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Contenido principal
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Transcripción del video

ya hemos dicho que si tenemos un campo vectorial digamos de con dos componentes digamos vehículo verdad podemos calcular fácilmente su divergencia verdad la divergencia de nuestro campo vectorial ve y por supuesto esto va evaluado en el punto x de verdad esto se calcula simplemente como la derivada parcial de p con respecto de x más la derivada parcial de q de q de la segunda componente con respecto de ye verdad pero digamos nosotros podríamos dar otra anotación que es muy útil para recordar esta fórmula y esencialmente es poner esto como un producto punto consideramos aquí nuestro operador nav la verdad del que ya hemos hablado de él cuando hablamos del gradiente de un campo escalar verdad y hacemos el producto punto con nuestro campo vectorial b y como lo hicimos justamente en el tema del gradiente la idea de este triangulito volteado verdad la idea de este triangulito volteado es digamos escribir uno vamos a escribir un vector que tenga puros operadores diferenciales es decir tiene como primera componente la derivada con respecto de x verdad y como segunda componente la derivada parcial con respecto de sí verdad y esta es la idea de escribirlo como una especie de digamos de vector verdad y por supuesto esto no es un vector pero al menos ayuda simbólicamente a calcular la divergencia entonces nosotros hacemos el producto punto con el vector o el o más bien con el campo vectorial b verdad que eso es digamos aquí tendríamos su primera componente px y luego tendríamos la segunda componente que es muy bien entonces la idea de multiplicar digamos un vector de operadores con un vector que tiene a estas dos digamos a estos componentes es no no es como una multiplicación sino estaríamos pensando en que estas derivadas parciales se aplican a esto verdad entonces digamos la idea del producto verdad sería reescribir esto como la derivada parcial respecto de x y multiplicamos a de verdad que recordemos no es multiplicar como digamos como tradicionalmente lo conocemos sino que estamos evaluando la derivada parcial respecto de x de nuestra función p y luego sumamos verdad como es el producto punto la derivada parcial con respecto de iu y ahora aplicada a nuestra componente q verdad y entonces como podemos ver obtuvimos la misma fórmula que ya habíamos digamos construido en vídeos anteriores verdad y por supuesto que ésta esta idea del producto punto se puede utilizar en más dimensiones por ejemplo veamos qué pasaría si tuviéramos un campo vectorial digamos digamos que tuviéramos un campo vectorial b pero que ahora dependiera de tres variables verdad y por supuesto para que sea un campo vectorial esto tendría que tener tres componentes de salida verdad digamos p de x y z la segunda componente sería q de x y z y finalmente tendremos una componente r de x 10 z verdad entonces aquí tendríamos un campo vectorial en tres dimensiones y si ahora nosotros pensamos en la divergencia de este campo vectorial verdad de este campo victorino no es erres b entonces podríamos utilizar la misma idea verdad tendríamos que poner nuestro vector que tiene digamos las derivadas parciales son operadores diferenciales tendremos la derivada parcial respecto de x la derivada parcial respecto de iu y la derivada parcial con respecto de zeta y el orden en el que escribimos estas parciales es exactamente el mismo orden que digamos que aparece en nuestro campo vectorial verdad y luego hacemos el producto punto con el campo vectorial b2 vamos a poner un poquito más derechito verdad nuestro campo vectorial b tiene componentes p q y r y esto es por supuesto dependen de nuestras variables x y y ceta verdad entonces si nosotros hacemos este producto punto verdad podríamos pensar en la derivada parcial con respecto de x de p verdad sería este digamos como esta especie de producto la derivada parcial con respecto de y de la segunda componente que en este caso sería q y la derivada parcial con respecto de z de la tercera componente que en este caso sería r verdad y aunque no hemos hablado del todo de campos vectoriales en tres dimensiones verdad este último término lo podríamos entender o interpretar justamente de forma similar como interpretamos los dos suman dos anteriores verdad en realidad estamos pensando en cambios en nuestra componente z verdad la tercera componente ahí justamente pensamos cuando nos movemos hacia arriba o hacia abajo es decir en la dirección de z y de hecho este patrón sirve en cualquier dimensión digamos no sé de dimensión 100 510.000 y esto es lo que hace que esta anotación sea genial verdad nos da una forma compacta para escribir la fórmula que tiene un simple patrón pero que quizás podría ser muy largo de escribir bueno nos vemos en el próximo vídeo