La derivada direccional

hola a todos aquí hablaré de lo que es la derivada direccional y esta es en realidad una idea que pretende extender la noción de derivada parcial así que si recordamos lo que es una derivada parcial tiene que ver con con una función de varias entradas así que aquí voy a considerar una función solo de dos entradas para que sea mucho más simple ok y vamos a tener digamos una sola salida digamos podría ser x cuadrada por ye muy bien entonces una forma en la que siempre podemos pensar a estas funciones es digamos que aquí tengamos nuestro nuestro espacio de entradas digamos este es el plano x de verdad este es nuestro espacio de entradas y entonces tenemos que esta función esencialmente transforma este espacio de entradas otro espacio verdad que es el espacio de salidas verdad entonces nosotros podemos considerar la derivada parcial de nuestra función con respecto a x por ejemplo verdad y podríamos pensarlo en algún punto particular el 1,2 entonces aquí estará el 1 aquí está el 1 y luego 2 nos colocamos en este punto y para poder pensar en la derivada parcial de la función en este punto si estamos pensando en la derivada con respecto a x entonces pensamos en un pequeño empujoncito en la dirección x y nos fijamos cómo es que ese pequeño cambio influye en nuestra salida entonces calculamos digamos cuál es esa influencia verdad vemos ese resultado en el espacio de salidas y después hacemos la proporción entre este cambio y este cambio verdad y eso es esencialmente el valor que buscamos y también podríamos haber hecho esto mismo pero con la dirección de verdad entonces pudimos haber hecho este empujoncito en la vertical vemos cómo es que esto afecta a nuestra función en el espacio de salidas y nuevamente calculamos la proporción verdad ahora bien vamos a considerar una idea muy muy parecida y esencialmente es la pregunta que aborda la derivada direccional por ejemplo si nosotros consideramos un vector digamos un vector b y le ponemos esta flechita aquí arriba para indicar que es un vector este vector ve digamos que sea el menos 1 2 muy bien aquí tenemos el vector menos 12 verdad si nosotros anclamos este vector desde este punto entonces digamos tendremos menos uno y luego subimos dos más o menos sería este vector que apunta en esta dirección verdad entonces nosotros podríamos pensar exactamente igual que con las derivadas parciales podríamos pensar que le hace a la función un pequeño empujoncito en la dirección de este vector y recordemos que estos son esencialmente cambios infinitamente pequeños verdad es decir formalmente estaríamos pensando en el límite verdad de la proporción entre los cambios así que podríamos pensar entonces en multiplicar este vector b por una constante h digamos aquí tendríamos h por nuestro vector de verdad y formalmente lo que tendríamos que hacer es tomar el límite cuando h tiende a cero entonces uno podría incluso considerar valores muy muy pequeños para nuestra h verdad pero formalmente tomaremos el límite cuando h tiende a cero verdad así así la dire derivada direccional nos dice cuál sería el cambio en la salida de nuestra función al tener un empujoncito en la dirección de nuestro vector b entonces para este caso particular podríamos simplemente multiplicar al vector b por h eso nos daría en la primera coordenada sería menos h y en la segunda coordenada tendríamos 2 h muy bien entonces nuestra nosotros podríamos intentar dar una una noción de lo que es la derivada direccional en la dirección de nuestro vector b verdad y la anotación para para escribir esto sería justamente usar nuestro triangulito invertido que usamos para para la derivada para para el gradiente perdón y le ponemos un subíndice b que va a indicar la dirección en la que estamos tomando esta derivada y esto lo aplicamos a nuestra función f que depende de x y entonces de aquí podríamos más o menos dar una idea de cómo es este cambio verdad sería menos una vez el cambio en la dirección x verdad más o menos podríamos tratar de adivinar qué es esto menos una vez el cambio en la dirección x que podríamos representarlo con la derivada parcial y luego tendríamos que sumar dos veces el cambio en la dirección el cambio de f con respecto de verdad sería como nuestro primer intento para tratar de decir quién es entonces si nosotros nos ponemos un poquito más abstractos y consideramos un vector w en general digamos con coordenadas a y ve muy bien esto es digamos un poquito más general entonces ahora lo que podríamos hacer es calcular la derivada direccional de nuestra función con en la dirección del vector w verdad y esto sería a veces el cambio de la función con respecto a x + b veces el cambio de la función con respecto a iu y éste es digamos nuestra fórmula que podríamos utilizar para calcular la derivada direccional en la dirección del vector w entonces resumiendo nosotros tomamos a veces un aumento con respecto a x y b veces el aumento digamos con respecto a ella verdad entonces está esta fórmula a veces se ve escrita de forma digamos más compacta podremos tomar una forma más compacta de escribir esto y que en realidad se ve como un producto punto verdad aquí esta formulita nos dice que hay un producto punto por ejemplo podríamos tomar el vector ave y hacer el producto punto con el vector que tiene componente parcial de f con respecto a equis y parcial de f con respecto a ye muy bien entonces ahora notemos que en realidad este vector es el vector w que es la dirección en la cual estamos moviéndonos verdad y hacemos el producto punto con este otro vector que si notamos muy bien esto es el gradiente de nuestra función verdad entonces esta es la fórmula compacta para la derivada direccional y por eso es que me gusta mucho esta anotación que tenemos aquí en realidad podríamos haber tomado otra anotación por ejemplo pudimos haber utilizado que a veces se escribe que se ve como parcial del df con respecto a este lector o también pudimos haber utilizado esta otra anotación y es por esta fórmula que me gusta mucho esta primera anotación que hemos elegido porque nos sugiere mucho cómo calculamos la derivada direccional y así es como lo verás en algunos libros de texto digamos como como una forma compacta de escribirlo y de hecho puedes ver cómo es que esta fórmula verdad se puede extender a más dimensiones por ejemplo si tenemos una entrada de cinco dimensiones verdad por ejemplo si tenemos un vector de cinco dimensiones como valor de entrada y el vector digamos en el cual nos movemos tiene cinco componentes entonces podemos hacer este producto punto verdad entonces en resumen la derivada direccional nos dice cómo cambiaría la función al tomar pequeños en pocos empujoncitos en cierta dirección vemos cómo cambia la salida de nuestra función y luego tomamos esa proporción así que en el siguiente vídeo voy a clarificar mucho más la definición formal de direccional