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Transcripción del video

hola a todos de lo que quiero hablar en este vídeo es como interpretar la deriva direccional en términos de gráficas verdad es que tengo la gráfica de una función de una función multivariable y esta función de hecho es efe de x gent tienen dos entradas verdad y ésta se calcula como x cuadrada por muy bien y en los últimos vídeos hemos hablado de cómo es que se puede calcular la deriva direccional verdad cómo podríamos definirla formalmente de hecho podríamos calcular la utilizan do el gradiente verdad y generalmente lo que tenemos es digamos alguna especie de vector vamos a poner aquí un vector ve un vector de y este vector b digamos que es el menos 11 vamos a poner el 1 1 mejor vamos a poner el vector 11 muy bien tenemos ese vector en el espacio de entradas así que en este caso por supuesto sería el plano ekije y en este caso simplemente vamos a tomar este vector muy bien y la deriva direccional que notamos utilizando digamos también como el símbolo de gradiente por le ponemos un subíndice con este lector de verdad para indicar que es en esa dirección la deriva direccional de nuestra función efe en el punto equis o yes verdad así es como la de notamos y ésta es digamos una medida de cómo cambia la función cuando nos movemos en el espacio de entradas en esta dirección del vector ve así que te voy a mostrar qué es lo que significa podríamos imaginar que cortamos esta gráfica con alguna especie de plano que no necesariamente tiene que ser paralelo algunos de los ejes x hoy es verdad que fue lo que hicimos cuando tomamos derivadas parciales tomábamos planos que que estaban representados por valores constantes de x o valores constantes de ye en este caso va a ser un plano que de alguna forma nos dice digamos el movimiento en la dirección del vector que tenemos y como lo hemos hecho en otras ocasiones vamos a cortar nuestra gráfica a lo largo de este plano y para hacer claro esto vamos a colorear digamos la parte en donde la gráfica inter seca llegamos a nuestro plan o verdad y este vector de aquí este pequeño víctor de podríamos pensar lo que vive en el plano ekije y está determinando la dirección de este plano con el que estamos cortando todo verdad entonces en el plano x7 tenemos este vector que es el 11 y digamos apunta digamos en esta dirección diagonal verdad y tomamos todo el plan no cortamos nuestra gráfica ok entonces queremos interpretar la deriva direccional aquí y vamos a tratar de hacerlo en algún valor particular así que digamos que lo queremos hacer en el -1 menos uno así que hagámoslo en ese punto en el -1 -1 y mejor pongamos - 1 - 1 muy bien hagámoslo en ese punto y digamos con esta combinación de este punto y este vector al menos nos aseguramos de que nuestro plan no pasa por el origen verdad sí que estamos garantizando que este plan no está en el origen o pasa por el origen y pero si no fuera así podríamos imaginar digamos otro plano digamos que a lo mejor tenga la misma dirección es decir sea paralelo a éste pero habría que recorrerlo en alguna dirección pero bueno con esto basta para este video verdad y si hacemos esto podríamos interpretar la deriva direccional como una pendiente pero tenemos que ser muy cuidadosos porque si queremos interpretar esto como una pendiente entonces necesitamos tomar un vector ve que sea unitario es decir que lan la magnitud o la norma oa veces también se le llama módulo verdad la magnitud de nuestro sector tiene que ser uno es decir es unitario y bueno en principio uno podría tomarse vectores que no sean unitarios verdad pero tenemos que ser cuidadosos para poder interpretar esto como pendientes de que sí lo sean verdad en este caso nuestro sector b no es unitario el vector que tendríamos que tomar digamos que apunta en la misma dirección pero que una magnitud unitaria verdad sería el vector raíz de dos entre dos raíz de dos entre 2 y tú podrías deducir que es este vector simplemente digamos usando el el teorema de pitágoras u o algo de ese estilo verdad ahora sí estamos evaluando en este punto en el -1 -1 verdad podríamos de dibujarlo en la gráfica verdad para ver dónde se encuentra y en este caso digamos vamos vamos a mover todo esto teníamos este punto verdad que si lo vemos desde arriba podemos ver que es el menos uno menos o no verdad y si queremos saber la pendiente en ese punto verdad estaríamos pensando en esta línea tan gente que estamos pintando es la línea tangente a la curva y estamos digamos preguntándonos qué pendiente tiene en ese punto y digamos otra anotación que podría ser digamos útil para para entender la deriva direccional es por ejemplo esto que utilizan algunas personas que lo describen como la parcial df con respecto a nuestro vector de verdad y que en realidad podríamos pensar como si estamos tomando un pequeño cambio en la dirección del vector de verdad así que esto sería un pequeño empujoncito en la dirección del vector b y eso nos da un un aumento digamos parcial en la dirección debe y cuando decimos bueno como cambio el valor de la función digamos que tenemos entonces podemos ver la altura de la gráfica verdad y ahí podemos ver ese cambio así que cuando nuestro cambio inicial se aproxima a cero y por lo tanto nuestro resultado digamos nuestro cambio resultante en la función también se aproxima a cero entonces lo que tenemos que hacer es calcular la proporción verdad la proporción del cambio de la función con respecto al al cambio de nuestro movimiento en la dirección de verdad y eso nos va a dar la pendiente de esta línea tangente