiva, quiere decir que todos los vectores alrededor de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntan a la derecha, pero se van haciendo más grandes conforme vamos de izquierda a derecha. Puedes imaginar el fluido moviéndose despacio hacia left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis desde la izquierda, pero después alejándose rápidamente del punto hacia la derecha. Como la cantidad que sale es mayor que la que entra, la densidad en este punto disminuye.
El análisis del valor start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction es similar. Este indica el cambio en la componente vertical de los vectores, v, start subscript, 2, end subscript, cuando nos movemos hacia arriba y hacia abajo en el campo vectorial, al cambiar el valor y.
Por ejemplo, supongamos que v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0, es decir que el vector asignado a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no tiene componente vertical. También supongamos que start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis es positiva, es decir que la componente vertical de los vectores se incrementa conforme nos movemos hacia arriba.
Aquí te mostramos cómo podría verse:
(Parcial en términos de y) > 0
  • Los vectores por debajo de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntaran ligeramente hacia abajo.
  • Los vectores por arriba de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apuntarán ligeramente hacia arriba.
Esto indica que el fluido se está moviendo hacia afuera, al menos en lo que corresponde a la dirección y.
De manera análoga, si start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesises negativa, indica que el fluido se está moviendo hacia adentro alrededor de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, al menos en lo que corresponde a la dirección y.
(Parcial en términos de y) < 0

La divergencia suma estas dos fuerzas

Al sumar las dos componentes start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction y start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction se juntan las dos fuerzas sobre las direcciones x y y para determinar si la densidad de un fluido alrededor de un punto crece o decrece.
∇⋅v⃗= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v1∂x⏞Cambio de densidaden la direccioˊn x ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v2∂y⏟Cambio de densidaden la direccioˊn y\Large \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{\dfrac{\partial v_1}{\partial \blueE{x}}}^{ \substack{ \text{Cambio de densidad} \\ \text{en la dirección $\blueE{x}$} } } \!\!\!\!\!\!\!\! + \!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\dfrac{\partial v_2}{\partial \redE{y}}}_{ \substack{ \text{Cambio de densidad} \\ \text{en la dirección $\redE{y}$} } }

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