La definición formal de la derivada direccional

he escrito aquí la definición formal de lo que es una derivada parcial con respecto de x de una función f que tiene dos variables verdad y lo que quiero hacer ahora es construir una definición de lo que es la derivada direccional de esta misma función en la dirección de algún vector b así que por ejemplo vamos a considerar algún vector b digamos puede ser arbitrario verdad es eso en esencia es un vector en el espacio de entradas y voy a hacer un diagrama para tratar de recordar cómo es que hemos estado construyendo nuestras derivadas parciales verdad entonces digamos que aquí tengo el espacio de entradas que en esencia es el plano x xi y en este espacio tenemos un punto digamos el punto a ve verdad entonces en nuestra función f de alguna forma lo que hace es transformar nuestro espacio de entradas a este espacio de salidas que en este caso es la recta verdad porque sólo tenemos una una variable de salida verdad y digamos si nuestra función f lo que hace es mandar este punto digamos a este punto de acá sobre la recta entonces la derivada parcial digamos consiste en considerar un pequeño empujoncito en la dirección x verdad y ver cómo es que este pequeño empujoncito afecta digamos cómo afecta nuestra salida a partir de la función f verdad entonces por ejemplo aquí representaría un cambio negativo verdad así que si nosotros tomamos digamos una h la h digamos representaría este pequeño empujoncito que damos en la dirección x verdad entonces si tomamos esta aquí también algunas otras personas lo denotan como delta equis pero bueno ya mí se me hace mucho más fácil cómo tomar una verdad entonces esto lo pensamos como nuestro empujoncito y al pensar en cómo influye esto en la función al cambiar sólo nuestra variable la primera variable aquí en esencia lo que estamos haciendo en el numerador es calcular el cambio que sufre nuestra función f verdad y estamos haciendo la proporción con el cambio que hacemos en x muy bien entonces podemos en realidad reescribir esta definición en términos vectoriales de la siguiente forma tendremos la derivada parcial de nuestra función con respecto a x digamos ahora no en el punto a como ves sino en el vector a el vector a sería justamente el vector que representa a esta al ala de verdad entonces esta derivada será simplemente el límite vamos a poner lo distinto el límite cuando nuestra variable h tiende a cero verdad que representa nuestro empujoncito verdad de nuestra función f evaluada en el vector más aquí tenemos que hacer nuestro cambio verdad tendremos que hacer nuestro empujoncito entonces será h veces el vector y donde este vector y se suele digamos suele representar al vector que tiene entradas 1 0 verdad es el vector unitario en la dirección del eje x muy bien y luego restamos nuestra función en el punto a verdad si se dan cuenta estamos simplemente copiando lo de arriba pero con notación de vectores y luego dividimos entre h verdad entre nuestro pequeño empujoncito y cuando lo escribimos así es mucho más claro cómo podemos extender esta idea digamos ahora cuando nos movemos en otra dirección verdad pues ahora toda la información digamos de cómo nos estamos moviendo está contenida en este vector verdad en este vector que estamos escribiendo con él digamos con la y verdad así que esto nos da una idea de cómo podríamos extender esta definición para derivadas direccionales entonces nuestra derivada direccional de nuestra función en la dirección del vector b digamos en el punto a es importante poner donde lo estamos haciendo será igual al límite cuando h tiende a 0 h tiende a 0 de nuestra función evaluada en el punto o el o más bien en el vector a más h veces ahora multiplicando al vector b que es la dirección en la que nos estamos moviendo en este caso era el vector y en este caso puede ser cualquier vector b y le restamos la función evaluada en la entonces esto nos da el cambio en h y hay que dividir entre el cambio pero en este caso estaríamos interpretándolo como el cambio en la dirección del vector de verdad entonces simplemente tenemos aquí la definición formal de lo que es la derivada direccional y en realidad es mucho más fácil recordarla cuando utilizamos vectores muy bien así que veamos cómo se vería geométricamente esta idea vamos a borrar vamos a borrar esto que tenemos aquí carlos y en vez de poner el punto a b en realidad vamos a representarlo con el vector entonces quitamos esto digamos vamos a vamos a admitir esta flechita que habíamos pintado entonces este punto de aquí lo podríamos representar con el vector a verdad entonces va a ser una flecha que va del origen a este punto verdad ahí lo tenemos y digamos podríamos considerar el vector b que a lo mejor digamos no tiene ni por qué ir en la dirección de x ni en la dirección de ye puede ser como una especie de combinación de ambos y ahora vamos a rescatar este vector b digamos con un factor de escala h verdad entonces aquí estaríamos considerando h veces y el vector b y una vez que tenemos esto estaríamos considerando como digamos influye esto en la salida de nuestra función entonces a lo mejor ahora tenemos que influye en esta pequeña dirección verdad y quizás estés viendo que esto lo podemos ver exactamente como la pendiente de una gráfica verdad pero eso lo veremos en el próximo vídeo entonces en resumen lo que estamos haciendo es calcular la proporción que hay entre el cambio en digamos en nuestra salida dada por la función f y el cambio que hacemos en la dirección de nuestro vector de verdad y luego tomamos el límite cuando h tiende a cero es decir hacer este pequeño cambio cada vez o este pequeño empujoncito cada vez más y más pequeño sin embargo hay que tener mucho cuidado verdad porque si nosotros digamos escalamos este vector digamos que que no consideramos el vector b sino dos veces el vector de verdad entonces aquí en la definición tendríamos que poner un 2 también y entonces vamos a tener el doble de cambio verdad porque aquí en vez de tener a veces b tendríamos h veces 2 b verdad entonces vamos a tener el doble de cambio de hecho algunas personas prefieren cambiar la definición original les he puesto aquí y poner mejor en el denominador el digamos la norma o el módulo del vector b para que al reescalar no se modifique digamos la derivada direccional y en realidad sólo le importe la dirección pero a mí no me gusta mucho esto yo creo que que hay algo de utilidad en esta definición original que yo les había dado sin el módulo o la norma debe y podemos dar una muy buena interpretación de esto pero ya nos adentraremos más en este detalle digamos en futuros vídeos aquí solo la idea sólo era ver la definición formal de la derivada direccional bueno nos vemos en el próximo vídeo