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Transcripción del video

escrito aquí la definición formal de lo que es una derivada parcial con respecto de x de una función efe que tiene dos variables verdad y lo que quiero hacer ahora es construir una definición de lo que es la derivada direccional de esta misma función en la dirección de algún lector ve así que por ejemplo vamos a considerar algún lector ve digamos puede ser arbitrario verdad es que son en esencia es un vector en el espacio de entradas y voy a hacer un diagrama para tratar de recordar cómo es que hemos estado construyendo nuestras derivadas parciales verdad entonces digamos que aquí tengo el espacio de entradas que en esencia es el plano equis o ye y en este espacio tenemos un punto digamos el punto a coma b verdad entonces en él nuestra función efe de alguna forma lo que hace es transformar nuestro espacio de entradas a este espacio de salidas que en este caso es la recta verdad porque sólo tenemos una una variable de salida verdad y digamos y nuestra función efe lo que hace es mandar este punto llegamos a este punto de acá sobre la recta entonces la derivada parcial digamos consiste en considerar un pequeño empujoncito en la dirección x verdad y ver cómo es que este pequeño empujoncito afecta digamos cómo afecta nuestra salida a partir de la función efe verdad entonces por ejemplo aquí representaría un cambio negativo verdad así que si nosotros tomamos digamos una chela h digamos representaría este pequeño empujoncito quedamos en la dirección x verdad entonces si tomamos esta h o que también algunas otras personas lo lo denotan como delta x pero bueno ya mí se me hace mucho más fácil y cómodo tomar un hacha verdad entonces esto lo pensamos como nuestro empujoncito y al pensar en cómo influye esto en la función al cambiar sólo nuestra variable x verdad la pri la variable aquí en esencia lo que estamos haciendo en el numerador es calcular el cambio que sufre nuestra función efe verdad y estamos haciendo la proporción con el cambio que hacemos en x muy bien entonces podemos en realidad reescribir esta definición en términos sectoriales de la siguiente forma tendremos la derivada parcial de nuestra función con respecto a x digamos ahora no en el punto a como vecino en el vector a el vector a sería justamente el vector que representa a ésta a la coma de verdad entonces está derivada será simplemente el límite para ponerlo distinto el límite cuando nuestra variable h tiende a cero verdad que representa nuestro empujoncito verdad de nuestra función efe evaluada en el vector a más aquí tenemos que hacer nuestro cambio verdad tendremos que hacer nuestro empujoncito entonces era h veces el vector y donde este lector y se suele digamos suele representar al vector que tiene entradas 10 verdad es el vector unitario en la dirección del eje x muy bien y luego restamos nuestra función en el punto a verdad si se dan cuenta estamos simplemente copiando lo de arriba pero connotación de vectores y luego dividimos entre h verdad entre nuestro pequeño empujoncito y cuando lo escribimos así es mucho más claro cómo podemos extender esta idea digamos ahora cuando nos movemos en otra dirección verdad pues ahora toda la información digamos de cómo nos estamos moviendo está contenida en este sector verdad en este vector que estamos escribiendo con él digamos con la y verdad así que esto nos da una idea de cómo podríamos extender esta definición para las derivadas direccionales entonces nuestra derivada direccional de nuestra función en la dirección del vector b digamos en el punto a es importante poner donde lo estamos haciendo será igual al límite cuando h tiende a cero h quien de acero de nuestra función evaluada en el punto o más bien en el vector a más h veces ahora multiplicando al vector me que es la dirección en la que nos estamos moviendo en este caso del vector y en este caso puede ser cualquier vector de y le restamos la función evaluada en la entonces esto nos da el cambio en h y hay que dividir entre el cambio pero en este caso estaríamos interpretándolo como el cambio en la dirección del vector de verdad entonces simplemente tenemos aquí la definición formal de lo que es la derivada direccional y en realidad es mucho más fácil recordar la cuando utilizamos vectores muy bien así que veamos cómo se vería geométricamente esta idea a borrar a borrar esto que tenemos aquí a quitarlo y en vez de poner el punto a coma ve en realidad vamos a representarlo con el vector a entonces quitamos esto digamos vamos a admitir esta flechita que habíamos quitado entonces este punto de aquí lo podríamos representar con el vector a verdad entonces va a ser una flecha que va del origen a este punto verdad ahí lo tenemos y digamos podríamos considerar el vector ve que a lo mejor digamos no tienen por qué ir en la dirección de x ni en la dirección de ye puede ser como una especie de combinación de ambos y ahora vamos a rescatar este vector b digamos con un factor de escala h verdad entonces aquí estaríamos considerando h veces y el vector de y una vez que tenemos esto estaríamos considerando como digamos influye esto en la salida de nuestra funciona entonces a lo mejor ahora tenemos que influye en esta pequeña dirección verdad y quizás estés viendo que esto lo podemos ver ese exactamente como la pendiente de una gráfica verdad pero eso lo veremos en el próximo video entonces en resumen lo que estamos haciendo es calcular la proporción que hay entre el cambio en digamos en nuestra salida dada por la función efe y el cambio que hacemos en la dirección de nuestro vector de verdad y luego tomamos el límite cuando h tiende a cero es decir hacer este pequeño cambio cada vez o este pequeño empujoncito cada vez más y más pequeño sin embargo hay que tener mucho cuidado verdad porque si nosotros digamos rsc álamos este vector digamos que que no consideramos el vector vez sino dos veces el vector de verdad entonces aquí en la definición tendríamos que poner dos también y entonces vamos a tener el doble de cambio verdad porque aquí en vez de tener h veces ve tendríamos h veces 2b verdad entonces vamos a tener el doble de cambio de hecho algunas personas prefieren cambiar la definición original la que yo les he puesto aquí y poner mejor en el denominador el b que digamos la norma o el módulo del vector b para que al reshq alar no se modifique digamos la deriva direccional y en realidad sólo importa en la dirección pero a mí no me gusta mucho esto yo creo que que hay algo de utilidad en esta definición original que yo les había dado sin el módulo o la norma debe y podemos dar una muy buena interpretación de esto pero ya nos adentraremos más en este detalle digamos en futuros vídeos aquí sólo la idea sólo era ver la definición formal de la deriva direccional nos vemos en el próximo video