Idea intuitiva detrás de la divergencia (parte 2)

hola a todos en el último vídeo hablamos de la divergencia y pusimos sobre la mesa la intuición para entender la verdad e imaginamos que nuestro campo vectorial representa digamos alguna forma de describir el fluido de no sé digamos de agua o de ciertas partículas que se mueven de acuerdo al vector al cual están unidos verdad y ahí hay que decir a cuál vector están unidos en cada momento y en cada punto verdad porque estos estas partículas al irse moviendo pues tendrán un vector distinto asociado y la pregunta clave que vamos a trabajar es si tenemos digamos un punto dado pensamos nos en algún punto dado por aquí será que el fluido tiende a acercarse hacia ese punto o tenderá más bien a alejarse es decir sí tiende a divergen o a converger verdad y lo que quiero hacer es ir descubriendo una fórmula para la divergencia y es que no quiero solo dártela sino que sepas realmente de dónde proviene así que vayan más abajo y consideremos una función vectorial un campo vectorial verdad pensemos en un campo vectorial que hemos estado denotando con la letra de verdad y digamos que este campo vectorial está definido en el plano entonces tiene dos variables de entrada y por supuesto la salida será un vector con dos componentes y típicamente a estas componentes están descritas por dos funciones que denotamos con p y q verdad estas son funciones con valores escalares y cada una representa una de las componentes de nuestro campo vectorial verdad entonces la la divergencia digamos tendríamos que comprenderla justamente como entendemos a las derivadas tradicionales entonces la divergencia por ejemplo si ésta es ésta sería la anotación de lo que es la divergencia ok y tendríamos que pensarlas como como comprendemos a las derivadas verdad la derivada de una función en realidad es como una como una especie de operador verdad es decir nosotros le damos una función y la derivada nos devuelve otra función entonces la divergencia verdad también tiene esa propiedad nosotros le damos un campo vectorial verdad y nos interesa por supuesto en algún punto particular y lo que nos devuelve es un valor escalar verdad entonces la divergencia de un campo vectorial será una función con valores escalares pues sólo digamos nos dará un número que nos diga si el fluido tiende a divergen oa converger y no sólo eso sino que además nos dice que tanto divergió converge así que aquí comenzaremos a pensar en casos digamos donde la derivada es positiva donde es negativa o donde es cero así que veamos digamos un ejemplo rápido aquí pensemos en la divergencia de nuestro campo vectorial verdad en algún punto particular del espacio x y pensemos que es positiva entonces una imagen clásica es la que vimos en el vídeo anterior en donde tenemos un punto en donde no hay nada de movimiento y todas las flechas de alrededor apuntan digamos hacia afuera de ese de ese punto entonces de hecho hice una animación en el vídeo anterior de esto verdad entonces aquí tendríamos todos estos estos vectores apuntando a fue hacia afuera del origen y si nos fijamos en una región alrededor todas las partículas se salen de la región y esa es la idea central de la divergencia positiva verdad y por supuesto que no es la única posibilidad para tener divergencia positiva por ejemplo podríamos pensar algún punto por aquí en donde digamos un poco más abajo en donde tendremos cierto flujo digamos y que en cierta dirección hay una gran salida de este fluido verdad mientras que en otra dirección hay poca entrada entonces si pensamos en una región alrededor digamos de este punto podemos ver que la tasa a la que salen las partículas es mucho más grande que la tasa a la que entra en verdad entonces de forma neta tendremos una divergencia positiva verdad estaríamos perdiendo densidad de nuestro fluido otra forma o más bien otra posibilidad es que la divergencia de nuestro campo vectorial de en un punto digamos dado en el punto x coma ya sea negativo verdad y en este caso el ejemplo o la imagen típica es cuando todas las flechas alrededor de nuestro punto apuntan justamente hacia el verdad entonces aquí tenemos un caso típico de de cuando la divergencia es negativa y el anime así en la animación del vídeo anterior donde invertimos los vectores verdad si dejamos correr el fluido la densidad alrededor del origen aumenta verdad justamente porque las partículas convergen al origen pero otra vez no es la única posibilidad verdad podríamos pensar no sé en algún punto fijo del espacio en donde salen las partículas a una tasa muy pequeña pero entran muchas o entran rápidamente verdad entonces si pensamos en una región aquí verdad la tasa a la que salen es mucho menor de la que entran y por lo tanto tendremos que la densidad aumenta verdad entonces la divergencia en este caso también sería negativa y finalmente pensemos un caso en donde la divergencia es cero pensemos un caso en donde la divergencia de nuestro campo vectorial verdad en el en algún punto particular justamente vale cero y los ejemplos típicos es como como los que también vimos en el vídeo anterior en donde realmente el campo vectorial pues no tiene gran ciencia verdad sigue una trayectoria muy muy simple pero también podríamos pensar en un punto en donde todo lo que entra verdad ya de alguna forma se balancea con lo que sale verdad más o menos esta sería la idea de un caso en donde la divergencia es cero así que estas son las ideas que me gustaría que tuvieras en mente antes de buscar la fórmula de lo que es la divergencia en sí misma verdad y lo que haré en el próximo vídeo 2 es fijarnos en nuestras funciones p y q aquí tenemos nuestra función p nuestra función q y vamos a retomar sus derivadas derivadas parciales y vamos a pensar cómo se relacionan con estas ideas que hemos estado creando alrededor de la divergencia nos vemos