conceptualmente esto es digamos una muy buena anotación pero la razón por la cual utilizamos la otra anotación donde útil vamos digamos nada habla con subíndice b verdad es muy indicativo de esta anotación es muy indicativo de cómo calculamos todo verdad entonces está en realidad está en realidad se calcula como el gradiente de nuestra función y hacemos el producto punto por el vector verdad así que vamos a hacer de hecho está este cálculo con todo lo que ya tenemos verdad vamos a calcular lo de este lado con otro color vamos a utilizar un color verde entonces calculemos el gradiente de nuestra función efe el gradiente de nuestra función efe es el vector que tienen las derivadas parciales aquí estaría la deriva parcial con respecto a x y la derivada parcial de nuestra función con respecto a qué viene entonces para calcular la derivada parcial con respecto a x entonces x era nuestra variable y llegue será una constante verdad al derivar esto con respecto de x tendremos dos por x porque verdad y ahora sí derivamos con respecto de yeah yeah sería nuestra variable y x cuadradas x cuadradas sería una constante entonces tendríamos x cuadrada pues la deriva de ye simplemente es uno ahora si nosotros evaluamos en nuestro punto de interés que es el menos 1 - 1 verdad entonces tendremos dos por menos uno es menos dos por menos uno es 2 y finalmente tendremos x cuadrada que sería menos uno al cuadrado que es uno entonces aquí tenemos ya el valor del gradiente de la función efe en el punto que nos interesa de verdad así que esto significa que si queremos evaluar digamos el gradiente df por b verdad entonces tendríamos que ir sustituyendo esto sería el gradiente debe que sería el 21 y hacemos el producto punto con nuestro héctor b que tiene que ser unitario verdad entonces sería raíz de dos entre 2 y la otra coordenada sería raíz de dos entre dos entonces al hacer esta cuenta tendríamos que hacer él el producto de las coordenadas verdad sería dos por raíz de dos entre dos eso sólo es raíz de dos y 1 por raíz de dos entre dos sería raíz de dos sobre dos entonces aquí tenemos nuestra respuesta esta sería la pendiente de esta curva que hemos graficado verdad pero éstos sólo funciona si nuestro vector es un vector unitario y ya hemos visto en el vídeo anterior digamos cuando hablamos de la definición formal de la derivada direccional verdad que si nosotros reciclamos este vector por dos digamos vamos a quitar todo esto vamos a quitar todo esto y tenemos todo esto bien entonces si nosotros consideramos la deriva direccional pero ahora consideramos el doble de este vector ve entonces digamos queremos calcular la deriva direccional de la función pero con el doble de b esto sería el gradiente df con él y yo hacemos producto punto con dos veces nuestro vector de verdad entonces esto nos daría lo mismo digamos como en el producto punto podríamos sacar las constantes sería dos veces el gradiente df orbe el gradiente df por b era justamente la derivada dirección al original que teníamos así que al duplicar el vector vamos a tener el el doble del valor de nuestra derivada dirección a la verdad y que va a ser el doble del valor de la deriva dirección al original verdad pero no necesariamente queremos esto porque si nosotros vemos este plano verdad con el que lo hemos cortado en vez de ir en la dirección ve de lunwerg del vector unitario b si lo hacemos en la dirección de dos veces el vector b es el mismo plano verdad estamos cortando exactamente con la mismo y que quisiéramos que tuviéramos la misma pendiente así que todo esto se echaría a perder verdad esto es muy importante cuando estamos pensando en el contexto de las pendientes verdad otra cosa que podríamos decir es que nuestra fórmula para la pendiente de una gráfica en la dirección ve digamos es igual a tomar la deriva direccional siempre y cuando tengamos el vector unitario verdad entonces para corregir esto simplemente podríamos tomar el mismo producto punto el gradiente df punto b pero tendríamos que asegurarnos de dividir entre la magnitud de nuestro sector b para qué entonces no haya ningún problema al rescatar nuestro vector verdad entonces es una forma de asegurarnos de que al tomar la deriva direccional en la dirección de cierto vector no importa el tamaño de ese vector verdad siempre será la misma y de hecho algunas personas así es como definen la derivada direccional verdad simplemente están normalizando la longitud de nuestro sector ya mí en realidad no me gusta mucho eso yo creo que estas personas están pensando justamente en el contexto de la pendiente están pensando en las tasas de cambio verdad al alser la pendiente de esta gráfica y una cosa que quisiera enfatizar verdad como siempre es que la intuición gráfica es muy buena y la intuición visual de hecho es excelente siempre podríamos tratar de encontrar una forma de cómo pensar las cosas visualmente pero con funciones multivariable es verdad la gráfica no es la única forma podríamos pensar en cosas un poquito más generales por ejemplo en pequeños empujoncitos en una dirección de un vector verdad y en este caso podría ser un contexto en donde donde el vector no necesariamente tiene una longitud 1 verdad el empujoncito no siempre representa un tamaño real verdad pero digamos e eso es una cuestión de escalar por una constante verdad a ese efecto así que podríamos fijarnos en el vídeo de la definición formal para la deriva direccional si quieres más detalles en este tema pero lo que creo que es algo muy bueno es tener una muy buena intuición de lo que significa la de la deriva direccional