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Transcripción del video

en este vídeo hablaremos de lo que es el gradiente y digamos lo único que vamos a hacer en este vídeo es ver cómo calcularlo y ya después en los siguientes videos te daré la interpretación geométrica de lo que es el gradiente y en realidad yo yo odio hacer esto de primero mostrar el cálculo antes que la que la intuición geométrica pero es que el gradiente es una de esas cosas raras en donde la forma en la que lo calculamos parece que que no tienen nada relacionado con la intuición geométrica y ya veremos en los próximos videos como es que esto se relaciona pero para poder hacerlo necesitamos saber antes ambos así que digamos que tengo alguna función o que íbamos a vamos a poner alguna función digamos una función con 12 entradas efe dec y llegué y digamos que ésta sea x cuadrada por el seno de ye mui bien ésta será nuestra función ahora vamos a calcular el gradiente de esta función y el gradiente simplemente como como una forma de juntar toda la información de las derivadas parciales de la función así que vamos a calcular las derivadas parciales primero si calculamos la derivada parcial de esta función con respecto a la variable x bueno aquí lo que tendremos es que llegue es una constante verdad y por lo tanto seno de yesera como una constante así que nada más derivamos x cuadrada y nos da dos equis y multiplicamos por nuestra constante verdad que es el seno de ye ahora consideremos el la cei la siguiente derivada parcial que sería la derivada parcial de nuestra función con respecto a la variable en este caso x cuadrada es una constante verdad y sólo hay que derivar seno de ea sí que queda x cuadrada por el onceno de ye mui bien entonces lo que hace el gradiente simplemente es juntar esta información en un vector entonces el gradiente lo vamos a representar con el triangulito volteado verdad a este triangulito volteado a este símbolo se le conoce como nabla y el gradiente de nuestra función es un vector en donde están las derivadas parciales entonces digamos aquí está nuestra primera derivada parcial sería 2x por el seno de yee y después tendríamos x cuadrada por el goce no deie bien este vector sería el gradiente de nuestra función y quizás debería digamos enfatizar más que que esto resulta ser en realidad una función de valores vectoriales verdad aquí por ejemplo podríamos poner que depende tanto de x como the yeah entonces podremos notar que tenemos una entrada de dos dimensiones en este caso y una salida de dos dimensiones muy bien y en realidad puedes imaginar que podemos hacer es lo mismo con tres variables sólo que en este caso tendríamos una tercera derivada parcial verdad y entonces aquí tendríamos una tercera salida verdad entonces en general en general el gradiente de una función efe simplemente es el vector que tiene como coordenadas las derivadas parciales de estas de esta función verdad entonces para nuestro caso particular tiene sólo 22 dos salidas verdad la deriva parcial respecto de x y la parcial con respecto de que llegue y a mí me gusta pensar en el gradiente digamos como una especie de derivada total verdad porque en realidad tenemos toda la información de las derivadas parciales o que ya entonces éste esté triangulito que llamamos nabla digamos algo que es bastante útil es pensar a este triangulito al gradiente como como un vector de operadores parciales digamos por ejemplo podríamos pensar aquí a nuestro triángulo voy a poner lo mejor y cuando hablo de un operador en realidad es algo que le ofrecemos una función y nos devuelve una función entonces en este caso nuestro nuestro triangulito verdad en realidad lo podríamos pensar como un vector que tiene la derivada parcial con respecto de x la derivada parcial con respecto de ye verdad y este vector así lo podríamos pensar a nuestro vector o a nuestro triangulito nab la verdad en realidad podríamos pensar lo digamos como como si fuera una una una multiplicación verdad podríamos por ejemplo poner aquí nuestro habla no lo voy a hacer con otro color hacerlo con otro color pensemos por ejemplo entonces al gradiente de nuestra función como si estuviéramos aplicando el operador nabla a nuestra función efe y entonces uno podría pensarlo como una especie de multiplicación verdad si nosotros ponemos aquí nuestra función efe al aplicarle el gradiente a efe simplemente es cómo multiplicar esto es verdad y pensaríamos en la parcial df con respecto de x y la parcial df con respecto de jay y obtenemos este vector que tenemos aquí verdad y la razón por la cual hacemos esto es porque esté este operador digamos nabla aparece en otros contextos y ya hablaremos de otro tipo de operadores como en la divergencia y el rotacional y vamos a hablar de esto más adelante verdad pero por ahora podremos al menos nos da como una una forma de recordarnos cómo se calcula el gradiente verdad pensándolo como una especie de multiplicación ahora bien uno podría preguntarse cuál es la dimensión de este vector verdad entonces si nosotros pensamos ahorita en el número de variables que tenemos pues tenemos dos pero si nosotros tuviéramos una tercera variable entonces el vector digamos nabla tendría una tercera una tercera salida verdad que sería la derivada parcial con respecto a la tercera ordenada con esto digamos con esto basta para para decir cómo se calcula el gradiente y en realidad no hay gran ciencia detrás sólo digamos derivadas parciales que las estamos contando todas en un vector ahora lo que sí es divertido es la intuición geométrica y que de hecho es una herramienta muy importante ante para algo que veremos más adelante llamado derivada direccional así que como puedes ver hay muchísima diversión por delante